Состоятельность статистических оценок терстоуна-мостеллера

Традиционная методика анализа процедур коллективного выбора подразумевает три различных подхода: проверка оператора голосования на соответствие характеристическим условиям, исследование свойств функции выбора, анализ манипулируемости (оценка устойчивости процедуры голосования по отношению к негативным воздействиям со стороны избирателей или организатора - манипулирования). Коллективом сотрудников кафедры ИТМиУ ВГУИТ предложен и реализуется четвертый подход - исследование вероятностных характеристик (величины смещения математического ожидания оценки полезности конкретной альтернативы от ее истинного значения, среднеквадратичное отклонение оценки полезности альтернативы от ее истинного значения, вероятность правильного ранжирования альтернатив на выходе процедуры и т.д.) результатов выполнения процедур. В предлагаемой работе анализируется состоятельность оценок полезностей сравниваемых альтернатив, полученных посредством известной процедуры Терстоуна-Мостеллера и её обобщения, созданного авторами работы. В общем, под состоятельностью статистической оценки понимается уменьшающаяся до нуля погрешность оценивания при увеличении объёма выборки. Однако в зависимости от толкований понятия «погрешность» в науке выделяют следующие основные виды состоятельности: слабая состоятельность, опирающаяся на понятие сходимости случайной величины по вероятности; сильная состоятельность, опирающаяся на понятие сходимости с вероятностью к единице; состоятельность в среднем квадратичном. Дисперсия такой оценки стремится к нулю. В данной статье приводится доказательство теоремы, согласно которой при допущениях достаточно общего характера оценки полезностей ранжируемых альтернатив, полученных с помощью процедуры Терстоуна-Мостеллера, состоятельны в среднем квадратичном смысле. При этом из состоятельности в среднем квадратичном следует обычная, т.е. слабая состоятельность оценок полезностей альтернатив исходной выборки.