Совершенствование формул со средними аргументами для решения обратной геодезической задачи

Задача определения взаимного положения точек на земной поверхности является глобальной проблемой в науках о Земле.

При решении обратной геодезической задачи (ОГЗ) по геодезическим широтам B1, B2 и долготам L1, L2 соответственно конечных точек Р1 и P2 определяется расстояние S = P1P2

прямой A _1,2 и обратной A _2,1 , азимуты геодезической линии в конечных точках. Для решения

ОГЗ при расстояниях между пунктами до 800–1000 км широко применяются формулы со средними аргументами. К их достоинствам относят: компактность выражений, сравнительно малый объем вычислительных операций, замкнутость решения обратных задач.

В связи с тем, что изменяются средства, методы и точность измерений, происходит постоянное обновление вычислительной техники, меняются и требования, предъявляемые к вычислительным алгоритмам. Поэтому до настоящего времени осуществляются публикации по совершенствованию формул со средними аргументами.

Результаты исследований

Для логарифмических вычислений широко применялись формулы Иордана-Буткевича [1, с. 106]. Нами они выведены в нелогарифмической форме:

l

V ² cos B tg m      mo

tgAm =-------b sin 2

+ 7" ь 4 720

—

—

^L (2 + 3 t ² + 2 n ² + 6 t П ² bb ² + cos ^ B n 2 l 2 + 12 V ⁴                               12

cos ² B 120

⁴ cos B n ( i + 5 t ) • b i + -^20- n ( 7 ^— 5 t ) l

;

m

a tg 2=

sin ^B m tg 2 "

—

b cos

2 cos ² B

1 + -nL b2 + cos2B n212 — nt (8 +1512) b4 — 12V 2       12        720

n ² ( 1 + 5t ² ) • b ² l ² +

c°^2 B n ² ( 7 — 5 1 ² ) l⁴

;

m

S = a 0 • °

V m

° tg г = 71

ba tg cos

—

e2 • V2 cos A mm

^a sin

°

tg- = /---- -----

² V1 ^{— e} • t m ^sin A m

г

к

к

1+n 1—t2 + n2 + 612n2 b2

24 V ⁴

n b 2

4 V ⁴

e' Л b 4V 2

^V m

+ 5- b

sin ² B

+------n l

—

;

^V m

^- (1 — t ² ) b ⁴ +

cos B cos B

+------- n 2( 1 — 2 1 — 15 tbl +------- n t ² 9 — 5 tl

720                      720

,

m

где a = A ₂₁ — A ₁₂ ± 180 ^о - разность азимутов;

l = L ₂

b = B ₂

—

—

L ₁– разность долгот;

B ₁– разность широт;

B_m = ( B i + B 2 )/2 — средняя широта;

A m = ( A ₁₂ + A ₂₁ ± 180 ^о ) /2 — средний азимут;

t = tgB ; n ² = e ^,2 cos ² B ; V ² = 1 + n ² .

Следует отметить, что в [1] в формуле (5) коэффициент при V приведен с ошибками.

Буткевич А.В. при решении ОГЗ рекомендует использовать все зависимости (1)–(5), из которых основными являются более трудоемкие (1), (2), (5). Однако на их основе можно построить более рациональный алгоритм, используя в качестве основных простые закономерности (3), (4), представив их в форме

° tg -cos Am =

ba tg cos ⁵ 2   2

71^ e 2 • v m

к

n b 2

4 V ⁴

,

^V m

^a sin

° tg—sin A = ,    2

2 ^m  71^ e 2 .

1 —

• tm к

e '2

4 V ²

b ² + — b ⁴

V m

.

При выводе формул (1)–(5) А.В. Буткевичем преследовалась одна цель – исключить из выражений Иордана сферические элементы. К решению этого вопроса он возвращался неоднократно, но сферическая величина σ так и не была исключена.

Для упрощения нелогарифмического алгоритма (1)–(5) на основе равенства (5) образу- ем разложение:

1g— = V 71-7 tg "  1 + 2Ц 1 - 3t ² + n ² + 6 1 n ² b ² + ⁿ  7 - 21 1 ² b ⁴ +

2R    m ° 2     24V4 (                 '’    1440 ()

cos2Bcos

m

+-------n71 -1b2l2 +

Подстановкой (3) и (4) в правую часть равенства (8) исключается сферическая величина σ :

ba

S tg cosA 2Rm

1g — cos— ■

V m

1 + - П -(1 - 3 1 ² + n ² + 12 1 П ² 7² + — (7 - 21 1 ² U⁴ +

24 V ⁴                         1440

cos ² B                 cos ⁴ B 2 2,4

+-------- n ² ( 1 - 1 ² ) b ² 1 ² +-------- 1² n ² 1⁴

120 V ’        60

m

S tg sin 2 R

A m

V m • sin I 2                                2

------² 1 — L (5 + 9 1² + 5n² bb ² + ^- (37 + 9 1² )b ⁴ +

1          24V ^4V             '     1440^V ’

m

COs B 2\,2,2 COs B 2 2,4 +-------- n ² 1 - 1 ² b ² 1 ² +-------- 1² n ² 1⁴

120 v '        60

m

В этом случае для решения ОГЗ более эффективно использовать формулы (2), (9), (10), чем систему (1)–(5), состоящую из пяти уравнений. Следует отметить, что в разложениях (9) и (10) соответствующие коэффициенты при b ² l ² и l ⁴ совпадают, а при l ² равны нулю. Исследованиями установлено, что в области 0º ≤ В ≤ 75º при расстояниях от 800 км до 1000 км длина геодезической линии определяется с погрешностью Δ S ≤ 0,1 мм, а азимуты с погрешностью Δ А ≤ 0,00003″.