Современные аспекты использования равновесия Нэша

13 июня 1928 года в небольшом городке Блюфилде, штат Вирджиния, родился Джон Форбс Нэш. Его работа о равновесии в теории некооперативных игр полностью изменила стандарты исследований в теории игр.

В школьные годы Джон не любил математику, он считал, что её преподавали скучно. Своё отношение к этой науке Нэш изменил лишь после прочтения книги Эрика Т. Белла «Великие математики». «Прочитав эту книгу, я сумел сам, без посторонней помощи, доказать малую теорему Ферма» - написал Нэш в своей автобиографии. [1]

После школы Нэш учился в Политехническом институте в Карнеги, где изучал химию, прослушал курс мировой экономики, а потом все-таки решил заниматься математикой. В студенческие годы Джон легко решал задачи, стоявший перед наукой в то время. В 1948 году Джон Нэш окончил институт с двумя дипломами, бакалавра и магистра, и поступил в Принстонский университет. В его рекомендательном письме от институтского преподавателя Ричарда Даффина была всего одна строчка: «Этот человек – гений!». Уже в 1948 году в Принстоне Нэш защитил диссертацию о теории игр, сыгравшую огромную роль в мировой экономике. По сути, теория игр изучает механизмы принятия решений человека (игрока), оказавшегося в смоделированной ситуации (игре). Данная теория доказывает, что если участники игры не будут менять свои стратегии, то рано или поздно они придут к равновесному состоянию. Именно равновесное состояние описал Джон Нэш в своей диссертации. [2]

Диссертация Нэша состояла всего лишь из 27 страниц и была посвящена кооперативным и некооперативным играм и равновесию их стратегий. Это равновесие и сделало Джона Нэша известным на весь мир математиком. Он научно доказал, что каждая некооперативная игра предполагает некий выбор стратегий для ее участников, при котором ни один из игроков не может поменять стратегию, чтобы добиться большего успеха, если другие игроки стратегию не меняют, то есть соперникам не выгодно отказываться от равенства, поскольку в таком случае они только ухудшают своё положение. При этом Нэш предполагал, что каждая игра может быть некооперативной – участники действуют самостоятельно, не советуясь между собой. Причем, под игрой понимается любое взаимодействие нескольких сторон, которые желают отстоять каждый свои интересы.[1]

Классическим примером представления равновесия Нэша является дилемма заключенных:

«Двое преступников попались примерно в одно и то же время на сходных преступлениях. Есть основания полагать, что они действовали по сговору, и полиция, изолировав их друг от друга, предлагает им одну и ту же сделку: если один свидетельствует против другого, а второй хранит молчание, то первый освобождается за помощь следствию, а второй получает 10 лет лишения свободы. Если оба молчат, их деяние проходит по более легкой статье, и каждый из них приговаривается к шести месяцам заключения. Наконец, если оба свидетельствуют друг против друга, они получают по два года тюрьмы. Каждый заключенный выбирает, молчать или свидетельствовать против другого. Однако ни один из них не может знать, что сделает другой. Что произойдет?» [3]

С позиции «равновесия Нэша» оба преступника должны молчать, только тогда они оба получат минимальный срок. Так они, не сговариваясь, придут к наиболее выгодному для обеих сторон решению. Специалисты по теории игр утверждают, что такое состояние баланса можно найти в любой области человеческой жизни. «Равновесие Нэша» - хороший аналитический метод для работы с несложными моделями взаимодействия двух игроков. Но, чем сложнее становится ситуация, тем больше в ней вариантов стратегий, подходящих под критерий «равновесие Нэша». Вопрос выбора какой-либо из этих стратегии ложится на плечи игроков.

«Равновесие Нэша» - это одна из основ теории игр, раздела математики, использующегося во многих прикладных областях. Этот принцип широко используется в экономике, политологии, психологии, конфликтологии, юриспруденции, биологии и кибернетике. [4]

В экономике «равновесие Нэша» широко используется при исследовании олигополий: с его помощью производится анализ поведения нескольких конкурирующих фирм в отдельном рыночном секторе. Фирмы, действующие на олигополистическом рынке, устанавливают цены с оглядкой на конкурентов. Им выгодно держать оптимальную среднюю цену, так как при повышении или понижении цены фирмы рискуют или потерять клиентов, или получить убытки. [5]

В качестве примера, рассмотрим две крупные компании, конкурирующие на рынке производства пассажирских самолетов: «Боинг» и «Эйрбас». Предельные издержки производства самолетов одинаковы у каждой компании и равны 10 млн. долларов за штуку. Рыночный спрос выглядит следующим образом:

P, млн $	Q штук
0	200
10	180
20	160
30	140
40	120
90	110
50	100
55	90
60	80
70	60
80	40
90	20
100	0

В случае, если фирмы договариваются о разделе рынка пополам, то их прибыль будет выглядеть следующим образом:

P, млн $	Q штук	TR, млн $	TC, млн $	Общая прибыль	Прибыль каждого участника
0	200	0	2000	-2000	-1000
10	180	1800	1800	0	0
20	160	3200	1600	1600	800
30	140	4200	1400	2800	1400
40	120	4800	1200	3600	1800
90	110	9900	1100	8800	4400
50	100	5000	1000	4000	2000
55	90	4950	900	4050	2025
60	80	4800	800	4000	2000
70	60	4200	600	3600	1800
80	40	3200	400	2800	1400
90	20	1800	200	1600	800
100	0	0	0	0	0

Прибыль участников будет максимальна, если они оба произведут по 45 самолетов (вместе 90) и равна в этом случае 2025 млн $. Эта точка является Парето-оптимумом, то есть в ней состояние одного участника нельзя улучшить без ухудшения состояния другого.

Каждый из участников может думать следующим образом: «Если я произвожу 45 самолетов, и мой конкурент производит 45 самолетов, то наша общая прибыль будет максимальной, и я получу половину от максимальной общей прибыли. Однако, что мешает мне произвести не 45, а 55 самолетов? В этом случае, если мой конкурент не предпримет ответных действий, общий объем продаж вырастет до 100, цена упадет до 50, а получу выручку 55*50=2750 и прибыль 2750-550=2200. Тогда прибыль моего конкурента составит 50*45-10*45=1800.»

Точно также может думать и другой участник, и в таком случае они оба произведут по 55 самолетов. В этом случае общий объём продаж вырастет до 110, цена упадет до 45, общая прибыль будет равна 1925, и каждый из участников получит прибыль 1925.

Игра в этой ситуации будет описываться следующей матрицей выигрышей:

		Боинг
		произвести 45	произвести 55
Эйрбас	произвести 45	(2025;2025)	(2200;1800)
	произвести 55	(1800;2200)	(1925;1925)

Первое значение в скобках означает прибыль Боинга, второе - прибыль Эйрбаса. Если между участниками не заключено договоренностей, то каждый из них имеет стимулы произвести 55, а не 45 штук, чтобы увеличить свою прибыль. В этом случае производство 55 штук является доминирующей стратегий для каждого участника. Нэш-равновесие устанавливается в ситуации, когда они оба производят по 55 штук и получают прибыль в размере 1925 млн $. Это равновесие не является Парето-оптимальным.

Данная ситуация показывает, как эгоистические интересы каждого из участников мешают им достигнуть оптимального значения прибыли. [6] «Равновесие Нэша» также используется биологами в эволюционной теории: оно математически объясняет, почему волки не уничтожают всех зайцев сразу (иначе через поколение они умрут от голода) и почему животные с дефектами могут давать потомство (вид может получить новые полезные качества). [2]

В юриспруденции понятие «оппозиция» является примером существования «равновесия Нэша».

Математики, знакомые с работами Нэша, считают, что его достижения в так называемой «чистой математике» гораздо важнее, чем в теории игр. С 50-х годов Джон Нэш занимался изометрическими вложениями, и в этой области он стал автором двух теорем, ставших классическими в современной математике. В теоремах идет речь о преобразовании абстрактной многомерной поверхности в классическую трёхмерную евклидову, с сохранением измерений. Преобразование происходит с помощью дифференциальных уравнений в частных производных. Именно этим вопросом и занимался Нэш и достиг в нём огромного прогресса, найдя способ решать подобные уравнения. До него это считалось невозможным. На сегодняшний день эти уравнения используют не только в геометрическом анализе, но и в физике. [3]

Математические достижения Джона Нэша получили мировое признание. В 1994 году Нэш стал лауреатом Нобелевской премии по экономике. Его вклад описали так: «За фундаментальный анализ равновесия в теории некооперативных игр».

Также в 2015 году Джон Нэш был удостоен премии Абеля - самой престижной премии среди математиков, которым Нобелевская премия, как известно не дается. Эту премию Нэш получил за вклад в теорию нелинейных дифференциальных уравнений.

Получив и Нобелевскую и Абелевскую премии, Нэш стал первым ученым, который был удостоен обоих этих наград. [7]

23 мая 2015 года Джон Нэш погиб в автокатастрофе.