Спектральное представление объекта при распознавании его образа

Когда говорят об объекте, то его описывают некоторым конечным набором признаков, свойств. Эти свойства представляют не сам объект, а некоторую его модель, его отражение, абстрактный образ. Причём, так как один и тот же объект может описываться бесконечным множеством свойств, то каждый наблюдатель может формировать свой образ наблюдаемой.

Наблюдатель, выбирая при описании объекта ограниченный набор признаков, формирует своё признаковое пространство, в которое и проецирует объект наблюдения. Задача "распознавание образов — это отнесение исходных данных к определенному классу с помощью выделения существенных признаков, характеризующих эти данные, из общей массы данных" (wiki) и, в общем виде, задача распознавания 1

сводится к задаче разбиения множества объектов на классы и отнесения наблюдаемой к определённому классу.

Если исходить из того, что любой объект x суть качественно У определённое количество a х = аУ = Уа,(1)

а их единство заключено в скалярной мере D

D(x) = х2

так, что

D(x) = DOPa) = DmD(a),(3)

D(P) = У2 = 1,

D(a) = a2,(5)

то функционально состояние определяется отношением x = x(4,a,o),(6)

где величина a = VD дистанционная функция. Присутствие в выражении (6) метрической функции связано с отражением в образе абстракции наблюдателя посредством выбора им измерительного эталона.

Задачу распознавания объекта можно рассматривать как взаимно двойственную. С одной стороны, объект воспринимается как некая агрегация, как точка, из которой, в соответствие с описанием свойств эталона наблюдателя, выделяется система описания его свойств и проводится дезагрегация до её сравнения со свойствами эталона, что даёт возможность отнести объект к определённому классу. С другой стороны, объект как абстрактный набор свойств проходит агрегацию в соответствии со свойствами эталона и в агрегатном виде относится к определённому классу. Эти процедуры можно представить в виде следующих диаграмм – спектров прямого и обратного а    я1   я1 я^+1                    ^т-1 я1   Я1    а

0 ^ х ^ L q ~> L i ~> ...---> L_m ^ 0,  0 ^ L_m ---> „.“> L i ~> L q ^ х ^ 0, (7)

соответственно.

Оба спектра будем обозначать одним выражением s^ = {Lk,nk,M},                       (8)

полагая при этом для прямого спектра (просто спектра), k < l , для обратного спектра k > l, k, l Е M и Ml = m. И в дальнейшем называть их просто спектрами.

Каждый слой Lk спектра является совокупностью горизонтально независимых объектов xs Е Lk, s Е Nk, |Nk| = nk, к Е M, т.е. качественно определённых количеств (1) с независимыми свойствами xs = as4s,  4s4t = 8st = {л при S = s s s s 1 sl    (0, при s Ф t.

В таком представлении спектры состоят их множества объектов X и множества связей между ними я , морфизмов, и их можно отнести к малым категориям

% = (Х,я).(10)

Тогда состояние объекта x определяется функтором на этой категории х = х(%) = (Ф,А),(11)

т.е. спектр (8) будет подкатегорией универсальной категории (11). Его элементы xs = Чsа^М будут объектами категории (11), проекции а1к = х(пк) £ А - её морфизмами, а объекты 4S Е Ф - её структурными элементами качества. При этом, объект x и семейство морфизмов Фк:х ^ х(Ьк),к Е М, будет пределом спектра SM в категории (11), если лкП1 = як для всех к,1 ЕМ, к< l, и для любого другого объекта у Еу(%) и семейства морфизмов fi-y ^ y(Ll), со свойством y(nlkfi) = y(fk) существует такой единственный морфизмf у ^ x, чтоfк = nkf для всех к ЕМ. Обозначается этот предел lim%SM, или lim SMl, [1, стр. 67]. Морфизм пк называется сквозной проекцией.

Сквозная проекция n_s фиксирует при абстрагировании свойств объекта x = x ( % ) на уровне L _k локальный объект x _s Е x ( L _k ) с уникальной собственной функцией качества Ч _s , которая в аффинном пространстве А^^{Ъ к}^ фиксирует локальную координатную ось, на которой данная функция 3

качества в соответствие с метрикой (4) выполняет роль единицы масштаба. Проекция объекта как абстрактной точки на эту ось даёт собственное значение as для локального объекта xs = asWs, количественную величину качества Ws, содержащегося в агрегатной величине объекта x и, как следствие, на качественном k-уровне абстракции агрегатный объект представляется симплексом х = Х1 + х2 + -- + хПк,   х^Ьь),  nk = \Lk\,            (12)

из которого находим, что в барицентрических координатах качество в состоянии x описывается выпуклой линейной комбинацией

W = a 1 W 1 + a²W 2 +—+ a^nkW_nk, a^s = a_s/a,         (13)

z

as = 1, j^Nk

a^s >  0,

s EN_k = 1,2, ...,n_k.

Локальные функции качества Ws на к-ом уровне в иерархии абстрагирования являются прообразами элементов фактор-множеств расслоения l-го слоя (k < l). Дифференцированность качества даёт возможность топологически представить объект градуированным пучком в абелевой категории (10) и на его стандартной основе (13) проводить оценку качества бинарного соответствия (x, y) состояний одного объекта, либо определённой группы x, У С X.

Пусть x = x(%) = (W, A) = Wa,   y = y(%) = (Ф, B) = Фb.       (14)

Если рассматривать данные состояния в евклидовом пространстве, в котором метрика порождается скалярным функционалом (2), то тензорное произведение величин (14) имеет представление xy = ab exp(i6/h~).                       (15)

При фиксации элемента y как измерительный эталон, для текущего состояния наблюдаемой по отношению эталона получаем выраженную в радианах масштабированную фазовую оценку:

\x^y\ и = — h arctg —.                     (16)

И выражение (15) для состояния принимает квазиклассический вид в форме кватерниона x = aexp(-№/К).                      (17)

Если фиксировать эталон (пусть это соответствует значению 6 = 0 ), то при качественном изменении наблюдаемой на временном горизонте заключаем, что собственное значение состояния не изменяется, меняется только его фазовая характеристика

0 = 0(t)(18)

Ограничиваясь в (18) малыми возмущениями 0(t) = At, приходим к описанию динамики наблюдаемой в стационарных условиях x = aexp (—i^t).(19)

Видим, что состояние при сохраняющемся собственном значении имеет зависящее от времени качество, определяемое собственной функцией

^(t) = exp(-i^t),(20)

которая удовлетворяет волновому уравнению ih^ = AW.

at

Заключаем, что характеристика качества принимает форму волны де Бройля; состояние (17) наблюдаемой связано с её энергетическими особенностями и приобретает корпускулярно-волновой дуализм [2]; при дифференциации качества в виде цепного комплекса заключаем, что её представление как на любом слое, так и на фактор-множествах при отражении модулей описывается рядом Дирихле.