Спектральные характеристики релятивистских зеркал

Возможность реализации на. практике отражения от релятивистского зеркала. [1] предоставляет релятивистской оптике [2] уникальный инструментарий, при помощи которого становится возможным менять характеристики излучения в диапазонах, недоступных ранее [3], позволяя таким образом создавать источники для широкого круга, применений [4]. Особо интересными являются задачи, связанные с интенсификацией излучения [5], физическим моделированием астрофизических процессов в земных условиях [6,7] и получением аттосекундных импульсов лазерного излучения [8,9]. Несмотря на значимость данного вопроса, аналитическое описание процесса, отражения импульса, содержит ряд упрощений и нуждается в совершенствовании.

Последние несколько лет наблюдается значительный прогресс в области генерации уль-траинтенсивных лазерных импульсов. Под воздействием излучения интенсивностью выше 1018 Вт/см2 происходит ионизация вещества, и электроны достигают релятивистских скоростей. При дальнейшем увеличении интенсивности возникают условия, обеспечивающие наблюдение таких физических эффектов, как режим преобладания силы радиационного трения [10-13] и эффекты квантовой электродинамики [14-19]. Такие нелинейные эффекты, как поляризация вакуума, и рождение электрон-позитронных пар [2,20,21], станут проявляться при повышении интенсивности до значений порядка 1028 Вт/см2 [18]. При этом при помощи современных лазеров могут быть достигнуты значения интенсивности вплоть до 1023 Вт/см2 [3]. Таким образом, задача о повышении интенсивности излучения является

крайне важной на сегодняшний день. На её решение направлены такие мегапроекты, как ELI [22] и XCELS [23].

Один из наиболее перспективных методов генерации сверхсильных электромагнитных полей предложен в статье [5]. Он основан на сжатии лазерного импульса, повышении его частоты с последующей фокусировкой за счет отражения от релятивистских параболических зеркал в плазме. В качестве таких зеркал могут использоваться движущиеся с релятивистской скоростью неоднородности в распределении электронной плотности в виде электронных сгустков или тонких электронных слоев. Так, в типичных условиях взаимодействия сверхкороткого лазерного импульса с плазмой докритической плотности в следе за возбуждающим импульсом происходит образование нелинейных ленгмюровских кильватерных волн. В точке опрокидывания таких волн возникает огромная электронная плотность, от которой может эффективно отражаться лазерное излучение. За счет того что волна электронной плотности распространяется с релятивистской скоростью, падающая волна при отражении претерпевает воздействие двойного эффекта Доплера, и ее частота существенно повышается. Благодаря этому отраженную волну можно сфокусировать в гораздо меньшую область пространства, тем самым получить более высокую интенсивность, чем была ранее.

Подчеркнем, что в большинстве работ, посвященных этому методу интенсификации излучения, рассмотрение производилось исключительно для случая бесконечной плоской волны. Более реалистичные картины встречались нечасто. Конечность электромагнитных импульсов может привести к возникновению новых эффектов. Например, в работе [24-26] рассматривалась Гауссова перетяжка, а в работе [27] - отражение волны от дельта-потенциала. Рассмотрению конечного волнового пакета, более реалистично описывающего реальные эксперименты, проводимые в лабораториях [28], будет посвящена настоящая статья.

При отражении волны от релятивистского зеркала возникает двойной доплер-эффект, приводящий к тому, что лазерный импульс, отраженный от движущегося навстречу лазерного импульса, сжимается в продольном направлении с повышением частоты, как было показано еще Эйнштейном [1], т.е. зеркало производит работу над электромагнитным импульсом. Конечность электромагнитного импульса приводит к изменению параметров отраженного импульса - частоты и формы огибающей. Таким образом, в результате отражения импульс может претерпеть изменения, связанные не только с эффектом Доплера.

При численном моделировании отражения от релятивистских плазменных зеркал (см., напр., [8,29,30]) предполагается, что длительность падающего лазерного импульса, как и в условиях реального эксперимента [31,32], конечна. Это связано с тем, что для компьютерного моделирования интересно реалистичное представление отражения, в котором лазерный импульс конечен. Под реалистичностью понимается максимальная приближенность значений параметров моделирования к потенциально реализуемым в реальном эксперименте. Такой подход не лишен смысла и позволяет не только более подробно рассматривать процессы, не наблюдаемые напрямую в эксперименте, но и изредка предвидеть возможность получения новых эффектов [33,34].

Аналитическое объяснение результатов численных экспериментов по интенсификации излучения [35] проще всего производить в рамках двумерной модели отражения плоской монохроматической волны от особенности распределения электронной плотности, описываемой дельта-потенциалом. Такое представление достаточно для качественного описания эффектов, но, в силу своей простоты, оно не лишено известных недостатков, связанных с рядом используемых упрощений. В некоторых статьях были предприняты меры в отношении ликвидации связанных с этим подходом неточностей. Так, например, в статье [36] было произведено описание движения заряженных частиц в перетяжке гауссова импульса, а в статье [37] были рассмотрены аберрации, возникающие при отражении импульса излучения от релятивистского параболического зеркала. В статьях неоднократно также поднималась тема более реалистичного описания распределения плотности заряженных частиц при распространении плазменной волны или потока. В частности, Ахиезер и Половин да- ли описание решения уравнений нелинейных плазменных волн в смысле эллиптических функций [38], Буланов привел описание скэйлинга этих функций вблизи порога опрокидывания [39-41], Таджима показал возможность возникновения особенностей при опрокидывании квазиоднородного потока плазмы, Есиркепов произвел описание нелинейных когерентных структур плазмы, известных как релятивистские солитоны [42], Панченко показал возможность возникновения особенностей более высокого порядка [43], Шрёдер, а затем Буланов провели анализ опрокидывания волн в термической плазме и произвели описание возникающих при этом релятивистских структур, получивших название пиконов [44-47].

Данная статья поможет продвинуться в понимании процесса отражения импульса излучения от релятивистского зеркала, изучив зависимость эффективности отражения от спектральных характеристик падающего импульса. Для этого в первой главе рассматривается интенсификация излучения и параметры, определяющие свойства отраженного излучения. В частности, будет произведена качественная оценка влияния спектральной ширины падающего импульса на эффективность отражения и изменение временных характеристик отраженного сигнала. Далее описываются свойства различных неоднородностей распределения плотности лазерной плазмы, которые можно трактовать в качестве релятивистских зеркал. Например, особенностей, возникающих вследствие опрокидывания плазменных потоков. В следующей главе приводятся выражения для расчета коэффициента отражения и обоснуется необходимость учета их зависимости не только от свойств зеркала, но и от параметров падающего на него излучения. Затем в очередной главе аналитическим образом осуществляется расчет формы отраженного сигнала и выводятся зависимости интегральных коэффициентов отражения от параметров падающего излучения для различных релятивистских зеркал. В последней главе подведены итоговые заключения о процессе отражения импульса электромагнитного излучения от релятивистского зеркала и представлены выводы, включая перечисления факторов, влияющих на этот процесс и касающиеся спектра и длительности отраженного импульса.

2.    Интенсификация

Процесс отражения плоской волны с частотой wo от релятивистского зеркала представляет собой классический пример применения формализма преобразований Лоренца для электродинамических задач. Согласно [1] частота отраженной волны wref зависит от скорости релятивистского зеркала, соответствующей фактору Лоренца: ум = (1 — 3м)1/2 следующим образом:

wref = (1 + 23м COS Өо + Зм) 7мwo,(1)

где Өо — угол падения. При этом угол отражения Ө_те^ становится меньше угла падения и зависит от скорости зеркала:

(1 + 32 ) cos Ө о + 23м

COS ӨTef = -------М------7, •

'    1 + 23м COS Ө о + 3 2

Амплитуда же лазерного импульса преобразуется согласно следующему выражению:

W ef 1 / 2

-^ref = T0л ' , w0

где R — коэффициент отражения релятивистского зеркала по интенсивности в сопутствующей зеркалу системе отсчета.

Согласно методу интенсификации излучения, предложенному в статье [5], в качестве релятивистского зеркала используются пики электронной плотности нелинейных ленгмюровских волн, возбуждённых в плазме докритической концентрации сверхкоротким лазерным импульсом. Пики возникают в перекрестьях плазменных потоков при опрокидывании волны. Скорость движения пиков соответствует фазовой скорости кильватерной волны нрк, так что можно записать: рм = Pph = Uph/с. Заметим также, что в зависимости от того, направлена ли проекция волнового вектора излучения в ту же сторону, в которую движется релятивистское зеркало (рм < 0), или же в противоположную (Рм > 0), происходит понижение или повышение частоты света, растяжение или сжатие длины электромагнитного импульса и понижение или увеличение энергии электромагнитной волны.

Рассмотрим наиболее простой случай отражения встречной электромагнитной волны (Өо = 0). Из уравнения (1) следует увеличение частоты при отражении:

,.    _ ,. ^{(1 + p} ph )                     2_2

ш_ге у = ш о .      2 . = ^ш о ⁽¹ + ^p ph ) 7 ph -

^{(1    p} ph )

В ультрарелятивистском пределе, когда y_p h ^ 1, частота отраженного сигнала повышается в « 4₇ph

Следуя статье [5] и предположив отсутствие зависимости коэффициента отражения R от частоты, можно привести следующую оценку интенсивности I_;e , импульса излучения, сфокусированного в пятно с поперечным размером D_;e , и длительностью 5t_re,;

( D V St

I"f =Io (.Dve;) st™,R                         w где D и St поперечный размер и длительность отражаемого импульса (подробное рассмотрение см. в [37]). Поскольку длина волны отраженного излучения сокращается, то предельная фокусировка с учетом двойного эффекта Доплера дает следующее значение максимальной интенсивности в фокусе:

I = I o ( D ) (2y) 6 R.                                 (6)

Таким образом, мы видим, что повышение интенсивности в фокусе происходит пропорционально третьей степени у. Однако все упирается в коэффициент отражения по интенсивности, который легко определяется для плоской монохроматической волны, а для конечного импульса с некоторой огибающей его нахождение уже представляет нетривиальную задачу. Заметим, что от вида зависимости коэффициент отражения R от релятивистского у-фактора будет зависеть возможность повышения интенсивности излучения. Так, при R(w) ~ 1/у⁶ интенсификация излучения отсутствует.

3.    Релятивистские зеркала в плазме

Как уже говорилось ранее, в качестве релятивистских зеркал целесообразно использовать пики электронной плотности, образующиеся при опрокидывании ленгмюровских волн в лазерной плазме докритической концентрации. Фундаментальность этого процесса обеспечивает получение высокого коэффициента отражения и экспериментальную достижимость необходимых значений скорости зеркала. Для дальнейшего рассмотрения нам потребуется информация об особенности распределения плотности электронов в точке опрокидывания волны и в конечном счете о соответствующих этим особенностям коэффициентах отражения. С целью обоснования дальнейших выкладок рассмотрим различные сценарии опрокидывания ленгмюровских волн в плазме.

Впервые аналитическое описание взаимодействия электромагнитного излучения сверхвысокой интенсивности с веществом произведено Ахиезером и Половиным в статье [38], ставшей основополагающей благодаря точному решению задачи о релятивистски сильных колебаниях электромагнитного поля в плазме. Предположение о неподвижности ионов позволило авторам свести рассмотрение к совместному решению уравнений Максвелла и гидродинамики электронной жидкости в области распределения компенсирующего заряда ионов с концентрацией по, соответствующей равновесной концентрации.

Для описания релятивистской динамики плазмы воспользуемся ковариантным представлением уравнения Власова для частиц массы т и заряда q;

ра ^{f +} (q ^ғ “" р - ) 8 = °.                      ^|7>

Здесь f обозначает 4-скалярную функцию распределения частиц по фазовому пространству координат х¹ = (ct, г) и импульса р¹ = х ¹ = (7,73), дифференцирование осуществляется по всему пространству d ¹ = (d et , V), а единичный антисимметричный тензор F^1V = d ¹А — d^vА¹ описывает напряженность поля электромагнитного вектор-потенциала А¹ = (Ф,А).

Следуя [44], мы применим метод моментов, разработанный в статье [48]. Рассмотрим поток плазмы как движение замкнутого множества в фазовом пространстве. Тогда моменты функции распределения в фазовом пространстве являются 4-тензорами. Сохранение объема фазового пространства, занимаемого замкнутой системой, фактически определяет законы эволюции моментов, которые в свою очереь носят характер лоренц-инвариантных законов сохранения. Так, используя (7), можно показать, что из закона сохранения для момента первого порядка J¹ = f fp¹ d3p/p° непосредственно следует уравнение непрерывности:

diJ1 = °.(8)

При этом 4-импульс электронной жидкости определяется как соотношение моментов функции распределения первого и нулевого h = f fd?p/p° порядка:

Т1

и1 = т.(9)

Стоит также отметить, что релятивистский параметр 7^ = u1U1 = np/h фактически является фактором Лоренца, соответствующим температурному разбросу скоростей частиц. Тогда вектор скорости w потока частиц может быть определен из соотношения и1 = 7thP(1;w),(10)

в котором Г = (1 — w²)¹/² гамма-фактору соответствующий пространственному движению потока частиц. В квазистатическом приближении, постулирующем постоянство фазовой скорости плазменной волны в^ = 3_P h C, так что её характеристические параметры зависят от сопутствующей координаты £ = х — 3_phct, функция распределения принимает вид f (ЗіР¹) позволяя преобразовать уравнение (8):

d e \h7 th V(3 ph, — w)] = °

(И)

Отсюда следует, что в случае изначально равновесной плазмы для плотности заряженных частиц п в лабораторной системе отсчёта выполняется соотношение п = J0 =  3ph

по h   3 p _h -w'

Таким образом, распределение плотности заряженных частиц в плазменной волне зависит от распределения поля скоростей w, которое в свою очередь определяется тензором напряженности электромагнитного поля F¹ , эволюция которого описывается уравнениями Максвелла:

d 1 F¹ " = 4^^ ,

г где суммирование производится по всем сортам частиц.

в

В частном случае соленоидального поля вектор-потенциала (div А = °), например, такого, что его направление перпендикулярно направлению распространения волны

——

(А_х = 0, А = А(ж)), пространственную и временную части уравнений (13) можно представить так:

а- - ^— 7^ - ^ = 0,Ш)

с2с 7

Ау = 4тте(пе — по).(15)

Здесь потенциал электромагнитного поля (у, а) нормирован на т_е с²/е. Таким образом, в одномерном случае эволюция потенциала плазменной волны с волновым вектором к_р описывается уравнением Пуассона (15), преобразующимся с учетом (12) следующим образом:

1 -2о2     пе к- д£У = — р "     по

— 1 =

го

З рһ — г,

причем, потенциал у может быть выражен через распределение поля скоростей г и величину внешнего возбуждающего потенциала электромагнитного поля ал посредством рассмотрения уравнений сохранения моментов функции распределения высших порядков. Из последнего уравнения видно, что поведение кильватерной волны в бесстолкновительной плазме представляет собой типичный пример поведения волн в нелинейных системах в том смысле, что для них, как и для большинства нелинейных волн, характерно явление опрокидывания. Опрокидывание наступает, когда знаменатель в правой части уравнения (16) обращается в ноль, что соответствует бесконечной концентрации.

Так, в статье [45], опираясь на результаты рассмотрения плазменных волн большой амплитуды с учётом температурных эффектов, впервые полученные Коффи в его статье [49], был проведён анализ опрокидывания, учитывающий связь между продольным и поперечным разбросом температур, возникающим за счёт излучения. Также для частного случая сверхкороткого возбуждающего импульса, такого что 7 л = 1 + ал ~ 1, или для длинного импульса (|д^7л|/к_р7л ^ 1 ^и 7л ~ 1 ^в статье [45], было получено выражение для потенциала продольных плазменных колебаний у в горячей плазме. Оно имеет вид

¹ -P ph/ wL . _д2   ^{1 г}2  \   -.5

^{у 7л}_х        (^1+тЗрһ (Зрһ+г)2)   ¹   2 ^ө,                  ^(1,)

где введен безразмерный малый параметр т, соответствующий начальному температурному разбросу по скоростям Ө = к в Т/тс2 с константой Больцмана кв"

т =

2Ө  _{1 +} аЛ

²7Л      7Л^ рһ 7 рһ

Для определения распределения плотности частиц в окрестности точки опрокидывания необходимо рассмотреть, как это впервые было сделано в приближении холодной плазмы в статье [40], неявную зависимость импульса частиц от координаты, определяемую путем интегрирования (16):

^max       ^max

—кр^ = j Е = j E^ аг = У Зрһ^—Едш(Е(Ш) -E3)du),(19)

^min         00

где введён параметр Е2(ш) = J 2шу'_шДш/(З_Р һ — г), который является первым интегралом уравнения (16) с потенциалом (17) и имеет смысл электрического поля плазменной волны.

В пределе малых температур т ^ 0 потенциал (17) упрощается:

1 — З рһ г ^у = ^7Л Vf—^

— 1

и уравнение (16) принимает вид

7лд ² / 1 — З рһ г \ _ к р ЭЗ² _х г 2    =

г

З рһ гЮ'

Таким образом, в случае холодной плазмы опрокидывание происходит при стремлении знаменателя правой части (21) к нулю, то есть при ш ^ 3_рҺ- При этом подынтегральное выражение (19) имеет главный член разложения по 6 = 3_р Һ — ш в виде

₇з/4 ( 2АІ У/2

23 рһ

.

После интегрирования и обращения зависимости можно найти значение отличия скорости потока от максимальной 6 вблизи особенности, а затем и особенность распределения

концентрации электронов:

п(е) ~ 2             3

по ~    з2 / 3(к р е)^2/3

В случае ненулевого начального значения температуры электронов в плазме также может происходить опрокидывание кильватерных волн. При этом происходит образование так называемых пиконов — нелинейных структур, характеризуемых наличием разрыва значений производной распределения плотности по продольной координате. Такое название возникло из-за аналогии с похожей структурой, возникающей при опрокидывании гидродинамических волн в жидкости. В статье [46] проведён анализ формирования таких структур с применением модели водяного мешка (water bag model):

/

ө(р - p-о • ө(р+се) - р)

по--------------------------

где Ө(р) — тетта-функция Хевисайда, а параметр Mро соответствует параметру (18).

В этом случае распределение плотности плазмы вблизи порога опрокидывания ультра-

релятивистской ( 3рҺ s описано в виде	з 1) относительно холодной (M ро ^ 2/З р һ й рһ) волны может быть <>   - ^23. а                |2Я по             M ро
Причем	"*" = і2А*( / + 3рҺ7рҺ M ро - 3р-)'                  ,2<”

В итоге мы приходим к выводу, что в зависимости от определенных условий возможно формирование различных профилей потенциала р кильватерной волны, что в свою очередь приводит к изменению сценария опрокидывания. В качестве внешних условий может, к примеру, выступать распределение интенсивности возбуждающей волны. Как результат, в распределении плотности могут образовываться особенности различного порядка, что должно непосредственно повлиять на коэффициент отражения.

Чтобы подсчитать коэффициент отражения, рассмотрим взаимодействие электромагнитной волны с особенностью распределения плотности электронов, образовавшейся при опрокидывании плазменной волны. Электромагнитная волна, задающаяся ^-компонентой вектор-потенциала az(ж,у,і), описывается волновым уравнением (14), принимающим вид

d tt « z ^— с²⁽д_жжа_г + д у _У a_z ) + ^шр_е^(е )o,_z = О,

где шр_е(е) = 4ле2п(е)/т_е - переменная, определяющаяся распределением плотности электронов п(е). В подвижной системе отсчета, связанной с зеркалом, уравнение примет вид

^2"⁺ (^s2 ^{— к}р⁽С )) 'М ) = ⁰,

где

+∞

-к ) = /

a_z (£) exp(— іш'і^,)йі',

∞

т.е. будем рассматривать волновое уравнение для спектральной амплитуды, зависящей только от переменной С = (ж — t)_pht)y_Ph, t', ш’ — время и частота в сопутствующей системе координат, s² = (ш’/с)² — к ^ и кр(Д = шр_е/с² — волновые векторы электро-магнитной волны и плазменной волны, соответствующей распределению электронной плотности в зеркале.

Несмотря на наличие моделей (23) и (25), более точно описывающих распределение плотности в окрестности опрокидывания кильватерной волны, наиболее популярным ввиду своей простоты является описание особенности при помощи 5-функции Дирака:

п«) = по 15 (Д ,                                   (30)

где посредством і обозначена характерная толщина электронного слоя плотности по с таким же количеством электронов, то есть J п(Д d^ = поI, при этом стоит обратить внимание на размерность 5(Д, равную обратной длине. Подставляя в сопутствующей системе отсчета выражение (30) в уравнение (28), получим d2d^) + (s2 — д55 (С))а(С) = 0.(31)

Здесь было введено обозначение g g = к р і. Поиск коэффициента отражения от данной особенности во многом аналогичен задаче о решении одномерного стационарного уравнения Шрёдингера с потенциалом в виде дельта-функции Дирака. Ее решение имеет вид

\ т+ег8^ + р+е-^, С > 0,. .

а(С) = const | т-е„(,             (< 0,(32)

где т+ = r+(s) — спектральная амплитуда, падающего импульса, а. константы р+ и т-. соответствующие спектральным амплитудам отраженной и прошедшей электро-магнитных волн в системе отсчета, сопутствующей зеркалу, удовлетворяют следующим соотношениям:

T+(s) + P+(s) = т О),(33)

г8(т+(8) — p+(s) — T-(s)) = gg T-(s).(34)

Таким образом, амплитудный коэффициент отражения от зеркала, описываемого

5-потенциалом, равен

P+^(s) =

^—g s ^т+

2zs + g g .

Теперь рассмотрим более точную модель особенности, возникающей при опрокидывании кильватерной волны в плазме. Как показано в [43], распределение плотности в окрестности критической точки при различных сценариях опрокидывания может быть описано выражением

^п(О =

поС_а (к рО^а

где G_a = const является безразмерной константой, а параметр 1/2 < а <  1 определяется целочисленным порядком особенности j так, что верно а = j/(j + 1). Подставляя распределение плотности электронов (36) в уравнение (28), получим

+ («2 — ^) а(С ) = ⁰,                       ОТ)

причем для краткости введено новое обозначение:

g. = G.> ' д.

При а = 2/3 выражение (36) сводится к частному случаю (23), при этом коэффициент ^G2/3 = ^(2/9^{)1/3(1 + а}™^)1/67рЮ a g2/3 « ^(2/9^)1/3(1 + ^ат^)1/6кр^/37р^/3-

Аналогично проведенному в работах [43,50-52], будем искать решение уравнения (37) с использованием приближения Вентцеля-Крамерса-Бриллюэна. Это приближение оказывается справедливым в любой точке пространства, за исключением малой окрестности точки опрокидывания кильватерной волны:

а(С) « Wi«) bb₊e^{isW (С)} + b-e^-isW(^^ ,                        (39)

^w °"^{) =} ) V¹ -ПУ^ ^W1K) = (1-ПУГ"          ¹⁴⁰¹

С о

Здесь коэффициенты b+, b- рассматриваются как функции от W, а не от С, потому что, как это было разъяснено в [53], уравнение (40) устанавливает взаимно-однозначное соответствие между переменными W и С на действительной оси. Вдали от точки опрокидывания, т.е. формально при С ^ ±то, полу чаем д_а/\С ]“ ^ 0, что приводит к тому, что решение (39) является точным, так что b± ^ const при W ^ ±то.

Другими словами, при С ^ ±то имеются граничные условия b + (+Х ! = т+, b+(-^) = т-,

^b :⁺хі р . ,                       (41)

b—(-ro)=p-.                 (42)

Здесь т+- т_— 11 р+- р- - постоянные относительно W и С функции. при этом т+- также как и в случае с 5-потенциалом, определяется спектральной амплитудой падающей волны t + ( s). а р- = 0. поскольку отражен пая волна в области С < 0 отсутствует.

Умножив (37) на da(С )/dС и прошгтсгровав по С- получаем

+ s2a2(С)

С 2

С 2

] Г- I

С 1

С 1

С 1

д а da²(С ) \С\^а dС

При подстановке выражения (39) левая часть уравнения (43) упрощается:

( ^dadҚ⁾ ) ⁺ ^^) ~ ^4§2т+Р+

Устремляя пределы интегрирования к то, можно привести уравнение (43) к виду

4з2т+р+ = 2г8да(т-

— p+) /

-∞

_e 2 is(                   Д _e 2 is(

--— dС + 2isg_aT ²        dC

\С\^{а                   +}J \С\^а

Вычислив интегралы в правой части уравнения (45), с учетом непрерывности функции а(С )• получим

P + ^(s) =

д_ат+Г(1 — a) sin ^

s(2s)^1- “ — д_аГ(1 — a)e * ^f ,

где g определяется формой падающего и прошедшего импульса т+. Аналогичным образом, в случае пикона (25), частотная зависимость коэффициента отражения представляется в виде

P+ ,P ^(s) =

sin(2s)(2(k — 2)s cos(2s) + sin(2s))

4(fc — 1)s2

,

где k = n¹²Mро /др)/²-

4.    Параметры отраженного импульса

Как уже отмечалось, формула (6) не учитывает спектральной зависимости коэффициента отражения, наблюдаемой в (35) и (46). При этом для монохроматической волны подобная подстановка будет совершенно оправдана. Рассматриваемый в реальности импульс всегда имеет некоторое спектральное распределение, соответственно, для каждой частотной компоненты получается свой коэффициент отражения.

Если электромагнитный импульс имеет узкий спектр, Аш/ш ^ 1, а зависимость Д(ш) для неоднородностей в плазменном потоке Д(ш) меняется адиабатически, разница коэффициента отражения для разных частей спектра будет незначительной: AR/R ^ 1. Поэтому в случае узкополосного импульса с узким спектром отражение будет происходить по стандартному сценарию.

Однако при отражении импульса, имеющего широкий спектр, например фемтосекундного лазерного импульса, разница между коэффициентами отражения для различных областей спектра может стать значительной, поэтому данная задача требует особого внимания.

Стоит отметить, что в плане необходимости учёта спектральной зависимости при отражении от особенности распределения электронной плотности сверхкороткие импульсы электромагнитного излучения близки к солитонам, рассмотренным в работе [27]. По аналогии имеет смысл провести анализ спектральных характеристик релятивистских зеркал в общем виде.

Рассмотрим импульс электромагнитного излучения, плоскость поляризации которого перпендикулярна направлению его распространения. Нормированный векторный потенциал этого импульса будем описывать в комплексном представлении:

е , . . _ ,.

^А гпс = _{т с}2 ^{(А +} ^ ^А)■ (48)

При этом конечность импульса предусмотрим посредством разделения сигнальной функции на огибающую С (ж + ct) и несущую компоненты exp [г(ші + kx)] то есть

А_ІПс = С (ж + ct) е^і(ш^^+/сж) = С (ж + ct)^^^+ct) ■ (49)

В качестве релятивистского зеркала может выступать модуляция электронной плотности плазмы, образованная опрокидыванием кильватерной волны в плазме. Скорость распространения кильватерной волны близка к скорости света в вакууме. Для упрощения расчетов перейдем в подвижную систему отсчета, связанную с плазменной волной. Начало координат (ж' = 0) привяжем к точке опрокидывания волны, а ось ОХ направим вдоль её волнового вектора. Выбранная нами система отсчета движется с фазовой скоростью волны V ph относительно лабораторной системы отсчета. В этой системе отсчета векторный потенциал импульса обозначим А'_іпс(Х‘) = А'_іпс(Ж,t ), где Х ' = ж' + ct', ж = у_РДж' + у _р һ^) и t = y_p h (t' + v_p h ж'/с²). В итоге для вектор-потенциала в подвижной системе отсчета получим

А^ж' + ct') =Сі(Х ')e^ifc(W ‘^, (50)

где С₁(Х') = С (у (1 + Р )Х'). Воспользуемся преобразованием Фурье:

ˆ ∞

∞

С₁(Х ')е^⁽¹+Ж ‘- ^к ’ х ’дХ'.

С помощью коэффициента отражения по волновому вектору определим амплитуду отраженной волны:

АДу (fe') = A^WY

Таким образом, мы получили фурье-образ амплитуды отраженной волны. Чтобы получить значение самой амплитуды, необходимо произвести обратное преобразование Фурье:

Aef (Х'')

Г p(kV^x- 2^ J — га

∞

∞

С₁ (Х' )е^ік ч ⁽¹⁺№' е^ік'^х'аХ'ак'.

Поменяв порядок интегрирования, в конечном итоге получим

A'_ref (X‘‘) = — Г Ci(X‘)e^ikA¹⁺ E )^x' 2тт -^

, ік ‘( Х ’’-

^х ‘) dk^ dX‘.

Заметим, что при взятии интеграла по dk' результат можно представить в виде произведения 0-функции Хевисайда на некоторую функцию Coeff, зависящую от X‘‘ — X‘, имеющую значение спектра коэффициента отражения, т.е.

[~ Р(к' )

-∞

e^ik‘^(x‘‘^-x‘)dk’ = Coeff (X ‘‘

— X ‘)0(X ‘‘ — X ‘),

что в итоге даст нам

^A ref

х ‘‘

(X ‘‘) = /

-∞

— Х ’

A i _nc(X ‘ )Coeff (X ‘‘

— X ‘)dX ‘.

Так как напряженность электромагнитного поля выражается через векторный потенциал как Е = —dA/dct. то

Е Г ef (X ‘‘ ) =^4 ef (X ")Coeff (0) + /^ ! X ‘ ) ^dCoeff _d ⁽ X ‘ ^X ‘ ) dX ‘. (57)

Таким образом, решение задачи сводится к нахождению спектрального разложения коэффициента отражения Coeff. Очевидно, что результирующая зависимость будет зависеть как от формы падающего импульса, так и от формы коэффициента отражения.

Найденный в предыдущей части статьи коэффициент р+ является аналогично коэффициенту т+ спектральной амплитудой отраженной волны, что позволяет найти амплитуду отраженного импульса в соответствии с (55) следующим образом:

G ref (*‘) = 71 [    P+(s)e^iSCt‘ ds.

²^ J — га

В целях анализа зависимостей параметров отраженного импульса от характеристик падающего импульса и спектра коэффициента отражения удобно привести результаты модельных расчетов (рис. 1). Рассматривается фемтосекундный гауссовый лазерный импульс с длиной волны излучения ~ 370 нм. Для параметра зеркала выбрано характерное a = 2/3.

а)

б)

Рис. 1. Безразмерная амплитуда, и спектр вектор-потенциала, падающего (а) и отраженного (б) лазерного импульса при различных значениях параметра д ^д = 1 - сплошная, д = 3 - пунктирная, д = 20 - точечная линия)

После отражения от релятивистского зеркала спектр импульса меняется в зависимости от параметра, д = д_а2^а-^^а— (рис. 2). в конечном счете зависящего от соотношения k_p/s.

Рис. 2. Спектр отраженного импульса, при раз- Рис. 3. Изменение параметров спектра, отражен-личных значениях параметра д (сплошная - иого импульса в зависимости от параметра д д = 1. пуикттірная - д = 3. точсчпая - д = 20.

серая линия соответствует значению д ^ 1)

При этом в зависимости от д центральная частота отраженного импульса, его ширина и спектральная амплитуда, могут меняться (рис. 3). Подобная зависимость обусловлена, существенной нелинейностью спектральной амплитуды коэффициента отражения.

От параметра д зависят также длительность, амплитуда и сдвиг по времени отраженного импульса, что видно по рис. 4.

Рис. 4. Зависимость параметров отраженного импульса от параметра д. Верхняя линия соответствует длительности отраженного импульса, средняя - амплитуде, нижняя - временной задержке

*

Следует особо отметить, что за. счет нелинейного характера, отражения может быть реализован режим аномальной дисперсии, сокращение или увеличение длительности отраженного импульса, а. также усиление импульса, за. счет спектрального уплотнения.

Также в целях определения степени влияния изученного эффекта, на. эксперименты, демонстрирующие отражение от релятивистских зеркал, были произведены расчеты, соответствующие модельному случаю падающего импульса, приближенного к тому, что получается на. установке J-KAREN (рис. 5). Длина, волны излучения составляет 800 нм, а. его полуширина, около 10 нм.

A, mc2 • e ,       A', mc2 • e 0.5 12 2 2428 Ω,PHz

1.0 0.8 t                   ^—длительность, фс 0.6 / ,                     — — амплитуда, отн.ед. 0.4 ■     \                 , //         •.„          --■ задержка, фс 0.2 2     4     6      8     10

Рис. 5. Модель импульса, излучения Рис. 6. Параметры отраженного импульса. J-KAREN J-KAREN и его спектр                в зависимости от д

Если частота отражаемого импульса не отличается от частоты импульса, возбуждающего опрокидывающуюся волну в плазме докритической концентрации, величина параметра д оказывается значительно больше единицы, нелинейность коэффициента отражения и степень спектрального искажения отраженного импульса оказывается несущественными. Если же рассмотреть задачу получения сверхмощных аттосекундных импульсов путем отражения ультракороткого импульса (единицы переколебаний), коэффициент д может оказаться значительно меньше единицы. В таком случае возможно использовать рассмотренный эффект для существенного искажения (ужатия) спектра.

5.    Заключение

Интенсификация излучения в модели летящего зеркала опирается на релятивистское повышение частоты отраженного импульса за счет двойного доплер-эффекта. Релятивистские зеркала могут быть сформированы в виде особенностей распределения плотности частиц при опрокидывании плазменных волн. При этом коэффициент отражения таких зеркал оказывается частотно зависим. В ходе решения задачи о надбарьерном отражении электромагнитной волны от релятивистского плазменного зеркала получено значение спектральной амплитуды коэффициента отражение. Дальнейшее рассмотрение, основанное на моделировании падающего импульса и численном интегрировании решения позволило сделать ряд выводов касательно характеристик отраженного излучения. Показано, что за счет нелинейного характера спектральной зависимости коэффициента отражения изменяются центральная частота и ширина спектра отраженного импульса. Также меняется длительность импульса и время, затрачиваемое на отражение. Амплитуда отраженного сигнала может не только снизиться за счет потерь на проходящий импульс, но и усилиться за счет спектрального уплотнения. Наблюдаемые эффекты окажутся тем сильнее, чем короче будет отражаемый импульс и чем шире окажется его спектр. Так, для импульса длительностью в одно переколебание может быть реализованы условия, позволяющие создавать сверхмощные аттосекундные импульсы.