Спектральные разложения в динамических задачах вязкоупругости
Автор: Лычева Т.Н., Лычев С.А.
Статья в выпуске: 4, 2016 года.
Бесплатный доступ
Теоретические зависимости, получаемые из решений динамических задач вязкоупругости, представляют собой эффективную основу для экспериментальной динамической идентификации реологических свойств материалов. Для построения таких зависимостей предпочтительными являются замкнутые (записываемые в форме сходящихся рядов или интегралов) решения модельных начально-краевых задач, поскольку они, в отличие от решений, получаемых численными методами, допускают строгие оценки погрешности. Однако построение аналитических решений сопряжено с рядом трудностей: 1) Как правило, принимается гипотеза о пропорциональности операторов релаксации, соответствующих первому и второму модулям Ламе, что равносильно гипотезе о постоянном коэффициенте Пуассона; это в значительной мере снижает общность рассматриваемых моделей. 2) Представление решений трехмерных задач в форме разложений по собственным функциям приводит к необходимости учета большого числа собственных значений, которые, в подавляющем большинстве задач, могут быть найдены только численно, как корни трансцендентных уравнений; при этом велика вероятность пропуска близко расположенных и кратных корней. 3) Построенные ряды медленно сходятся. В настоящей работе предлагаются способы преодоления этих трудностей. Решения начально-краевых задач представляются в форме спектральных разложений, но в отличие от классического метода Фурье разложения ведутся по биортогональным системам собственных функций взаимно сопряженных пучков дифференциальных операторов, определяемых обобщенными задачами Штурма-Лиувилля с полиномиальным вхождением спектрального параметра. Это позволяет отказаться от гипотезы о пропорциональности операторов релаксации. Получены алгоритмически эффективные соотношения для компонент разложения, определяющие нормировку собственных функций, координатные функции, а также асимптотические формулы для начальных приближений корней частотного уравнения, исключающие их пропуск при вычислениях, в том числе в случаях кратных корней. Предлагается энергетическое ранжирование элементов спектрального разложения, позволяющее достигать требуемой точности вычислений на частичных суммах невысокого порядка.
Линейная вязкоупругость, модели темпового типа, динамика, замкнутые решения, спектральные разложения, биортогональность, асимптотические представления для собственных значений
Короткий адрес: https://sciup.org/146211637
IDR: 146211637 | УДК: 539.3 | DOI: 10.15593/perm.mech/2016.4.08
Spectral decompositions in dynamical viscoelastic problems
Theoretical relations obtained from solutions of dynamic problems of viscoelasticity represent an effective framework for experimental identification of dynamic rheological properties of materials. For the construction of such relations, closed solutions of boundary value problems (i.e. written in the form of convergent series or integrals) are preferred, because they(unlike solutions obtained by numerical methods) allow strict error estimates. However, the construction of analytical solutions is associated with the following difficulties. 1. As usual, the hypothesis of proportionality is accepted for relaxation operators corresponding to the first and second Lamé moduli, which is equivalent to the hypothesis of a constant Poisson's ratio. This significantly reduces the generality of consideration. 2. Representation of solutions for three-dimensional problems in the form of expansions in eigenfunctions makes it necessary to taking into account the large eigenvalues which in the vast majority of problems can be found only numerically, as the roots of transcendental equations, thus, it is likely to skip closely spaced and multiple roots. 3. Constructed series converge slowly. In this paper we suggest ways to overcome these difficulties. Solutions of initial boundary value problems are presented in the form of spectral expansions, but in contrast to the classical method of Fourier decomposition they are expanded over biorthogonal system of eigenfunctions of mutually conjugate pencils of differential operators. This pencils define generalized Sturm-Liouville problem with a polynomial spectral parameter. This eliminates the hypothesis of proportionality relaxation operators. Effective relations for the terms of spectral(in particular normalization factors) coordinate functions and asymptotic formulas for the initial approximations of eigenvalues excluding their omission in calculations are obtained. Power related ranking of elements of the spectral decomposition is proposed which allows achievingthe required accuracy of calculations on the partial sums of a low order.
Список литературы Спектральные разложения в динамических задачах вязкоупругости
- Рейнер М. Реология. -М.: Наука, 1958. -224 с.
- Фрейденталь А., Гейрингер Ф. Математические теории неупругой сплошной среды. -М.: Гос. изд-во физ.-мат. лит., 1962. -432 с.
- Бленд Д.Р. Теория линейной вязкоупругости. -М.: Мир, 1965. -390 с.
- Reiner M., Lewis H.K. Advancedrheology. -London, 1971. -374 p.
- Alber H.-D. Materials with Memory: Initial-Boundary Value Problems for Constitutive Equations with Internal Variables. -Springer, 1988. -170 p.
- Работнов Ю.Н. Ползучесть элементов конструкций. -М.: Наука, 1966. -752 с.
- Ржаницын А.Р. Теория ползучести. -М.: Изд-во лит. по строит., 1968. -416 с.
- Ильюшин А.А., Победря Б.Е. Основы математической теории термовязкоупругости.-М.: Наука, 1970. -280 с.
- Пшеничнов С.Г. Динамические задачи линейной вязкоупругости для кусочно-однородных тел//Изв. РАН. МТТ. -2016. -№ 1. -С. 79-89.
- Amendola G., Fabrizio M., Golden J.M. Thermodynamics of materials with memory. -Springer, 2012. -574 p.
- Дэй У.А. Термодинамикапростыхсредспамятью. -М.: Мир 1974. -190 с.
- Полянин А.Д., Лычев С.А. Различные представления решений систем уравнений механики сплошных сред//Докл. Акад. наук. -2014. -Т. 455, № 2. -С. 162-166.
- Полянин А.Д., Лычев С.А. Различные способы декомпозиции линейных уравнений механики сплошных сред//Докл. Акад. наук. -2014. -Т. 458, № 6. -С. 663-666.
- Polyanin A.D., Lychev S.A. Decomposition methods for coupled 3d equations of applied mathematics and continuum mechanics: Partial survey, classification, new results, and generalizations//Applied Mathematical Modelling. -2016. -Vol. 40. -No. 4. -P. 3298-3324.
- Nairn J.A. Measurement of polymer viscoelastic response during an impact experiment//Polym. Eng. Sci. -1989. -Vol. 29. -No. 10. -P. 654-661.
- Baily F. On the correction of a pendulum for the reduction to a vacuum: Together with remarks on some anomalies observed in pendulum experiments//Philosophical Transactions of the Royal Society of London. -1832. -Vol. 122. -P. 399-492.
- Stokes G.G. On the theories of the internal friction of fluids in motion, and of the equilibrium and motion of elastic solids//Mathematical and Physical Papers. Cambridge University Press (CUP). -1866. -Vol. 1. -P. 75-129.
- Maxwell J.C. The bakerian lecture: On the viscosity or internal friction of air and other gases//Philosophical Transactions of the Royal Society of London. -1866. -Vol. 156. -P. 249-268.
- Thomson W. On the elasticity and viscosity of metals//Proceedings of the Royal Society of London. -1865. -Vol. 14. -P. 289-297.
- Voigt W. Ueber innere reibung fester körper, insbesondere der metalle//Ann. Phys. Chem.-1892. -Vol. 283. -No. 12. -P. 671-693.
- Gibbs J. W. Vector Analysis, a text-book for the use of students of mathematics and physics, founded upon the lectures of J. Willard Gibbs. -New Haven Yale University Press, 1901. -480 p.
- Gurtin M.E. The linear theory of elasticity//Linear Theories of Elasticity and Thermoelasticity. -Springer, 1973. -P. 1-295.
- Truesdell C., Noll W. The non-linear field theories of mechanics. -Springer, 2004. -602 p.
- Михлин С.Г. Курс математической физики. -М.: Наука, 1968. -576 с.
- Kellogg O.D. Foundations of potential theory//Die Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften. Vol. 31. -Springer, 1967. -386 p.
- Трусделл К. Первоначальный курс рациональной механики сплошной среды. -М.: Мир, 1975. -592 с.
- Наймарк М. А. Линейные дифференциальные операторы. -М.: Наука, 1969. -526 с.
- Кристенсен Р. Введение в теорию вязкоупругости. -М.: Мир, 1974. -338 с.
- Лычев С. А., Сеницкий Ю. Э. Несимметричные интегральные преобразования и их приложения к задачам вязкоупругости//Вестн. Самар. гос. ун-та. Естественно-научная серия. -2002. -Спец. вып. -C. 16-38.
- Лычeв С. А. Связанная динамическая задача термовязкоупругости//Изв. РАН. МТТ. -2008. -№ 5. -С. 95-113.
- Лычев С.А., Манжиров А.В., Юбер С. В. Замкнутые решения краевых задач связанной термоупругости//Изв. РАН. МТТ. -2010. -№ 4. -С. 138-154.
- Келдыш М. В. О полнoте собственных функций некоторых классов несамосопряженных линейных операторов//УМН. -1971. -T. 26,4(160). -С. 15-41.
- Pochhammer L. Ueber die fortpflanzungsgeschwindigkeiten kleiner schwingungen in einem unbegrenzten isotropen kreiscylinder//Journal für die reine und angewandte Mathematik. -1876. -Vol. 81. -P. 324-336.
- Chree C. The equations of an isotropic elastic solid in polar and cylindrical co-ordinates their solution and application//Transactions of the Cambridge Philosophical Society. -1889. -Vol. 14. -P. 250.
- Filon L.N.G. On the elastic equilibrium of circular cylinders under certain practical systems of load//Philosophical Transactions of the Royal Society A: Mathematical, Physical and Engineering Sciences. -1902. -Vol. 198. -No. 300-311. -P. 147-233.
- Eringen A.C., Suhubi E S. Elastodynamics. Vol. 1; Finite Motions, 1974. -Vol. 2: Linear Theory. -New York-London, Academic Press, 1975. -1018 p.
- Meleshko V. Equilibrium of an elastic finite cylinder: Filon's problem revisited//Journal of Engineering Mathematics. -2003. -Vol. 46. -No. 3/4. -P. 355-376.
- Ляв А. Математическая теория упругости. -М.-Л.: ОНТИ, 1935. -674 с.
- Ватсон Дж.Н. Теория бесселевых функций. -М.: Изд-во иностр. лит., 1949. -798 с.
