Спектральные разложения в динамических задачах вязкоупругости

Теоретические зависимости, получаемые из решений динамических задач вязкоупругости, представляют собой эффективную основу для экспериментальной динамической идентификации реологических свойств материалов. Для построения таких зависимостей предпочтительными являются замкнутые (записываемые в форме сходящихся рядов или интегралов) решения модельных начально-краевых задач, поскольку они, в отличие от решений, получаемых численными методами, допускают строгие оценки погрешности. Однако построение аналитических решений сопряжено с рядом трудностей: 1) Как правило, принимается гипотеза о пропорциональности операторов релаксации, соответствующих первому и второму модулям Ламе, что равносильно гипотезе о постоянном коэффициенте Пуассона; это в значительной мере снижает общность рассматриваемых моделей. 2) Представление решений трехмерных задач в форме разложений по собственным функциям приводит к необходимости учета большого числа собственных значений, которые, в подавляющем большинстве задач, могут быть найдены только численно, как корни трансцендентных уравнений; при этом велика вероятность пропуска близко расположенных и кратных корней. 3) Построенные ряды медленно сходятся. В настоящей работе предлагаются способы преодоления этих трудностей. Решения начально-краевых задач представляются в форме спектральных разложений, но в отличие от классического метода Фурье разложения ведутся по биортогональным системам собственных функций взаимно сопряженных пучков дифференциальных операторов, определяемых обобщенными задачами Штурма-Лиувилля с полиномиальным вхождением спектрального параметра. Это позволяет отказаться от гипотезы о пропорциональности операторов релаксации. Получены алгоритмически эффективные соотношения для компонент разложения, определяющие нормировку собственных функций, координатные функции, а также асимптотические формулы для начальных приближений корней частотного уравнения, исключающие их пропуск при вычислениях, в том числе в случаях кратных корней. Предлагается энергетическое ранжирование элементов спектрального разложения, позволяющее достигать требуемой точности вычислений на частичных суммах невысокого порядка.