Способ оценки оптимального состава сил и средств при отражении авиационного удара

Таблица 1. Матрица эффективности

a i	n j				K(a i )
	n 1	n 2		n k
a 1	k 11	k12		k1k
a 2	k 21	k 22		k 2k
am	k m1	k m2		k mk

Таблица 2. Исходная матрица с результатами частных исходов

a i	n j
	n 1	n 2	n 3	n 4
a 1	0.1	0.5	0.1	0.2
a 2	0.2	0.3	0.2	0.4
a 3	0.1	0.4	0.4	0.3

– Лапласа;

– осторожного наблюдателя (Вальда);

– максимакса;

• –    пессимизма-оптимизма (Гурвица);

• –    минимального риска (Сэвиджа) [2].

Рассмотрим возможность применения матрицы эффективности для оценки исходов вариантов действия при применении авиационных комплексов при отражении воздушных целей. Для этого n1 – одна воздушная цель, n2 – две воздушные цели, n3 – три воздушные цели, n4 – четыре воздушные цели. Матрица эффективности представлена в табл. 2.

Критерий среднего выигрыша

Данный критерий предполагает задание вероятностей состояния обстановки pi. Эффективность систем оценивается как среднее значение оценок эффективности по всем состояниям обстановки [2, 3]:

t

^K(a i ) = Е P j kij’ j = 1

Kопт = max K(ai).

Если p 1 =0.4, p 2 =0.2, p 3 =0.1, p 4 =0.3, то получим:

К(а 1 )=0.21, К(а 2 )=0.28, К(а 3 )=0.25.

Следовательно, вероятность того, что появится в зоне ответственности одна цель, p₁=0.4, две цели – p 2 =0.2, три цели – p 3 =0.1, четыре цели – p 4 =0.3. После обработки результатов эффективность использования первого варианта = 0.21, второго варианта = 0.28, третьего варианта = 0.25.

Оптимальное решение – вариант а ₂.

Критерий Лапласа

В основе критерия лежит предположение: поскольку о состояниях обстановки ничего не известно, то их можно считать равновероятными.

t

K(ai) = - £ kj,                                               (2)

n j = i

Kопт = max K(ai).

Рассчитаем эффективность систем по данному критерию для приведенного примера:

К(а 1 ) = 0,25 (0,1 + 0,5 + 0,1 + 0,2) = 0,225;

К(а 2 ) = 0,25 (0,2 + 0,3 + 0,2 + 0,4) = 0,275;

К(а 3 ) = 0,25 (0,1 + 0,4 + 0,4 + 0,3) = 0,3.

Оптимальное решение – вариант а₃. Критерий Лапласа представляет собой частный случай критерия среднего выигрыша.

Критерий осторожного наблюдателя (Вальда)

Это максиминный критерий, он гарантирует определенный выигрыш при наихудших условиях. Критерий основывается на том, что, если состояние обстановки неизвестно, нужно поступать самым осторожным образом, ориентируясь на минимальное значение эффективности каждой системы.

В каждой строке матрицы эффективности находится минимальная из оценок систем по различным состояниям обстановки. Оптимальной считается система из строки с максимальным значением эффективности.

K(a i ) = min k ij ,                                                                       (3)

K опт = max K(a i ).

Применение критерия максимина к нашему примеру дает следующие оценки [2]:

К(а 1 ) = min (0,1; 0,5; 0,1; 0,2) = 0,1;

К(а 2 ) = min (0,2; 0,3; 0,2; 0,4) = 0,2;

К(a 3 ) = min (0,1; 0,4; 0,4; 0,3) = 0,1.

Оптимальное решение – вариант а₂ .

Максиминный критерий ориентирует на решение, не содержащее элементов риска: при любом из возможных состояний обстановки выбранная система покажет результат операции не хуже найденного максимина. Такая осторожность является в ряде случаев недостатком критерия. Другой недостаток – добавление постоянного числа к каждому элементу столбца матрицы эффективности влияет на выбор системы.

Критерий максимакса

Этим критерием предписывается оценивать системы по максимальному значению эффективности и выбирать в качестве оптимального решения систему, обладающую эффективностью с наибольшим из максимумов [2, 3].

K(a i ) = max k ij ,                                                                  (4)

Kопт = max K(ai).

Оценки систем на основе максимаксного критерия в нашем примере принимают такие значения:

K(a1) = max (0,1; 0,5; 0,1; 0,2) = 0,5;

К(а 2 ) = max (0,2; 0,3; 0,2; 0,4) = 0,4;

К(а з ) = max (0,1; 0,4; 0,4; 0,3) = 0,4.

Оптимальное решение – вариант а₁. Критерий максимакса – самый оптимистический критерий. Те, кто предпочитает им пользоваться, всегда надеются на лучшее состояние обстановки и, естественно, в большой степени рискуют.

Критерий пессимизма-оптимизма (Гурвица)

Это критерий обобщенного макси/мини. Согласно данному критерию при оценке и выборе систем неразумно проявлять как осторожность, так и азарт, а следует, учитывая самое высокое и самое низкое значения эффективности, занимать промежуточную позицию (взвешиваются наихудшие и наилучшие условия). Для этого вводится коэффициент оптимизма α (О <  α < 1), характеризующий отношение к риску лица, принимающего решение. Эффективность систем находится как взвешенная с помощью коэффициента α сумма максимальной и минимальной оценок [2]:

К(а i ) = α max k ij + (1 – α) min k ij .                                               (5)

Условие оптимальности записывается в виде

K_опт = max K(a_i), 0 < α < 1.                                                 (6)

Зададимся значением α = 0,6 и рассчитаем эффективность систем для рассматриваемого примера:

K(а 1 ) = 0,34;

K(a 2 ) = 0,32;

K(a 3 ) = 0,34.

Оптимальным вариантом будет a ₁.

Значение α может определяться методом экспертных оценок. Очевидно, чем опаснее оцениваемая ситуация, тем ближе величина α должна быть к единице, когда гарантируется наибольший из минимальных выигрышей или наименьший из максимальных рисков.

На практике пользуются значениями коэффициента α в пределах 0,3 – 0,7.

Критерий минимального риска (Сэвиджа)

Минимизирует потери эффективности при наихудших условиях. Для оценки систем на основе данного критерия матрица эффективности должна быть преобразована в матрицу потерь (риска). Каждый элемент матрицы потерь определяется как разность между максимальным и текущим значениями оценок эффективности в столбце [1]:

∆k_ij = max_i k_ij – k_ij.                                                                  (7)

После преобразования матрицы используется критерий минимакса:

Оценим эффективность систем из приведенного примера в соответствии с данным критерием. Матрице эффективности будет соответствовать матрица потерь (табл. 3). Тогда

К(а 1 ) = 0,3; К(а 2 ) = 0,2; K(a 3 ) = 0,1.

Оптимальное решение – вариант а₁. Критерий минимального риска отражает сожаление по поводу того, что выбранная система не оказалась наилучшей при определенном состоянии обстановки. Так, если произвести выбор системы а₁, а состояние обстановки в действительности n 3 , то сожаление, что не выбрана наилучшая из систем ( а з ), составит 0,3. О критерии Сэвиджа можно сказать, что он, как и критерий Вальда, относится к числу осторожных критериев. По сравнению с критерием Вальда в нем придается несколько большее значение выигрышу, чем проигрышу.

Таким образом, эффективность систем в неопределенных операциях может оцениваться по целому ряду критериев. На выбор того или иного критерия оказывает влияние ряд факторов:

• –    природа конкретной операции и ее цель (в одних операциях допустим риск, в других – нужен гарантированный результат);

• –    причины неопределенности (одно дело, когда неопределенность является случайным результатом действия объективных законов природы, и другое, когда она вызывается действиями разумного противника, стремящегося помешать в достижении цели);

• –    характер лица, принимающего решение (одни люди склонны к риску в надежде добиться большего успеха, другие предпочитают действовать всегда осторожно).

Устойчивость выбранного рационального варианта можно оценить на основе анализа по нескольким критериям. Если существует совпадение, то имеется большая уверенность в правильности выбора варианта.

Таблица 3. Матрица потерь

a i	n j
	n 1	n 2	n 3	n 4
a 1	0.1	0	0.3	0.2
a 2	0	0.2	0.2	0
a 3	0.1	0.1	0	0.1