Способ восстановления булевой функции нескольких переменных по ее производной

Введение. Булевы функции нескольких переменных играют важную роль в криптографии и теории кодирования. Композиции этих функций используются в ряде симметрических криптосистем; с их помощью могут быть определены некоторые помехоустойчивые коды, например, коды Рида-Маллера, коды Кердока, а также построены новые декодеры, работающие за пределом половины кодового расстояния. В работе рассматривается задача восстановления булевой функции по ее производной, названная задачей интегрирования булевых функций. При восстановлении булевой функции вектор, в направлении которого вычислена производная, полагается неизвестным. Материалы и методы. Результаты получены на базе следующей методологии: теория булевых функций, теория конечных полей и полиномиальных колец, линейная алгебра. Пространство булевых функций рассмотрено как некоторое изоморфное факторкольцо, что позволило свести поставленную задачу к поиску решения полиномиальной системы уравнений специального вида. Построенный изоморфизм позволяет проверить, разрешима ли задача об интегрировании, а также предложить новый способ ее решения. Результаты исследования. Формально построен алгоритм поиска прообраза методом полного перебора, вычислена его алгоритмическая сложность. Доказана теорема о необходимых и достаточных условиях существования прообраза для произвольной булевой функции, которая рассматривается как значение производной по направлению. Приводимые доказательства носят конструктивный характер. На основе доказанных фактов построены алгоритмы проверки существования прообраза для заданной булевой функции и построения прообраза. В предложенном варианте алгоритм строит только один из возможных прообразов, при условии его существования. Предложенный алгоритм построения прообраза обладает с точки зрения алгоритмической сложности значительной эффективностью по сравнению с методом полного перебора. Приводятся временные оценки сложности основных формальных алгоритмов, разработанных для решения поставленных задач, описано сравнение сложности их работы со сложностью алгоритма интегрирования булевых функций методом полного перебора. Обсуждение и заключения. Выполненная работа может быть полезна для специальных разделов криптографии и теории кодирования, в которых используются булевы функции нескольких переменных.