Сравнительный анализ методов Data Envelopment Analysis и Stochastic Frontier Analysis

Изначально, предпосылками для создания метода DEA в современном виде стали идеи M. J. Farrell, которые он отразил в статье «The measurement of productive efficiency» в 1957 году. Автор задавался вопросом: как повысить эффективность компании без изменения при этом объема ресурсов. В результате исследований Фарелл предложил метод Data Envelopment Analysis, где под эффективностью сельскохозяйственных фирм понимал способность произвести так много, сколько возможно, исходя из имеющегося набора ресурсов (при ориентации на выходные параметры) и способность тратить минимум ресурсов для производства одного и того же объёма продукции (при ориентации на входные параметры).

Далее, основываясь на методе Фарелла, американские ученые A. Charnes, W. W. Cooper, E. Rhodes в 1978 году предложили свою модель, которая приобрела большую огласку по всему миру1. Они применили линейное программирование для оценки границы производственных возможностей, что позволило дать оценку относительной эффективности DMU - decision making units или Модули Принятия Решений (МПР).

Современное измерение эффективности началось с Фарелла, который определял эффективность (efficiency) - отношение совокупной ценности «результата» или выходных параметров к оценке совокупной ценности «затрат» или входных параметров.

сумма взвешенных "выходных" параметров

Техническая эффективность= сумма взвешенных "входных" параметров

На основе имеющихся данных строится граница производственных возможностей (граница эффективности) в пространстве входных и выходных переменных, описывающих объекты, эффективность которых необходимо определить. Степень эффективности объекта, выраженная количественно, будет зависеть от расстояния между ним и границей эффективности, то есть чем выше степень близости объекта к границе, тем она более эффективна.

Граница же, в свою очередь, строится на основе многократного решения задачи линейного программирования.

Лучшая граница эффективности объектов из выборки будет находиться прямо на выявленной границе (т.е. его эффективность будет равна 100%), а все остальные МПР будут к нему приближаться в той или иной мере, имея эффективность от 0 до 100%2.

Рассмотрим наиболее распространенные базовые модели DEA: модель CCR разработана учеными: Charnes, Cooper, Rhodes в 1978 году, и модель BCC, разработанная Banker, Charnes, Cooper в 1984 году. Обе эти модели основаны на эффекте масштаба, в модели CCR он постоянный, это подразумевает постоянный рост продуктивности вдоль границы эффективности. Далеко не всегда изменение одного параметра ведет к пропорциональному изменению другого параметра, не учитываются здесь и другие переменные, которые прямо или косвенно могут влиять на процесс производства.

В модели BCC подразумевается переменный эффект масштаба, то есть она более приближена к действительности, ведь позволяет учитывать специфику деятельности каждого предприятия. Значения входных и выходных параметров могут меняться диспропорционально, что позволяет увеличить выборку предприятий при оценке эффективности.

Для более детального и глубокого понимания сути метода необходимо задать математически формализованное описание метода.

Пусть необходимо оценить эффективность каждого из n объектов. Каждый объект Oj, j=1,n, описывается парой векторов (Xj,yj). В этой паре вектор Xj=(Xj1,..., Xji..., Xjm)T содержит входные переменные для j-го объекта, а вектор yj = (yj1,..., yjr..., yjS)T содержит выходные переменные для j-го объекта. Тогда матрица X = (xj) размерности m × n содержит входные данные для всех n объектов, а матрица Y = (yj) размерности s × n содержит выходные данные для всех n объектов.

Модель формулируется в виде задачи линейного программирования в следующем виде: mine^(0),

• -y j + ^^Л ^ 0, 0x_j -XA>0, A>0.

  
  

Скаляр 0 является мерой эффективности j-го объекта, при этом 0 £ (0;

1]. Вектор констант Л = (A 1 ,

...,

A j ,..., Л_п ) T отражает степень подобия j-го

объекта другим объектам исследуемой совокупности с точки зрения соотношений значений переменных. Аналогичная задача решается для каждого объекта, т. е. n раз. Критерием эффективности объекта является условие θ = 1. Такие объекты находятся на границе эффективности, которая в данном случае будет иметь вид выпуклой фигуры в пространстве входных m+s и выходных переменных R

.

Для объектов, имеющих θ < 1, могут быть установлены целевые значения переменных, при достижении которых эти объекты также окажутся на границе эффективности. Целевые значения переменных устанавливаются путем проецирования неэффективного объекта на границу эффективности. Проецирование обеспечивается наличием в модели (1) коэффициента θ при векторе xj и введением ограничения Л > 0. Поскольку коэффициент 0 оказывает влияние на значения входных переменных, то модель (1) называется ориентированной на вход (input-oriented). В результате формируется гипотетический объект, являющийся неотрицательной линейной комбинацией реальных эффективных объектов, веса которых в этой комбинации определяются вектором Л (для неэффективных объектов Xj = 0). Таким образом, граница эффективности служит в качестве эталона для проведения оценки эффективности объектов в исследуемой совокупности.

Аналогично, модель, ориентированная на выход (output-oriented), имеет вид:

maxeiA(p),

• -(py j + YX >0,

x_j - XX >0,                                          (2)

Л > 0.

Показатель эффективности - скаляр p Е [1; го). Для неэффективных объектов (у которых φ > 1) выдаются рекомендации по пропорциональному увеличению значений выходных переменных в φ раз при неизменных значениях входных переменных.

Таким образом,

• •    если θ = 1 ( ϕ = 1), то объект эффективен;

• •    если θ < 1 ( ϕ > 1), то объект неэффективен.

Мы рассмотрели метод DEA, являющийся непараметрическим стохастастическим методом. Теперь же разберем параметрический метод оптимизации Stochastic Frontier Analysis (SFA)  – с англ. метод стохастической границы. Является также одним из наиболее популярных методов для оценки эффективности является метод стохастической границы SFA, они сопряжены с методом DEA, но он позволяет учесть ошибки или шумы, делая расчеты по анализу эффективности более приближенными к реальности, чем в методе DEA.

В последнее время количество публикаций по этой тематике волнообразно растет и расширяется область применения для анализа эффективности.

Метод SFA был предложен в двух работах, опубликованных практически одновременно, независимо друг от друга: Meeusen, van den Broek в 1977 году и Aigner, Lovell, Schmidt в том же году.

Термин ошибки в данной концепции состоит из двух частей:

• •    факторы     эффективности     (факторы     неуправляемого

сбалансированного воздействия) - односторонняя компонента, фиксирующая эффекты неэффективности по отношению к стохастической границе и симметричной компоненте, она допускает случайное изменение фронта вдоль DMU, и определяет эффекты погрешности измерения, воздействие данных факторов может привести как к снижению, так и к повышению объёма производства и в целом характеризуется сбалансированным влиянием на производственный процесс;

• •    факторы неопределенности - другие статистические шумы и случайные ошибки (тремы) вне контроля фирм, но оказывающие систематическое воздействие на производственный процесс³.

SFA связывает наличие случайных отклонений от границы эффективности со стохастической природой производственного процесса, например, последствия непреднамеренного исключения значимой переменной из производственной модели, различия в условиях производства и прочее.

Оценка эффективности связана с идентификацией производственной функции:

• У = f⁽x,P) + £,                                                  (4)

где £  - отклонение от граничной оценки выпуска (£ = и — u), содержащее компоненты и и u:

и - случайная ошибка, имеющая стандартное нормальное распределение N (0, с) и описывающая влияние и на выход неучтенных в модели факторов, действие которых не связано с неэффективностью деятельности;

u - неотрицательная, независимая от и случайная величина, характеризующая неэффективность производства, отражает результаты воздействия на производственный процесс комплекса факторов, обуславливающих его эффективность.

Приведенная выше функция используется в случаях, когда факторы, влияющие на эффективность не определены, но учтены. В нашем исследовании мы сделаем акцент на определенных факторах (управленческий опыт, особые условия труда, специфические характеристики производства и другое), чтобы понять при каких условиях и значениях данных факторов предприятие максимально эффективно.

Выделим одинаковые свойства методов:

• •    приводят параметры к однородности;

• •    одновременная обработка большого числа входов и выходов, каждый из которых при этом может измеряться в различных единицах измерения;

• •    вычисляют один агрегированный показатель эффективности для каждого объекта, не требуя при этом априорного указания весовых коэффициентов для переменных, соответствующих входным и выходным параметрам;

• •    позволяют при необходимости учесть предпочтения менеджеров, касающиеся важности тех или иных входных или выходных переменных;

• •    производят конкретные оценки желательных изменений во входах/выходах, которые позволили бы вывести неэффективные объекты на границу эффективности;

Таким образом, в результате проведенного анализа можно выделить следующие отличия в методах:

Таблица 1. Различия в методах DEA и SFA

Метод DEA	Метод SFA
Непараметрический	Параметрический
Измеряет относительную эффективность	Измеряет абсолютную эффективность
Основой  метода  является  линейное программирование	Основой       метода       являются эконометрические методы
Не чувствителен к ошибкам, рассматривают любую ошибку, в том числе случайную, как неэффективность	Высокий  порог  чувствительности  к ошибкам, т.е. учет случайных ошибок
Не налагает никаких ограничений на функциональную форму зависимости между входами и выходами	Налагает ограничения на функциональную форму зависимости между входами и выходами

Таким образом, каждый из рассмотренных нами методов имеет свои преимущества и недостатки, и может быть задействован для решения разного рода задач оценки. Результаты проведения сравнительного анализа показывают, что методы сугубо разные и подбирать его необходимо на основе не только тех данных, которыми вы обладаете, но и насколько данная модель способна отразить эффективность компании относительно определенных нюансов - качественная оценка, количество имеющихся данных и их соответствие модели, способ измерения результатов и полнота экономического смысла в проведении анализа.

При выборе метода стоит исходить из целей анализа, так, в методе SFA – возможно выявить влияние на результат различных факторов, материальных и нематериальных, тогда как в DEA такой возможности нет. То есть в первом методе результат будет более точным, ведь он учитывает случайные ошибки и величины.