Стационарная модель переноса ионов соли в двумерном электродиализном канале обессоливания в гальваностатическом режиме

Бесплатный доступ

Введение. Статья посвящена теоретическому описанию процесса переноса ионов в мембранных системах в гальваностатическом режиме. В качестве мембранной системы рассматривается канал обессоливания электродиализного аппарата. Цели работы: создание и верификация двумерной математической модели стационарного переноса ионов соли в канале обессоливания электродиализного аппарата для гальваностатического режима.Материалы и методы. Предложена новая модель переноса ионов. Она основана на системе уравнений Нернста — Планка — Пуассона для электрического потенциала и на уравнении для функции электрического тока. Получено численное решение краевой задачи модели методом конечных элементов с помощью программного пакета Comsol Multiphysics.Результаты исследования. Разработанная математическая модель позволяет описать стационарный перенос ионов бинарной соли в канале обессоливания электродиализного аппарата. При этом учитываются нарушение электронейтральности раствора и формирование расширенной области пространственного заряда при сверхпредельных токах в гальваностатическом режиме...

Еще

Перенос ионов, ионообменная мембрана, мембранная система, гальваностатический режим, математическая модель, уравнения нернста - планка - пуассона, расширенная область пространственного заряда

Короткий адрес: https://sciup.org/142217057

IDR: 142217057   |   DOI: 10.23947/1992-5980-2018-18-4-426-437

Текст научной статьи Стационарная модель переноса ионов соли в двумерном электродиализном канале обессоливания в гальваностатическом режиме

Введение. Мембранные системы составляют основу электродиализных аппаратов, нано- и микрофлю-идных устройств, которые применяются при очистке воды, переработке сельскохозяйственной продукции (молока, вина и т. д.), выполнении химических анализов и в других сферах деятельности [1–4]. В многочисленных математических моделях процессов массопереноса в мембранных системах для потенциостатического или по-тенциодинамического режимов электрический режим задается как скачок потенциала между двумя эквипотенциальными плоскостями, параллельными мембранам. Подробный обзор работ, посвященных моделированию для потенциостатического режима, представлен в [5–7].

В то же время в практике электродиализа, электрохимической характеризации мембран (хронопотенциометрия, импедансометрия и др.) часто используется гальваностатический режим, при котором на межфазной границе поддерживается постоянная средняя плотность тока. Об этом режиме собран огромный объем экспериментальных данных, которые необходимо интерпретировать [8–10] Ошибка! Закладка не определена. . Исследования в области математического моделирования гальваностатического режима ведутся по нескольким направлениям.

Первое направление — метод обратной задачи. Как ясно из названия, речь идет о решении обратной задачи: для заданной плотности тока на межфазной границе «раствор — мембрана» находится соответствующий скачок потенциала, а далее рассматривается задача для потенциостатического режима [11]. Низкая эффективность данного метода обусловлена тем, что его реализация требует многократного решения задачи в потен-циостатическом режиме для одного заданного значения плотности тока.

Второе направление — метод декомпозиции. При этом система уравнений Нернста — Планка — Пуассона заменяется системой декомпозиционных уравнений [12–16]. Предположение о квазиравномерном распределении заряда позволяет получить модель для гальваностатического режима в приближении закона Ома [17– 20].

Третий подход можно назвать прямым методом. В этом случае для плотности тока в канале обессоливания выводится уравнение, заменяющее уравнение Пуассона [21].

Гальваностатический режим можно описать иначе — с помощью численного решения уравнений Нернста — Планка — Пуассона для электрического потенциала со специальным граничным условием, которое позволяет установить плотность тока как параметр, задающий электрический режим в системе. В [22, 23] для одномерного случая производная по времени градиента электрического потенциала определялась как явная функция плотности тока. Это отличает подходы авторов указанных работ от потенциостатических моделей, в которых задается разность потенциалов.

В данной статье представлена стационарная модель процесса переноса ионов в мембранных системах для гальваностатического режима. Она основана на системе уравнений Нернста — Планка — Пуассона с граничным условием, которое позволяет установить плотность тока как параметр, задающий электрический режим в системе. В этом решение аналогично [22, 23]. Отличие же состоит в том, что предлагаемая модель двумерна и учитывает непостоянство плотности тока по длине канала.

Материалы и методы. Под мембранной системой подразумевается канал обессоливания электродиализного аппарата (ЭДА), образованный анионообменной (АОМ) и катионообменной (КОМ) мембранами. Через него со средней скоростью V 0 прокачивается раствор бинарного электролита. На рис. 1 х — нормальная к поверхности мембраны координата, изменяющаяся от 0 (граница с АОМ) до h (граница с КОМ); у — тангенциальная к поверхности мембраны координата, изменяющаяся от 0 (вход в канал) до l (выход из канала).

Информатика, вычислительная техника и управление

Рис. 1. Схема канала обессоливания ЭДА. Показаны концентрационные профили катионов С 1 (сплошная линия) и ^— анионов С 2 (пунктирная линия). Скорость вынужденного течения V

Система уравнений. Рассмотрим двумерный стационарный случай системы уравнений, описывающей перенос бинарного электролита в отсутствие химических реакций [24]:

-    F    _ „_ -

ji =--ztDi Ci Vф - D VCt + СV, i = 1, 2 , i RT i i ii i i

- div jt = 0, i = 1,2,(2)

EqEr Аф = —F (z 1C1 + z 2 C 2),

I = F (z 1 — + z 2 -2).(4)

—►

Здесь j i , D i , z i и C i — соответственно поток, коэффициент диффузии, зарядовое число и молярная концентрация i -го иона; ф — электрический потенциал; V — скорость потока раствора электролита; е 0 — электрическая постоянная; е r — относительная диэлектрическая проницаемость раствора электролита (предполагается постоянной); I — плотность тока; F — постоянная Фарадея; R — газовая постоянная; T — абсолютная темпе-

ратура; j 1 , j 2 , I , ф , Q , С 2 — неизвестные функции координат x и у .

Уравнения Нернста — Планка (1) описывают поток ионов, обусловленный миграцией в электрическом поле, диффузией и конвекцией; (2) — уравнение материального баланса в стационарном случае; (3) — уравнение Пуассона для потенциала электрического поля; (4) — плотность тока в растворе электролита. Будем считать, что распределение скорости в канале соответствует течению Пуазейля [24]:

V x = 0, V y = 6V 0 x 1 1 - x | . (5) h V h )

Для определения перечисленных выше неизвестных функций необходимо задать краевые условия для системы (1)—(3). Рассмотрим два электрических режима: потенциостатический, когда скачок потенциала на границах системы задается постоянным, и гальваностатический, когда постоянна плотность тока, протекающего через межфазную границу.

Граничные условия для моделирования потенциостатического режима. Будем считать поверхности ионообменных мембран эквипотенциальными. Система (1)–(4) включает потенциал электрического поля только в форме производных по пространственной координате. В этом случае существенным является только скачок потенциала Аф = ф ( h , у ) (0, у ) , где Аф — известная функция, поэтому положим, например:

ф ( 0, У ) = 0 . (6)

Тогда

Аф = const .

Условия (6) и (7) определяют потенциостатический режим. Остальные граничные условия приводятся ниже.

На межфазной границе «АОМ — раствор» ( x = 0) концентрация коионов (катионов) определяется из условия непрерывности их потока у границы «мембрана — раствор» с учетом селективных свойств АОМ [16]:

fa С,   F дф)        ( 1 - T 2 ) I x (0, y )

I-- 1-- z С       1 ( 0, У ) =---------------------

( д x  RT 11 д x J           z 1 FD 1

где Ti (i = 1, 2) — эффективные числа переноса противоионов в мембране (КОМ и АОМ соответственно); Ti — числа, близкие к 1, причем для идеально селективной мембраны Ti = 1, и условие (8) превращается в условие непроницаемости мембраны для коионов.

Концентрация противоионов (анионов) зависит от обменной емкости КОМ, что можно задать в виде:

С ( 0 ) = С 2 m = NSr

Здесь постоянная N a показывает, во сколько раз эта концентрация отличается от концентрации в объеме раствора [25].

На межфазной границе «раствор — КОМ» ( x = h ) для концентраций ионов приняты условия, аналогичные условиям на границе «АОМ — раствор» ( x = 0):

С ( h , У ) = С m = N c С 0 ,

fa с 2    F       дф)        ( 1 - T 1 ) I x ( h , У )

I + z? С?       l ( h , У ) =

( д x  RT 22 д x J          z 2 FD 2

На входе в канал (у = 0) принято равномерное распределение концентрации ионов:

C i ( x ,0 ) = С 0, i = 1,2.

Условие для потенциала электрического поля получено из уравнений (1) и (4) с учетом отсутствия протекания тока через вход I x ( x , 0, t ) = 0:

дф ( x ,0) _           RT        f n д C 1 ( x ,0)     _ д C 2 ( x ,0) )

---a =-- 2------- 5 --------1 z 1 D 1   + z 2 D 2 “  I.

дУ      F (z 12 D1 + z 2 D 2) C 0 (       дУ             9yJ

На выходе из канала ( у = l ) ионы свободно выносятся потоком раствора:

--

(-, j ) = (-,- — zDa^ Уф- Div Ci + CiV) = С^, i = 1,2.(14)

Система (14) означает также, что сумма диффузионной и миграционной тангенциальных составляю- щих потоков анионов и катионов равна 0:

д Ci д У

_ F C дф RT i1 i д У

Для потенциала принято «мягкое» условие, означающее отсутствие резких изменений потенциала на

выходе из канала:

( x , l ) = 0. д У

Краевая задача, включающая уравнения (1)-(4) и краевые условия (6)-(16), моделирует потенциостати-ческий режим, причем его определяющее ключевое условие — (7).

Граничные условия для моделирования гальваностатического режима. При моделировании гальвано-статического режима условие (6) остается, а (7) необходимо заменить условием, связанным с заданным значением средней плотности тока iav на межфазной границе «раствор — КОМ» ( x = h ). Для вывода такого граничного условия подставим соотношения (1) в (4) и выразим градиент потенциала электрического поля:

Уф =-- гч -------2----- ( I + F ( z D 1 V С 1 + z 2 D 2 V С 2 ) - F ( z 1 C 1 + z 2 С 2 ) Т - ).                (17)

F 2( z 2 D 1 C 1 + z 2 2 D 2 C 2 )

Полагая в (17) x = h , получаем соотношение, связывающее градиент электрического потенциала с заданным значением плотности тока на границе, то есть граничное условие на межфазной границе «раствор — КОМ»:

т

RT

f            дС,

Ix+ Fz 1D1^ + Fz 2 D ax

д С 2 )

F2

(

z 12D1С1 + z 22D 2 С 2

' 2

ax^- (h , У )■

При этом плотность тока Ix должна удовлетворять условию:

Информатика, вычислительная техника и управление

1    \

у] Ix (М) dy = iav l 0

Математическая модель гальваностатического режима состоит из системы уравнений (1)-(4). Граничные условия (18) и (19) заменяют условие (7). Остальные граничные условия совпадают с условиями для по-тенциостатического режима.

Скачок потенциала в гальваностатическом режиме является вычисляемой величиной.

Преобразование граничных условий для моделирования гальваностатического режима. Условие (19) неудобно для численного решения, так как содержит интеграл. Ниже приводится один из вариантов преобразования этого условия.

В стационарном случае плотность тока I является соленоидальным вектором. Действительно, если умножить (2) на zi и сложить, то divI = 0. Следовательно существует такая функция п, что дл = I 0o = _t дx    y,    ду     x .

С использованием функции п условия (18) и (19) переписываются следующим образом:

£( h,y ) = дx

RT

F^

—^ + FzxDx С + FzD С

1    1                    2    2

ду       дx        дx

(h,y),

1 r                  1 г дп

-jIx(h,y) dy = -J |^(h,y) dy =

Iо                1о дУ

1(h,l) П (h,0))= iav .

Уравнение (22) можно переписать:

n(hl)n(h,0)= U.

Чтобы замкнуть систему выражений, необходимо получить уравнение для функции п. С этой целью, как и в работах [15, 16], введем в рассмотрение линейный дифференциальный оператор, который является функцией вихря (ротором) в двумерном случае, для произвольного двумерного вектора W :

—— r (W)

ГдWy  д Wx )

I  дx     ду

X               У

.

Несложно проверить, что:

  • 1)    r(Vи) = 0 для любой гладкой функции и ;

    ——


    ——


    ——


    ^—


    2) r(uW) = (Vи, W) 1 + ur(W) для любой гладкой функции и и любого гладкого вектора W .

    —,   ди     ди                                                                   

    Здесь (Vи, W)1 = —Wy—Wx — кососимметричное скалярное произведение векторов Vи и W , причем дx у  ду

    (а,)1 = 0 для любого вектора a .

    Применяя (24) к уравнению для плотности тока (4), получаем:


    ——


    ——




    r (I ) = Fz 1r (j1) + Fz 2 r (j 2 )•

    Используя формулу потоков (1), получим соотношение:

    —      F                                -

    r(Ji) = — ^, zD)r-(CiV^) Dir(V Ci) + r(CiV),     i = 1,2 .

    RT

    Отсюда с учетом свойств оператора r :

    r (h ) = — FZiDi(V Ci, )1 +(V Ci, V)1 + Cr (V), i = 1,2 . RT





    —   дIy  дIx

    Учитывая (27) и r(I) =---= Ап , уравнение (25) можно записать:

    дx   ду


    An =


    -—Лzv2Dv5-1 + z22D2

    rt I 115x   21


    5c2)5ф f2   5-12   5c2)дф)

    Zf D+ z. D->I + 5x J dy  (     dy       dy J 9x J


    ( Sc, Sc,) I Sc, Sc, )

    +F z -1 + z,-2V - F z -1 + z,-2V + F (. ( 15x   25x J y ( 15y    2dy J x v



Из (28) и (20) следует, что функция n определяется с точностью до константы, поэтому можно допу стить:

П( h ,0) = 0.                                                    (29)

Тогда из (23) получаем

n(h,l) = -iavl .                                                      (30)

Условия (29) и (30) — краевые для функции n

Математическая модель для гальваностатического режима в безразмерном виде. Для численного исследования краевых задач удобно перейти к безразмерному виду. Так можно упростить уравнения и выяснить фактическое количество и набор параметров, определяющих поведение системы. Безразмерные переменные описывают класс подобных процессов, характеризующихся одинаковым значением безразмерных чисел.

Характерные величины, описывающие задачу. При моделировании процессов массопереноса в камере обессоливания ЭДА принимается ряд характерных значений:

  • —    для пространственных координат — межмембранное расстояние h ;

  • —    для концентраций ионов — объемная концентрация электролита С0 ;

  • —    для скорости — средняя скорость вынужденного течения V} ;

— для коэффициентов диффузии — коэффициент диффузии электролита D = D 1 D2 (z 1 -z2)/(D 1 z 1-D2z2);

— для электрического потенциала — тепловой потенциал ф0= RT/F ;

— для плотности тока — величина i0 = FDC0/h (аналог предельной плотности диффузионного тока);

— для потока ионов — диффузионный поток j0= DC0/h.

Формулы перехода. Переведем уравнения в безразмерную форму с помощью следующих соотношений (индексом (и) обозначены безразмерные варианты величин):

x(u) = x   y(u) = y

1(u) = L   v(u)

——

V  ^(u)  УУ   12

, С1              , i1,2,

V 0          С 0

hh

h ’

(u) _ ф     (u) _ 1

ф          ,

—   (u)      n

,  Fi u) = — ji, i = 1,2,  Diu) =

j 0

I , П

ф0           i 0

FDC 0

Di

. D

Система уравнений в безразмерной форме имеет вид (индекс (и) для упрощения записи опущен):

———*

ji = - ziDiCi Уф-Di V Ci + PeCiV, i = 1,2,(32)

—*

- div ji = 0, i = 1, 2,(33)

еАф = -(z 1С1 + z 2 С2 ) ,

z,"D *1 + z*D & И 11^    2  2

5x       5x J 5y

z,"D * + z2D & 1^*1+ 11^    2  2

5y       5y J 5x J

f 5-     5c2 1

+Pe z. 1+ z, — V

I 15x    25x J y

Pe I zx5-1 + z22 IV + Pe (.

1              2             x

( 5y     5y J

,

I = z 1 j1 + z 2 j2.

Система уравнений (29)-(35) содержит два безразмерных числа: Pe = V3h/D

число Пекле и

е = еrе0RT(СС0h2F2). Физический смысл параметра е состоит в том, что это удвоенный квадрат безразмерной дебаевской длины lD : е = 2(lD/h)2[5]. Оценка величин параметров показывает, что при естественных для электродиализа условиях число Пекле имеет порядок 102-106, число е имеет порядок 10-13- 10-7 , то есть

Информатика, вычислительная техника и управление

может считаться малым параметром.

Для удобства численного решения преобразуем систему уравнений, подставив плотность потока (32) в уравнения (33) и (36):

I = £z, (- z,D, C, Vv - D, VС, + PeC,V).                              (38)

г=1

Таким образом, система уравнений содержит следующие неизвестные функции x, у : С1, С2,V, Ix, Iy . Поля концентраций С1, С2 и потенциала ф определяются решением уравнений (37), (34) соответственно. Компоненты плотности тока Ix, Iy вычисляются с помощью (38). Распределение скорости (5) в безразмерной форме:

Vx= о, Vy = 6 x (1 - x).

Присутствие малого параметра с в уравнении Пуассона (34) означает, что краевая задача является сингулярно возмущенной. Это значительно усложняет ее численное решение, поскольку такие задачи относятся к жестким [26]. Потенциал электрического поля ф и концентрации ионов С1, С2 изменяются очень быстро в узком пограничном слое, толщина которого равна длине Дебая Id [5]. Для решения этой проблемы целесообраз- но уплотнить вычислительную сетку в пограничном слое и использовать специальные методы решения жест-

ких задач [26].

Граничные условия в безразмерной форме. На межфазной границе «АОМ — раствор» (x = 0): (де,        дф)       (1 - т2) Ix (0, у)

I+ z С       1(0, у) =,

V дx    11lx 7           z1 D1

С2 (0, у ) = Na, ф(0,у )= ° (0,у ) = 0. дx

На границе «раствор — КОМ» (x = 1):

С1 (1, у ) = Nс, дС2        дф)       (1 - T)Ix (1, у)

--+ z2 С? — 1(1, у ) =---------------, дx    22Ix Jv  7     z2D2

l^ )= дx

( дп п дС1     п дС2 )

- -  + z1 D1     + z 2 D 2  , ду        дx         дx

z2 D1С1 + z 2 D 2 С 2

(1, у)

На входе в канал (у = 0):

дф(x,0) _ бу

V

д^у )=0. дx

С,(х ,0) = 1, 1        (

, = 1,2,

z1 D1+ z 2 D 2

дС       дС2 )  _

+ z2 D2^(x,0), ду         ду 7

На выходе из канала (у = l):

( дС,

--—

бу

z^ |(х, l)= 0,, = 1,2, бу у

lv(x, l )= 0,                                                    (52)

бу

n(x,l) = -,avl, ,av = const.                                              (53)

После численного расчета системы (34), (35), (37)-(53) скачок потенциала Аф в канале обессоливания определяется по формуле:

1 l

Аф = -|ф(1 ,У)dy .

1 0

Численное решение найдено методом конечных элементов с помощью пакета Comsol Multiphysics на неравномерной вычислительной сетке (плотность элементов сетки увеличена у границ «раствор — мембрана») [27].

Результаты исследования. Вычисления проведены для 8 = 1,9 -10 9, Pe = 2355 , что соответствует следующим значениям параметров системы:

— входная концентрация раствора электролита NaCl C0 = 0,1 моль/м3;

— температура T = 298 K;

— коэффициенты диффузии катионов и анионов соответственно D 1 = 1,33*10-9 м2/с, D2 = 2,05*10-9 м2/с;

— числа переноса противоионов в мембранах T1 = 0,972, T2 = 1;

— зарядовые числа ионов z 1 = 1, z2 = -1;

  • —    отношение концентрации противоионов на границе с мембранами к ее значению на входе в канал Nc = Na = 1; — h = 10-3 м — ширина канала;

  • —    l = 2^ 10-3 м — длина канала;

  • —    V0 = 3,8-10-3 м/с — скорость прокачки раствора.

На рис. 2 приведены поля концентраций C 1 и С2, потенциала ф и функции ц, рассчитанные при плотности тока iav = 1,5ilim, где ilim — это предельная плотность тока, определенная по формуле Левека (в безразмерной форме) [28]:

0, 2 .

Здесь 11 = 0,395 — число переноса катионов в растворе [9].

/ , 9 X1 / 3

1, 471       ° I

I ID J i = -*-lim

Tt1

Информатика, вычислительная техника и управление

Рис. 2. Поля концентрации катионов C 1 (а) и анионов С2 (б), потенциала ф (в) и функции ц (г). Расчет по модели для гальваностатического режима при плотности тока iav = 1, 5 ilim

В канале действует вынужденное течение, поэтому в областях у мембран истощение концентрации ионов увеличивается при удалении от входа в канал (вдоль направления, тангенциального к поверхностям мембран). Соответственно, толщина расширенной области пространственного заряда увеличивается вдоль канала (рис. 3).

Рис. 3. Результаты численного расчета по модели для гальваностатического (сплошные линии) и потенциостатического (пунктирные линии) режимов при плотности тока iav = 1, 5iUm в сечениях у = 0,11 (1), у = 0,41 (2), у = 0,91 (3): концентрационные профили C 1 и С2 (а); увеличение рис. 3, а (б); плотность пространственного заряда р = z 1 C + z2C2 (в)

Вольтамперная характеристика (ВАХ, кривая 1 на рис. 4) рассчитана на основе гальваностатической модели. При этом задаваемая плотность тока изменялась: iav= 0; 0,005iiim; ...; 1,5iiim.

Рис. 4. ВАХ, рассчитанные по моделям для гальваностатического (1) и потенциостатического (2) режимов; предельная плотность тока iiim (3) определена по формуле (55)

Предельная плотность тока определена по точке пересечения касательных к ВАХ в начальной части и на наклонном плато [5]. Здесь она совпадает со значением ilim, оцененным по приближенной формуле Левека (55). Также ВАХ была рассчитана на основе потенциостатической модели при изменении скачка потенциала φ = 0; 0,4; …; 40 (кривая 2 на рис. 4). Как видно из рис. 4, ВАХ 1 и 2 совпадают. Таким образом, существует однозначное соответствие каждому скачку потенциала некоторой плотности тока, и наоборот.

Рис. 3 и 4 демонстрируют достаточно хорошее совпадение различных физико-химических характеристик переноса, рассчитанных по моделям для гальваностатического и потенциостатических режимов. Это доказывает адекватность построенной авторами модели переноса в гальваностатическом режиме.

Вычислительные затраты предлагаемой модели оценивались следующим образом. Фиксировалось время, затраченное на решение краевых задач для гальваностатического и потенциостатического режимов. При этом значения задаваемой точности вычислений, параметры системы были одинаковыми, а ат = 1, 51m . Затем показатели времени сравнивались. Таким образом выяснилось, что расчет по гальваностатической модели требует в 1,6 раз больше времени. Это связано с тем, что:

  • —    гальваностатическая модель содержит дополнительное уравнение для определения распределения плотности тока;

  • —    для потенциала на границе x = 1 установлено условие второго рода (46).

Комплексный потенциал электромембранной системы для гальваностатического режима. В работе [25] предложено обобщение импеданса электрохимической системы с помощью функции п, введенной в условиях электронейтральности. Аналогичное обобщение приемлемо и в данном случае. Отметим, что при использовании электрохимического импеданса объект рассматривается только как «черный ящик», и его внутренние свойства определяются косвенно. Полученные выше результаты позволяют ввести понятие комплексного потенциала электромембранной системы: P = ф +1 • п . Комплексный потенциал — это функция координаты любой точки внутри объекта, поэтому, в отличие от электрохимического импеданса, он позволяет исследовать внутренние свойства объекта.

Обсуждение и заключения. Описан новый метод математического моделирования стационарного процесса массопереноса в гальваностатическом режиме для мембранных систем. При этом рассмотрен двумерный случай с использованием специального граничного условия, позволяющего задать плотность тока в системе. Представлены уравнения для электрической функции тока. Результаты численного решения по потенцио-статической и гальваностатической моделям хорошо согласуются. Это показывает адекватность предлагаемой модели переноса в гальваностатическом режиме.

Разработанная модель позволяет интерпретировать результаты экспериментальных исследований переноса ионов в мембранных системах, если данный процесс протекает в гальваностатическом режиме. Некоторые электрокинетические процессы связаны с появлением расширенной области пространственного заряда при сверхпредельных токах. Описывая формирование указанной области, можно выяснить, каким образом зависящие от нее процессы влияют на перенос ионов в гальваностатическом режиме.

Список литературы Стационарная модель переноса ионов соли в двумерном электродиализном канале обессоливания в гальваностатическом режиме

  • Science and technology for water purification in the coming decades/M.-A. Shannon//Nature. -2008. -Vol. 452 (7185). -P. 301-310. - DOI: https://doi.org/10.1038/nature06599
  • Direct seawater desalination by ion concentration polarization/S.-J.Kim//Nature Nanotechnology. -2010. -V. 5. -P. 297-301. - DOI: https://doi.org/10.1038/nnano.2010.34
  • Kim, S.-J.Nanofluidic concentration devices for biomolecules utilizing ion concentration polarization: theory, fabrication, and applications/S.-J. Kim, Y.-A. Song, J. Han//Chemical Society Reviews. -2010. -Vol. 39 (3). -P. 912-922. - DOI: https://doi.org/10.1039/b822556g
  • Elimelech, M. The Future of Seawater Desalination: Energy, Technology, and the Environment/M. Elimelech, W.-A.Phillip//Science. -2011. -Vol. 333. -P. 712-717. - DOI: https://doi.org/10.1126/science.1200488
  • Intensive current transfer in membrane systems: Modelling mechanisms and application in electrodialysis/V. V. Nikonenko//Advances in Colloid and Interface Science. -2010. -Vol. 160. -P. 101-123. -DOI: https://doi.org/10.1016/j.cis.2010.08.001
  • Desalination at overlimiting currents: State-of-the-art and perspectives/V. V. Nikonenko//Desalination. -2014. -Vol. 342. -P.85-106. -DOI: https://doi.org/10.1016/j.desal.2014.01.008
  • Effect of electroconvection and its use in intensifying the mass transfer in electrodialysis (Review)/V. V. Nikonenko//Russian Journal of Electrochemistry. -2017. -Vol. 53 (10). -P. 1122-1144. -DOI: https://doi.org/10.1134/S1023193517090099
  • Effect of Anion-exchange Membrane Surface Properties on Mechanisms of Overlimiting Mass Transfer/E. I. Belova//Journal of Physical Chemistry. B. -2006. -Vol. 110. -P. 13458-13469. - DOI: https://doi.org/10.1021/jp062433f
  • Effect of counterion hydration numbers on the development of Electroconvection at the surface of heterogeneous cation-exchange membrane modified with an MF-4SK film/V. V.Gil//Petroleum Chemistry. -2016. -Vol. 56 (5). -P. 440-449. -DOI: https://doi.org/10.1134/S0965544116050066
  • Effect of surface hydrophobization on chronopotentiometric behavior of an AMX anion-exchange membrane at overlimiting currents/E.Korzhova//Journal of Membrane Science. -2016. -Vol. 500. -P. 161-170. -DOI: https://doi.org/10.1016/j.memsci.2015.11.018
  • Лаврентьев, А. В. Математическое моделирование переноса в электромембранных системах с учетом конвективных течений/А. В. Лаврентьев, А. В. Письменский, М. Х. Уртенов. -Краснодар: Изд-во КубГТУ, 2006. -147 с.
  • Model and Experimental Studies of Gravitational Convection in an Electromembrane Cell/A. V. Pismensky//Russian Journal of Electrochemistry. -2012. -Vol. 48(7). -P. 830-841. -DOI: https://doi.org/10.1134/S1023193512070075
  • Коваленко, А. В. 3D-моделирование переноса бинарного электролита в гальваностатическом режиме в условиях электронейтральности/А. В. Коваленко, Е. В. Казаковцева, М. Х. Уртенов//Научный журнал КубГАУ. -2015. -№ 110 (06). -C.1-12. -Режим доступа: http://www.ej.1gb.ru/2015/06/pdf/23.pdf (дата обращения 02.03.18).
  • Chronopotentiometric Response of Electrically Heterogeneous Permselective Surface: 3D Modelling of Transition Time and Experiment/S. A. Mareev//Journal of Physical Chemistry. C. -2016. -Vol. 120. -P. 13113-13119. -DOI: https://doi.org/10.1021/acs.jpcc.6b03629
  • Мареев, С. А. Одномерное моделирование результатов хронопотенциометрии в сверхпредельных токовых режимах/С. А. Мареев//Конденсированные среды и межфазные границы. -2015. -Т. 17, № 2. -С. 171-180. -Режим доступа: http://www.kcmf.vsu.ru/resources/t_17_2_2015_006.pdf (дата обращения 05.11.18).
  • Chronopotentiometry of ion-exchange membranes in the overlimiting current range. Transition time for a finite-length diffusion layer: modeling and experiment/S. A. Mareev//Journal of Membrane Science. -2016. -Vol. 500. -P. 171-179. -Режим доступа: https://doi.org/10.1016/j.memsci.2015.11.026 (дата обращения 05.11.18).
  • Анализ краевой задачи модели переноса бинарного электролита в приближении закона Ома/А. В. Коваленко//Научный журнал КубГАУ. -2012. -№ 77 (03). -С.1-14. -Режим доступа: http://ej.kubagro.ru/2012/03/pdf/57.pdf (дата обращения 05.11.18).
  • Численное решение краевой задачи модели переноса бинарного электролита в приближении закона Ома/А. В. Коваленко//Научный журнал КубГАУ. -2012. -№ 77 (03). -С.1-16. -Режим доступа: http://ej.kubagro.ru/2012/03/pdf/58.pdf (дата обращения 05.11.18).
  • Хромых, А. А. Асимптотическое решение краевой задачи модели ЗОМ тернарного электролита/А. А. Хромых, А. В. Коваленко, М. Х. Уртенов//Фундаментальные исследования. -2014. -№ 8, ч. 3. -С. 600-606.
  • Kovalenko, A. V. Decomposition of the two-dimensional Nernst-Planck-Poisson equations for a ternary electrolyte/A. V. Kovalenko, A. A. Khtomykh, M. K.Urtenov//Doklady Mathematics. -2014. -V. 90 (2). -P. 635-636. -DOI: https://doi.org/10.1134/S1064562414060271
  • Коваленко, А. В. 2D-моделирование переноса ионов соли для бинарного электролита в гальванодинамическом режиме/А. В. Коваленко, А. М. Узденова, М. Х. Уртенов//Экологический вестник научных цен-тров Черноморского экономического сотрудничества. -2013. -№ 3. -С.67-76.
  • Numerical Simulation of the Nonequilibrium Diffuse Double Layer in Ion-Exchange Membranes/J.-A.Manzanares//Journal of Physical Chemistry. -1993. -Vol. 97. -P. 8524-8530. - DOI: https://doi.org/10.1021/j100134a023
  • Moya, A.-A. Electrochemical impedance of ion-exchange systems with weakly charged membranes/A.-A. Moya//Ionics. -2013. -Vol. 19. -P. 1271-1283. -DOI: https://doi.org/10.1007/s11581-013-0850-0
  • Newman, J.-S. Electrochemical systems/J.-S. Newman. -New Jersey: Prentice Hall, 1973. -464 p.
  • Rubinstein, I. Voltage against current curves of cation exchange membranes/I. Rubinstein, L.Shtilman//Journal of the Chemical Society Faraday Transactions. -1979. -Vol. 75. -P. 231-246. - DOI: https://doi.org/10.1039/F29797500231
  • Doolan, E.-P. Uniform numerical methods for problems with initial and boundary layers/E.-P. Doolan, J.-J.-H. Miller, W.-H.-A.Schilders. -Dublin: Boole Press, 1980. -324 p.
  • Математическое моделирование физико-химических процессов в среде ComsolMultiphysics 5. 2/А. В. Коваленко. -Санкт-Петербург: Лань, 2017. -228 с.
  • Мембраны и мембранные технологии/Под. ред. А. Б. Ярославцева. -Москва: Научный мир, 2013. -612 с.
  • 2D-моделирование переноса бинарного электролита в электромембранных системах/А. В. Коваленко//Известия Кубан. гос. ун-та. Естественные науки. -2013. -№ 2. -С.52-57.
Еще
Статья научная