Статический режим математической модели электрического многополюсника с мемрезистивными ветвями в условиях интервальной неопределенности

Появление в последнее время широкого спектра наноэлектронных компонентов с одной стороны, конечно, расширяют возможности информационно-вычислительных систем. Однако применение подобных элементов в условиях отличных от лабораторных имеет неопределенности интервального характера при определении электрических пара

Методы обработки данных

Бондарев Андрей Владимирович кандидат технических наук, доцент, доцент кафедры «ТПЛА» Уфимского государственного авиационного технического университета, город Уфа. Сфера научных интересов: квантовые вычислительные комплексы, схемотехническое проектирование, системы искусственного интеллекта, робастность электронных схем. Автор 96 опубликованных научных работ.

метров данных устройств, что накладывается на неопределенность всей системы в целом, что затрудняет схемотехнический анализ и процесс проектирования в целом.

Информационно-вычислительные технологии используются практически во всех сферах деятельности человека.Современный компьютер обладает высокой производительностью и скоростью передачи информации, однако остаются актуальными задачи увеличения производительности, снижения тепловыделения устройств современной вычислительной техники без увеличения стоимости.В связи с чем возникла идея повышения эксплуатационных характеристик вычислительной техники при проектировании основных элементов цифровой техники на основе мемристоров.

Мемристор (англ. memristor, от memory – память, и resistor – электрическое сопротивление) – пассивный элемент в микроэлектронике, способный изменять свое сопротивление в зависимости от протекавшего через него заряда. Длительное время мемри-стор считался теоретической моделью [15], которую нельзя реализовать практически, пока первый образец элемента, демонстрирующий свойства мемристора, не был создан в 2008 г. коллективом ученых во главе с Р.С. Уильямсом в исследовательской лаборатории фирмы Hewlett-Packard. Устройство не накапливает заряд, как конденсатор, не поддерживает магнитный поток, как катушка индуктивности. Изменение свойств устройства обеспечивается химическими реакциями в тонкой двухслойной пленке диоксида титана (5 нм). Один слой пленки устройства слегка обеднен кислородом, и кислородные вакансии мигрируют между слоями при изменении напряжения. Данную реализацию мемристора относят к классу наноионных устройств. Наблюдающееся явление гистерезиса в мемри-сторе позволяет использовать его в том числе и в качестве ячейки памяти [16].

Уже изученные свойства мемристоров позволяют говорить о том, что на их основе можно создавать компьютеры принципиально новой архитектуры, по производительности значительно превышающие полупроводниковые. Современные компьютеры построены на базе архитектуры фон Неймана: и данные, и программы хранятся в памяти машины в двоичном коде, причем вычислительный модуль отделен от устройств хранения,

Статический режим математической модели электрического многополюсника ...

а программы выполняются последовательно одна за другой. Прогрессивная в середине прошлого столетия такая архитектура сегодня уже не отвечает требованиям, предъявляемым к компьютерной технике: усложнились программные комплексы, а объемы обрабатываемых данных выросли на порядки.

В грядущих мемристорныхинформационно-вычислительных системах параллельно и независимо друг от друга работают множество модулей, а возможность запоминать и оперировать неограниченным множеством значений от 0 до 1 означает, что исполняемые программы не ограничены двоичным кодом. Более того, станут в принципе ненужными отдельные аппаратные компоненты компьютера: процессоры, видеочипы, память и жесткие диски; машина будет архитектурно однородным устройством, где одновременно будут храниться все данные и проводиться все операции с ними. Для апгрейда достаточно будет установить дополнительные мемристорные модули, а для ремонта – заменить вышедшие из строя [13].

В связи с вышесказанным необходимо по-новому взглянуть наэлектрический многополюсник и его математическую модель с использованием мемристора как одного из элементов базового набора. Введение такого дополнения в базовый набор элементов определяет также и появление новых мемрезистивных ветвей электрического многополюсника.

В соответствии с принятой классификацией [7] принято выделять следующие типовые режимы работы исследуемых электронных устройств, что вполне справедливо и для элементов наноэлектроники:

– квазилинейный режим малого сигнала при расчете по переменному току;

– квазилинейный режим малого сигнала при расчете во временной области;

– режим большого сигнала при расчете по постоянному току (статический режим);

– режим большого сигнала при расчете во временной области (динамический режим).

В зависимости от выбранного режима исходная модель исследуемого устройства будет представлять собой электрический многополюсник одного из следующих видов:

– линейный резистивный;

– линейный реактивный;

– нелинейный резистивный;

– нелинейный реактивный.

При этом общей методологической основой исследования всех перечисленных видов моделей является их описание в базисе конечных отклонений токов и напряжений ветвей соответствующего многополюсника, поскольку главной целью нашего исследования является оценка способности устройства сохранять свои характеристики в заданных пределах при наличии возмущающих воздействий с неопределенными заранее свойствами. В данной статье анализируется третий в указанной классификации режим большого сигнала при расчете по постоянному току (статический режим)для электрического многополюсника с мемрезистивными ветвями в конечных приращениях.

Полноразмерная математическая модель многополюсника с мемрезистивными ветвями

Математические модели электрического многополюсника с мемрезистивными ветвями в номинальном виде и с использованием конечных приращений были построены ранее [6; 10] с использованием метода декомпозиции ветвей направленного графа схемы, описанного в [8; 11].

Полноразмерная математическая модель в полном гибридном базисе в конечных приращениях токов и напряжений будет выглядеть следующим образом [11]:

Методы обработки данных

'

A 0 L A C 0

■ A dt

A U C A i X

=

Q 1

"

A U C A I X

+ Q 2

A U H A IH

+

Q 3

n R E HE 3 J RE 3

+ Q 4

A U M A IM

—

n L E HE3 _ J HE3 _

A U

H P

"

A U P

A U P

A UR,

=

A,

+ A.

+ A

— H . F1

A I

X H

J

A I

X L

A I R

A I MM

^

(1)

A U R

A U p

A U H

A U MM

R E

G 1

+ G,

+ G.

— W

_a X

J

A I X

2

A H

3

A I MM

J HE3 _

A U M

A U C

-

A U R

A U R

M E HE3

= 5

,

+ 5 2

+ S,

— K

I

_ A MM J

A X

A X

A I R

J ME3 J

где L = diag{ Lk +AL к }            0 0         diag{ LHES + L3 AB (Ai)} матрица индуктивностей ( к = 1, nRL, l = 1, nHL, n^L + nHL = dim AUL

*

C=

diag R +A C k }

diag { c ,^HEB + C i^AB ( A i ) }

X     XX X      P    X X матрица емкостей ( к = 1, n^c, ? = 1, Пне, nп е + Пне = dim AI r ); AUl , AI l - приращения напряжений и токов на индуктивных хордах; A UP , AIR , - приращения напряжения и тока на емкостных ребрах; AuRX, AuR , AiR, AIR стивных ребрах и хордах; AuH, A UH, AiH, AIH нейных ребрах и хордах; A UMM , A UMM , AI XX, AIPP резистивных ребрах и хордах;

– приращения напряжения и тока на рези-

– приращения напряжения и тока на нели-

– приращения напряжения и тока на мем-

Q 1 =	"— B i _ V 3KB	Z 3KB — D I _	+	"— B iv _ 0	0 - — D IV- J	■ G 1
	— B II	о -		— B IV	0
Q 2 =			I-		.	g2
	0	— d ii _		0	— D IV J	2

Q 3

—

B

II

0 -	■ W , и Q 4 =	"- B i	0 "	+ +	"— B iv	0
D II _		0	— d iii _		_ 0	— D IV _

Z HES ⁺

Z 3KB

= [0] X X nL X”»L

– матрицы эквивалентных сопротивлений и

V 3KB

= [0] ry r nC X n»c

G HES ⁺

G 3AB ^{( A u} ) ) _; } – эквивалентных проводимостей нелинейных

индуктивностей и емкостей; Di – матрица главных сечений направленного графа схемы; Вi – матрица главных контуров направленного графа схемы; n – число ветвей и k – число узлов;

E

L

ÝÊÂ

J CKB =

Статический режим математической модели электрического многополюсника ...

T

E

-L

HE3

X n HL

х 1

T

n jeX ^{X 1} токов и напряжений;

P n HC

х 1

, – эквивалентные векторы источников

A M ¹

Z

где A =

^A 2 =

^A 3 =

и F^I

H =

^{(a I} h )

—

GP (A UH )

A M ¹

Z

•

A M

^(a I H )

^— D V

,

— B VII

GP (A UH )

A M

•

D VII

,

—

B VIII

E

E

D VIII

— E

— E

E

E

— E

— E

•

A M

ZX

(A IH)

E

H

H

E

H

X

J H ^H

H

JP

E

3AB

H

E

HES

H

3AB J_H

HE

JH

Gp (AUH)

A M

; Z_X

^(a I H )

и

GP (A UH )

– диагональные матрицы эквива-

лентных сопротивлений и проводимостей; A M

и

A M - диагональные матрицы экви-

валентных обратных и прямых мемрезистивностей; E

–

единичная матрица;

^{H H} <  ^H

E_H , E_X , J_H , J_P , E

ÇAB

H

, E

HE3

H

ÇAB , J_H

и J

HE3

H

– эквивалентные источники ЭДС и тока на нели-

нейных хордах и ребрах;

G 1 =

G 2 =

B XI

ˆ

R

— 1

^— B IX

ˆ

B XI

ˆ

•

DXI

ˆ

R

•

^{— B}X

DXI

^— D IX

^{— D}X

,

,

Методы обработки данных

G з =	B XI	A 1 R	-1	- B XII	0	и W =	B XI	A 1 R	-1
	A У	D XI	•	. 0	- D XII _		A У	D XI	;

SI= "-BXVI A “I M -1 "-BXIII 0 Ml-1 - DXVI _ ■ . 0 -DXII _ , A -1 S 2 = Г = BXVI M - BXIV 0 Mi1 - DXVI _ ■ 0 -DXIV _, S3 = "-BXVI -    1 M -1 - BXV 0 и K = "-BXVI    ?M XVI -1 Л    - ■ 0 -DXV _ ; [M-1 - DXVI . Mt 1   - DXVI _ M-1 = M-1 + AM - матрица мемрезистивностей ветви, M 1 = M-1 +AM-1 – матрица обратных мемрезистивностей ветви; EHME3 , IHME3 – эквивалентные векторы независимых источников напряжения и тока на мемрезистивных ветвях.

Математическая модель многополюсника с мемрезистивными ветвями в статическом режиме

Расчет многополюсника в данном режиме и расчет по постоянному току проводятся для определения параметров рабочей точки нелинейных электронных приборов, а также статических соответствующих электронных устройств, например, коэффициентов передач по постоянному току, входных и выходных сопротивлений и др.

Эквивалентная схема исследуемого устройства в данном режиме не содержит реактивных элементов – емкостей или индуктивностей, поэтому она представляет собой нелинейный резистивно-мемрезистивный многополюсник. При составлении математических моделей в сокращенном гибридном базисе будем предполагать, что топология многополюсника удовлетворяет следующим двум ограничениям:

– немонотонные управляемые напряжением сопротивления не образуют контура;

– немонотонные управляемые током мемрезистивности не образуют сечения.

Немонотонные управляемые напряжением сопротивления и немонотонные управляемые током сопротивления относятся к особым ветвям электрического многополюсника, причем первые из упомянутых сопротивлений должны быть отнесены к ребрам, а вторые – к хордам. Для обеспечения сформулированного требования нумерацию ветвей многополюсника начинаем с немонотонных управляемых напряжением сопротивлений, а за-вершаемнемонотонными управляемыми током мемрезистивностями.

Ранее в [5; 8] показано, что при составлении эквивалентных схем в номинальном и возмущенном режимах работы топология схемы не изменяется. Следовательно, используя уже известные выражения обобщенной модели электрического многополюсника, будем сразу записывать выражения для токов и напряжений ветвей в конечных приращениях.

С учетом сделанных замечаний векторы приращений токов и напряжений для всех ветвей исследуемого электрического многополюсника разбиваются на следующие характерные группы:

Статический режим математической модели электрического многополюсника ...

– нелинейные ребра;

– нелинейные хорды;

– линейные ребра;

– линейные хорды.

Исходя из вышесказанного математическая модель многополюсника с мемрезистив-ными ветвями (1) в статическом режиме примет вид

	A U h	= A 2	A U R		A UM	’			F I
				+ A 3			- H
	к H _ A U R		_A R _ A U H		_A I M A U M	■	- И	T	R E HE 3	■	(2)
		= G 2		+ G 3
	A X		A H		A I M				J HE 3
	A U M	= S 2	A U H	+ S з	A U R		- K	M E HE 3
.	A M		A H		A I R				J M 3

Выражение (2) относится к классу интервальных систем линейных алгебраических уравнений, для решения которых допустимо использовать интервальную арифметику Кахана и интервальные методы Ньютона и Кравчика.

Суть интервальной арифметики Кахана состоит в том, что операции с интервалами, содержащими ноль, имеют тот же результат, что и в случае с другими интервалами и позволяют сохранить неизменным интервальное расширение функций, а также гарантируют при соблюдении определенных условий не только дистрибутивность операций, но и монотонность по включению [5; 9].

Вычислительный алгоритм внешнего оценивания множеств решений математической модели многополюсника с мемрезистивными ветвями в статическом режиме

Для решения подобных интервальных систем нелинейных алгебраических уравнений можно воспользоваться методом Ньютона [9]. Для этого приведем систему (2) к виду fp (x, y) = 0                                         (3)

Обозначим IGA ( A , b ) – результат применения метода Гаусса к интервальной системе Ax = b . Тогда для первого уравнения системы (2), получим

A = A 2;	x =	PA U R 1	, b = A, 3	"A U M ^	-	"a u H ■	- H ■ F I
		[ A R J		A I M _		_ A I H _

( A U ) к ₊ 1 = К ( ( А U ) k ) о ( A U ) к ,                           (5)

где К ( А U ) - оператор Ньютона следующего вида

К ( А U ) = mid( A U ) - IGA { F’ ( A U ), f (mid( A U )) } ,

Методы обработки данных

На прямом ходе вычислений найдем матрицу Якоби:

d F 1 ⁽¹⁾ ( A U )    d F 1 ⁽¹⁾ ( A U )

d U p        a i X

HH aF^ (AU)  dF^ (AU)

d u X       a i p

HH

Вычисляем rij

^ aij ajj

Для всех j = 1 до n – 1 и для всех i = j +1 до n . Здесь а – элементы матрицы Якоби.

На обратном ходе, используя элементы матрицы А и вектора b согласно (4), найдем, что

Тогда

** ^b

У 2 = —

a ₂₂

**

У 1 = ^b 1 - a 21 У 2 .

Интервальный метод Ньютона имеет недостаток, суть которого заключается в том, что даже если матрица естественного интервального расширения функции имеет неособенный характер, то в общем случае можно вычислить IGA { F ( A I ), f (mid( A I )) } только тогда, когда ширина mid( A I ) достаточно мала.

Этот недостаток устраняется в методе решения систем нелинейных интервальных уравнений, называемом методом Кравчика, за счет введения отображения интервальной функции (оператора Кравчика) [9].

Решение системы (3) методом Кравчика в общем случае будет иметь следующий вид:

A U k + i =^ ( A U k ) oA U k ,

где ^ ( A I ) - оператор Кравчика вида

,(12)

где С – неособенная вещественная матрица весовых коэффициентов, элементы которой выбраны эмпирическим путем таким образом, чтобы улучшить сходимость метода ; f – это функция (3).

Для фиксированной матрицы С метод Кравчика определяется выражением

A UK+1 =^(A UK )oA UK ,

Аналогичным образом реализуется алгоритм решения для второго и третьего уравнений системы (2).

Статический режим математической модели электрического многополюсника ...

Заключение

Рассмотренный в данной статье статический режим для электрического многополюсника с мемрезистивными ветвями подтверждает применимость выбранного подхода к анализу наноэлектронных схем как элементов памяти, так и архитектуры информационно-измерительных систем в целом.

Форма представления математической модели для каждого режима работы вполне соответствует формам, требуемым для использования методов интервального анализа.

Безусловно, необходимо провести проверку адекватности представленной модели электрического многополюсника с мемрезистивными ветвями как в общем виде, так и в динамическом и статическом режимах для реальных наноэлектронных схем, что является предметом дальнейших исследований.