Статистическая оценка коэффициентов, характеризующих несинусоидальность и несимметрию питающего напряжения в системах электроснабжения ИЖС

В современных системах электроснабжения ИЖС, питающих коммунально-бытовые электроприемники, нелинейную вольтамперную характеристику имеют следующие электроприборы: газоразрядные лампы (энергосберегающие лампы); установки дуговой и контактной сварки; приборы с преобразователями переменного тока в постоянный; системы бесперебойного питания; импульсные источники питания (персональные компьютеры, телевизоры аудиосистемы); преобразователи частоты (СВЧ печи); двигатели с регулируемой скоростью вращения (дрели, стиральные машины, пылесосы), которые являются источниками высших гармоник тока и напряжения, генерируемых в систему электроснабжения. Кроме этого, все перечисленные электроприемники питаются от однофазной сети, что приводит к несимметрии токов и напряжений в четырехпроводной трехфазной системе электроснабжения ИЖС и протеканию тока небаланса в нулевом проводе [1]. При этом спрос на электроэнергию в системах электроснабжения ИЖС носит случайный характер, что связано со временем суток, с рабочими и выходными днями и временами года. В течение дня можно выделить три характерных периода, связанных с началом рабочего дня, интенсивной работой в течение дня и вечерним отдыхом. Изменение спроса электроэнергии в зависимости от времени относится к случайным процессам. Определения числовых характеристик слу- чайных процессов базируются на вероятностных методах. Основанием для этого служат экспериментальные данные.

Экспериментальные исследования проводили при помощи сертифицированных приборов «Энергомонитор – 3.3Т1» и C.A 8335 (Qualistar +) в течение одной недели, со временем усреднения десять минут [2]. Фрагмент результатов измерения за одни сутки для характерных периодов суток, усредненных для трех фаз, представлен в табл. 1.

Математическая модель процесса со случайным отклонением суммарного коэффициента гармонических составляющих тока может быть представлена в виде соотношения:

Kii= ф( Ki) + Л i, где Кп - величина, отражающая ряд наблюдений суммарного коэффициента гармонических составляющих тока (i=1, 2, .., 24); ф(Кц) - некоторая детерминированная функция, отображающая общую тенденцию изменения Кп (тренд); Ai - случайные отклонения, имеющие место при протекании процесса Кп [3].

Для установления соответствия изменения случайной величины, суммарного коэффициента гармонических составляющих тока, в виде случайного процесса определяется корреляционная связь между сечениями для двух значений характерных периодов суток времени t i и t i+1 .

С этой целью устанавливают основные количественные характеристики случайного процесса: математическое ожидание сечения m_Ki(t), дисперсию D_Ki(t) сечения, коэффициенты корреляции между сечениями p_Kl(t_t,t_i+1).

Таблица 1

Table 1

Характерные периоды суток, ч		Номера суток за неделю
		1	2	3	4	5	6	7
6:00 – 9:00	К , , %	13,32	13,87	14,71	12,88	13,12	11,99	12,05
	K U , %	2,86	3,11	3,23	3,12	3,43	2,76	2,68
	K 2U , %	0,45	0,52	0,48	0,46	0,51	0,47	0,42
	K 0U , %	1,86	2,14	2,13	1,89	1,92	1,87	1,85
18:00 – 21:00	К , , %	18,71	17,45	18,66	17,61	17,86	16,23	15,82
	K U , %	3,96	4,13	4,23	4,21	4,16	3,86	3,46
	K 2U , %	0,76	0,67	0,82	0,73	0,65	0,66	0,52
	K 0U , %	4,23	4,32	4,21	3,86	5,1	4,11	4,32
23:00 – 2:00	К , , %	9,44	9,77	10,43	10,67	10,31	9,06	9,02
	K U , %	2,32	2,45	2,44	2,67	2,43	2,12	2,31
	K 2U , %	0,43	0,38	0,42	0,46	0,45	0,41	0,42
	K0U , %	0,9	1,23	1,13	0,97	1,17	0,92	0,86

Примечание: К / и K u - суммарные коэффициенты гармонических составляющих тока и напряжения (%); К ₂и и K _0U – коэффициенты несимметрии напряжений по обратной и нулевой последовательности (%).

Математическое ожидание для сечения t_k :

m„( t. ) - 1

i-1      n где n = 7 – количество суток в неделю.

Дисперсия для сечения t i :

n

D Ki ( t_k ) - 1

. - i

( K ( t . ) - m_B( t . ) ) ² n - 1

Корреляционный коэффициент для сечения t i и t i+1 :

n

^P Ki ⁽ t k , t l ) =

К K i ( t i ) - m_B(t iM K i ( t .1 ) - m_B( U)

( n - 1) ■ 5_B(ti) ■ 5_B(t,^

где δKi(t) – стандартное отклонение.

Результаты расчетов количественных характеристик случайного процесса, для остальных коэффициентов качества электроэнергии вычисляют аналогично (табл. 2).

Как следует из табл. 2, значения корреляционных коэффициентов указывают на то, что изменения коэффициентов качества электроэнергии в течение суток и недели соответствуют стационарным случайным процессам. При этом отклонения от тренда изменения коэффициентов качества электроэнергии во времени производятся путем интерполяции и экстраполяции в соответствии с выражением [4]

^mK ( t ) = « 0

p Г+EI ak ■ cos k=i V

2 n kt n + 1

+ p k ■ sin

2 n kt n + 1

+ ц- rn 1 ( t ) ,

где p - число характерных периодов за сутки; а₀, a k , P k , ц, m 1 (t) - коэффициенты, определяющиеся по формулам:

а

n + 1

Z K ii , i = 0

ak =

n + 1

n

Z KI i=0

• cos

2nkt

—

n +1,

Таблица 2

Table 2

№	1				2				3
	K i , %	K U , %	K 2U , %	K 0U , %	K i , %	KU , %	K2U , %	K0U , %	K i , %	K U , %	K2U, %	K 0U , %
m k (t i )	13,14	3,03	0,47	1,95	17,48	4,01	0,69	4,31	9,81	2,39	0,42	1,03
D k (t i )	0,94	0,07	0,001	0,02	1,23	0,08	0,009	0,15	0,45	0,03	0,001	0,02
p Ki (t i , t i+1 )	0,82				0,63				0,61
p Ku (t i , t i+1 )	0,84				0,61				0,62
p K2u (t i , t i+1 )	0,28				0,15				-0,27
p K0u (t i , t i+1 )	0,032				0,471				0,823

во =

n2A

n

У Ki i=0

• sin

2 n kt n + 1 ^,

У к,.- ® 1 ( t )

i = 1

У ^ _: t )

i = 0

^ 1 ( t ) = t

p

- n■-

²    k = 1

2nkt cos n + 1

-

2 A ( A . 2nkt V 2nkt -----7 I > sin----- I sin-- n -             n + ¹ J n + ¹

Аналитические выражения, полученные на основании экспериментальных значений (за двое суток), при p =3 для коэффициентов качества электроэнергии примут следующий вид: суммарный коэффициент гармонических составляющих тока ( K I )

2тй           4/77              ЬтП           2тй

'П            ~/п             V/W^/И тк,(t) = 13,29 + 0,0291 + 0,301 cos--1,26 cos---+ 0,094cos— + 0,74sin----

^                           49          49           4949

1     •  4nt П С•

-1,08 sin--0,62 sin;

суммарный коэффициент гармонических составляющих напряжения ( K U )

m_K „( 1 ) = 3,308 + 0,024 1 + 0,027cos^ + 0,318^ + 0,048cos6 n -

Ku                            49           4949

2 n t           4 n t           6 n t

- Wsrn—-Wsm— + Wsm—;

коэффициент несимметрии напряжения по обратной последовательности ⁽ K 2U )

m_K ( t ) = 0,587 - 0,00089 1 - 0,007 cos — + 0,015cos — - 0,037 cos — +

49          4949

+ 0,021sin — + 0,066 sin — + 0,0044 sin —;

49           4949

коэффициент несимметрии напряжения по нулевой последовательности ( К ои )

m_K ( t ) = 1,363 + 0,008 t + 0,124cos- ^ t + 0,491cos- ^ t - 0,071cos ^ ^ t -

K0U                              49            4949

2тй           4лг

- 0,108sin - ^ t - 0,283 sin - ^ t + 0,186sm —.

49           4949

Экспериментальные значения и аналитические приближения трендов коэффициентов качества электроэнергии представлены на рис. 1.

Статистическая значимость в целом оценки регрессий определяется по критерию Фишера:

n - 1 l

ⁿ _     _

^1 Kii - Ki i=1 V.

n _

^ 1 K ii - K ii i = 1 V

Michael А. Averbukh, Eugene V. Zhilin… T he Statistical Evaluation Ofcoefficients, Characterizing Unsinusoidality… —

_1n где Ki =--> Kn - среднее значение; l - число искомых параметров тренда без учета по- n + 1 ,=0

стоянной составляющей.

Уравнение регрессии в целом считается значимым с уровнем значимости а (соответственно, доверительная вероятность q =1-а), если значение статистически удовлетворяет неравен-^у

F >  F l -а ( l, n - l )•

В практических расчетах широкое употребление получил 5%-ный уровень значимости (α=0,05).

а)

б)

Рис. 1. Тренды коэффициентов качества электроэнергии: а – суммарных коэффициентов гармонических составляющих тока и напряжения; б – несимметрии напряжения по обратной и нулевой последовательности

Fig. 1. Energy quality coefficients trends: а) total harmonic distortion current and voltage components; b) voltage unbalance by reverse and zero sequence

Проверка на значимость тренда показала выполнение вышеуказанного неравенства при 5%-ном уровне, т.е. можно утверждать, что с высокой вероятностью полученные оценки трендов не находятся в явном противоречии со статическими данными в период наблюдения.

Полученные аналитические зависимости позволяют прогнозировать показатели качества электроэнергии в системах электроснабжения ИЖС. Задача прогноза заключается в оценке возможной величины значений коэффициентов качества электроэнергии, выходящих за пределы измерений, с учетом ежегодного роста нагрузок на 5 %. По данным результатов аналитического приближения тренда определен точечный прогноз значений коэффициентов качества электроэнергии на следующий год. Для повышения достоверности прогноза необходимо по заданной доверительной вероятности построить соответствующий доверительный интервал для аналитического приближения тренда. Границы доверительного интервала для суммарного коэффициента гармонических составляющих тока будут находиться в пределах:

z 1(t) < Zki(t) < z.(t), zk = mB(t)± a[mB(t)]• t(n — 2p —1), (k=1,2), где q - доверительная вероятность; tY(n-2p-1) - квантиль порядка у распределения Стьюдента с n-2p-1 степенями свободы [4].

Определение квантиля производится по таблице 3 [5], входом в которую служат числа Y =0,05 и n -2 p -1. Отсюда следует, что t _{1 +} q ( n — 2 p — 1 ) = 2,06.

В табл. 3 представлены значения для суммарного коэффициента гармонических составляющих тока в условно прогнозируемые сутки на последующий год и границы 95%-ных симметричных доверительных интервалов.

Аналитическое выражения тренда, включающее в себя показатели всех анализируемых коэффициентов качества электроэнергии за третьи сутки и содержащее 72 значения согласно вышепредставленным формулам, при р =3 примет следующий вид: суммарный коэффициент гармонических составляющих тока ( K I ):

4м         6лГ mK, (t) = 13,12 + 0,0000851 - 0,0153cos — - 0,665cos — -1,627 cos— + 73           7373

. 2л-           . 4л-. 6

+ 0,064 sin---+ 0,528 sin--0,881 sin;

73           7373

суммарный коэффициент гармонических составляющихнапряжения ( K U ):

m_Ku ( t )

2мблг

= 3,3 2 3 + 0,0098 - - 0,0707 cos — - 0,1005 cos — + 0,0899 cos — -

73            7373

2лГ           4лГ6лГ

- 0,1308 sin — - 0,078 sin — - 0,667 sin —;

73           7373

коэффициент несимметрии напряжения по обратной последовательности ( K 2U ):

Таблица 3

Table 3

Часы	Суммарный коэффициент гармонических составляющих тока, KI	Значение тренда mKi (t )	Среднеквадратичное отклонение а[ mKi(t )]	Граница доверительного интервала z 1 ( t )	Граница доверительного интервала z 2 ( t )
0:00	9,90	12,38	1,047	10,22	14,54
1:00	11,03	12,19	1,074	9,98	14,40
2:00	14,48	12,08	1,129	9,76	14,41
3:00	13,28	12,08	1,170	9,66	14,49
4:00	13,04	12,16	1,173	9,75	14,58
5:00	12,60	12,34	1,155	9,96	14,72
6:00	12,85	12,60	1,152	10,23	14,98
7:00	10,38	12,92	1,172	10,50	15,33
8:00	10,80	13,27	1,190	10,81	15,72
9:00	13,46	13,62	1,189	11,17	16,07
10:00	11,58	13,95	1,176	11,53	16,38
11:00	15,76	14,24	1,161	11,85	16,63
12:00	16,91	14,45	1,147	12,09	16,81
13:00	16,44	14,57	1 135	12,23	16,91
14:00	10,04	14,59	1,132	12,26	16,92
15:00	12,85	14,49	1,136	12,15	16,83
16:00	15,52	14,29	1,134	11,95	16,62
17:00	18,46	13,98	1,123	— 11,67	16,30
18:00	15,72	13,59	1,116	11,30	15,89
19:00	12,52	13,14	1,123	10,83	15,46
20:00	16,13	12,66	1,137	10,32	15,00
21:00	11,35	12,18	1,140	9,83	14,52
22:00	1075	11,72	1 121	9,41	14,03
23:00	13,91	11,32	1,081	9,10	13,55

2 л/        _    4 л/6л/ mK (-) = 0,554 - 0,0026- - 0,036cos— - 0,025cos— + 0,0183 cos— +

K2U        ,         ,            ,          73     ,          73     ,

7л/            4л/6л/

+ 0,045 sin — + 0,0397 sin — + 0,0833 sin —;

73            7373

коэффициент несимметрии напряжения по нулевой последовательности( K_0U ):

_6л/ mK (t) = 1,329 + 0,00241 - 0,0175cos — + 0,188cos — + 0,519 cos — +

K0U                                   73             7373

2л/            4л/6л/

+ 0,0069 sin — + 0,0588 sin — - 0,333 sin —.

73            7373

Проверка тренда на статическую значимость показала его 5%-ный уровень.

Аналогично прогнозируются коэффициенты качества электроэнергии системы электроснабжения ИЖС на последующие годы с глубиной прогнозирования два года.

Выводы

• 1.    Проведенный статистический анализ коэффициентов качества электроэнергии позволил установить закономерность изменения коэффициентов в течение суток и подтвердил подверженность этих изменений случайным процессам с тремя характерными периодами. При этом получен набор выражений для определения наиболее вероятных значений показателей качества электроэнергии в характерные периоды суток с учетом ежегодного роста нагрузок в системах электроснабжения ИЖС на 5 %.

• 2.    Учет вероятностного характера изменения показателей качества электроэнергии и их прогнозирование на ближайшие несколько лет позволит более обоснованно разрабатывать технические устройства и мероприятия по снижению негативного влияния несимметрии и неси-нусоидальности напряжения на энергетические показатели и на отдельные элементы системы электроснабжения ИЖС.