Статистические задачи оценивания надежности в модели «нагрузка-прочность» в случаях гамма-распределения и распределения Вейбулла

Многие статистические задачи, имеющие важное практическое значение, сводятся к нахожденг ^^смещенных оценок вероятностей линейных неравенств. Одна из .аких задач, получившая широкое освещение в отечественной и зарубежной литературе, состоит в оценивании надежности функционирования технической системы в модели "нагрузка-прочность" сем. сез, низ.

Пусть х - "нагрузка", a y - "прочность" являются случайными величинами, имеющими плотность распределения, принадлежащую некоторому известному параметрическому семейству распределений. Проводится п наблюдений "нагрузки" и г наблюдений "прочности", в результате которых получаются две независимые повторные выборки х₄, х₂,..., х_п и y₄, Y₂,...Y_r= На основании имеющихся данных требуется получить несмещенные оценки вероятности отказа системы pcy и надежности системы

РСХХУЭ = 1 - PCY

Clj

Другая задача, приводящая к той же математической модели, подучается, если принять за х время работы функционирующей системы, а за y время работы контрольной системы, причем, если контрольная система выйдет из строя раньше функционирующей, то возможны нежелательные последствия,

В случае нормального распределения оценки с id находятся в работах т, гтз.чд? гюз, пгз. Несмещенная оценка cid д^я усеченного экспоненциального распределения построена в г 5). в работах с bj , t43, гез оценка с id была обобщена на случай многомерного нормального закона.

В настоящей статье находятся данные оценки в случаях гамма-распре деления и распределения Вейбулла, которые часто используются при построении математических моделей для описания функционирования технических систем.

Для нахождения искомых оценок нам понадобится следующая

Лемма. Предположим, что существует несмещенная оценка плотности pcv/tD^p₀cuD случайного элемента ueu, выраженная чедез достаточную статастику teT, Тогда несмещенная оценка для линейного функционала LceD=JyecuDdix:t2D, если она существует, и дается формулой

1 с ео =JV w р₉с из di.< цз

С 2D

U

Следствие. Пусть ли у - независимые случайные величины, плотности распределения которых имеют несмещенные оценки рсдз и ptyD соответственно. Тогда несмещенная оценка вероятности pcxдается выражением

PCX

С 3D

зху

Случайная величина и имеет гамма-распределение, если ее плотность распределения имеет вид

Гси.е.рз = —i---ц>о, ГсРэер с 4?

где е > о. р > о - известно. Наиболее важным для приложений является случай целого положительного значения известного параметра р. Все дальнейшие построения сделаны для этого случая.

Полной достаточной статистикой в случае неизвестного параметра ^ , построенной по независимой повторной выборке х^ xz. • .х^ из распределения feu, е^рэ является s = £ х( . г = 1 Несмещенная оценка плотности с 4), выраженная через достаточную статистику £гз есть f с D

' ГСпрЗТ^Р 'cs-jy '^П-1'^р"¹

Г<рЭГСпр-р3 2п₽ 1

о в остальных случаях.

О < X - s, n > 1 ,

С 50

Пусть т = V y. - полная достаточная статистика в случае

• 1    = 1

неизвестного параметра @₂, построенная по независимой повторной выборке Y_ry_2>. . . . Y_r из распределения fcy,e₂,q).

Теорема i. Единственная несмещенная оценка для вероятности pcx в случае гамма-распределения, выраженная через достаточные статистики, имеет вид

FCnpOrCrqO

PCX

Ге ро Ге пр-рЭ Ге q) Ге г q-q)

С 61

rq-q-1

k =о

Crqk-q-l)

rq-k -1

np-p-l

C-lDk + l fnP"P-*

np+rq-2-k-l

1=0

если s в случае s>t следует воспользоваться ci?.

Доказательство. Пользуясь следствием из леммы, запишем лакомую несмещенную оценку в виде сзз и преобразуем двойной интеграл сз) в повторный в случае s

f"       Т                   S

PCXJ fOJCJpdX C7)

о    Л           о

Найдем значение функции ос аж:

J<3P = cf у4 ‘CT-^V4 ч^^у = ж

= CJ

ж

С 8D

к - О

= 1 - С

—к _rq - 1-к к Ггq-q-11 ^{Т 1}

I к J rq-1 -к к -О

Ге г q)

где с =-----. При нахождении интеграла мы учли, что

Ге q3 R г q-qD Т1"4- значение несмещенной оценки функции распределения в точке т равно единице. Подставив свэ в сто, преобразовав бином в сумму и проинтегрировав, получим сso. Найденная несмещенная оценка единственна в силу полноты достаточных статистик.

и > -о.

C9D

где е > о, р > о - известно

Полной достаточной статистикой в случае неизвестного параметра e_i, построенной по независимой повторной выборке х^ х_2>..., х^ из распределения Тсд-.^.рэ является s = V х^р .

Несмещенная оценка плотности cod, выраженная через достаточную статистику, дается гез формулой

Сп-ЗР?^ ^S-J^P”"2

О < х < ^^/р, n > 1 .

Х<-ЛР

СЮ)

о в остальных случаях.

Пусть т = ^ у^ " полная достаточная статистика в случае неизвестного параметра ez, построенная по независимой повторной выборке ч^, y2>... , уг из распределения Xcy,s2,qD.

Теорема г.Единственная несмещенная оценка для вероятности pcx в случае распределения Вейбулла, выраженная через достаточную статистику, имеет т^т

PCХ

р-С п-1 -kD +qC г -1 -1 D если ^/р < T*/q. Если s*/p > т1^ следует воспользоваться C1D .

Теорема г доказывается аналогично предыдущей.

Возможны случаи, когда х и y принадлежат различным параметрическим вероятностным семействам. Пусть х имеет распределение Tc^.e^pD вида C4D, a y шеет распределение fcy.e₂.qD вида ciod. В этом случае единственная несмещенная оценка вероятности рсх.выраженная через соответствующие достаточные статистики, имеет в случае s < т¹^ вид

..              Ге npj

PCX

ГС pj ГС np-pD

•ч

Гпр-р-1

' I к пр-1-к+qCг-1 -13

С 1 25

l=o

к = О

Если х имеет распределение Вейбулла, a y имеет гамма-распределение, то искомая несмещенная оценка в случае s1/p < т дается формулой г,-   ,, ч   г q - q-* frq-q-1fS1/pY rq-1 -k

PCX< YD

p.rqDCn-llp 4-2. 1 k    j 1-^—I

BCq^PCrq-qD l—       rq-1 -k k = O

C 1 35

r. Z.. . k + i fn - 2")

/ C n-1 I 5 p+rq-1-k "

l=o

При реализации формул сso, cii)-ci3o на ЭВМ в случае объемов выборок больше 40-50 могут возникнуть трудности в обеспечении точности вычислений из-за сложения чисел разных порядков.

IO Reiser B. , Guttman T. A comparison of three point estimators for P CY

Пермский государственный университет