Статистический метод цикловой синхронизации

Постановка задачи

При жестких ограничениях на скорость цифрового потока для групповой синхронизации используют статистические свойства передаваемого сигнала (естественную информационную избыточность). Как известно [1], чтобы циклический код стал неуязвимым при синхронизации на m позициях (1 <  \т\ < п — к — 1 и | m | = min( m , n – m ), нужно сложить один из символов каждого кодового слова с некоторым ненулевым элементом кодового поля. В двоичном случае такое суммирование эквивалентно инвертированию. При этом не требуется дополнительного исключения n-последовательностей из кодового словаря и без потерь каких-либо алгебраических свойств, которые полезны для кодирования и декодирования. В результате групповой код переходит в код, построенный на смежном классе группы. Однако в каналах с относительно высоким уровнем помех инверсии одного символа может оказаться недостаточно. В связи с этим необходимо установить зависимость количества инвертируемых символов от кодового расстояния и вероятности ошибки в канале.

Решение поставленной задачи

Код называется неуязвимым при синхронизации на m -ой позиции, если последовательность кщ+\ ^ш+2 ••• b^ а и? ... а^; не является кодовым словом, где b\ bi...b_n ии/ь... а„ – любые два (не обязательно различных) слова данного кода. В соответствии с этим рассмотрим модель декодирования принимаемой импульсной последовательности при следующих ограничениях:

• -    кодовые последовательности формируются источником независимо и с равной вероятностью;

• -    символы N кодовых слов, формируемых в течение цикла, в процессе передачи перемежаются, вследствие чего канал можно считать двоичным симметричным без памяти;

• -    задержка декодирования в 1…2 мс вполне допустима;

• -    длина кодовых слов одинакова: данное допущение принципиального значения не имеет, но значительно упрощает анализ.

Итак, в процессе передачи цифрового потока в пределах цикла образуется конечная последовательность символов:

Если <711 — ^lb то в силу цикличности в декодере снова образуется нулевой синдром. Вероятность этого события равна 0,5. В противном случае в декодере образуется ненулевой синдром. После декодирования N первых стыковых комбинаций декодируется N вторых стыковых комбинаций и так далее вплоть до декодирования первого кодового слова следующего цикла. При этом для каждого из N кодовых слов цикла воз- можно появление разрешенной кодовой комбинации. Вероятность этого события в зависимости от номера j стыковой комбинации определяется выражением [2]:

2 (" к' при п-к < j <к, 2"^п”п при к < / < п.

При использовании смежного класса кода (2)

примет вид

2 ^к) при п-к< j <к, О V/ t [и - к, ку

Выражения (2) и (3) справедливы для канала без шума. Рассмотрим далее декодирование последовательности (1) при наличии шума.

Пусть для защиты от ошибок в системе используется циклический код с минимальным кодовым расстоянием d. Тогда при декодировании кодовых слов этого кода в декодере будет образовываться нулевой синдром либо при отсутствии ошибок, либо при числе их кратном d. Следовательно, чтобы вероятность появления разрешенной кодовой комбинации на стыке кодовых слов при 1< \j\

Таким образом, при наличии шума в канале связи и использовании смежного класса циклического кода вероятность появления разрешенной кодовой комбинации на стыке кодовых слов описывается выражением:

V”₍1 _ _ру-«₊ qV_„,y (1 - ру-™ ) х 2"⁽''^-,)при к < j <п,

₌ (р^п” (1 - рУ"^п” + С^п_пу__п. р"' (1 - _ру-^-"-) X

2^-7при 1 < j <п- к,

^-bi-k> при п-к < j < к, где p – вероятность ошибки в канале связи.

Последние выражения позволяют определить ^0 ⁹ минимизирующее Р_j для данных d и р при условии по возможности равномерного распределения «О символов по длине кодового слова. То есть для заданных d и p построить смежный класс кода, оптимальный в смысле Р . Так, для кода БЧХ (127, 99, 9) при р>1,6-10”³ следует принять ^ио = 2, а при р< 1,6 • 10 ³ — п'_о = 1.

Вывод

Получено условие построения смежного класса циклического кода, оптимального для использования в целях групповой синхронизации.