Статистическое оценивание остаточного гамма-процентного ресурса космической техники по результатам испытаний, не давших отказы и проводимых по плану с ограниченным временем и восстановлением

Проблема оценки остаточного ресурса (ОР) изделий космической техники (КТ), включая и космические аппараты (КА), является постоянной на протяжении всего периода освоения космического пространства. Об этом свидетельствуют многочисленные публикации [1–6], подчеркивая актуальность этой проблемы. В основном, методы оценки (прогнозирования) ОР различных изделий КТ основываются на анализе телеметрической информации [1, 2, 4–6]. Другой вариант прогнозирования ОР затрагивает поли-модельный подход, сущность которого заключается в применении адаптивной процедуры выбора конкретной прогнозной модели из базы моделей с учетом характеристик фактической прогнозной ситуации и опыта специалистов — экспертов в области прогнозирования [3]. Эти методы относят к индивидуальному прогнозированию ОР конкретного изделия КТ. Однако, ситуация в эксплуатации изделий КТ, а в частности КА, требует оценки ОР целой группы изделий КТ. Такую возможность дают хорошо проработанные методы математической статистики, но только в тех случаях, когда в процессе эксплуатации возникают отказы, при этом применяемые оценки ОР не являются эффективными [7–9]. Особо следует отметить работы Г.С. Са-дыхова, который внес большой вклад в развитие статистических методов оценивания остаточного ресурса невосста-навливаемых объектов [10, 11].

Однако, для группы КА, находящихся в эксплуатации в космическом пространстве, в процессе которой отказы не возникали, традиционные методы математической статистики не работают. Надежность КА постоянно растет, как и их количество в космическом пространстве. Поэтому растет и актуальность проблемы оценки ОР целой группы однотипных КА, находящихся в эксплуатации, в процессе которой отказы не возникали.

понятия и определения

С целью формализации, каждому режиму эксплуатации соотносят некоторый план испытаний: или типа NБT, или NВT, где N — число испытуемых однотипных изделий КТ; T — наработка (одинаковая для каждого изделия КТ); Б (В) — характеристика плана, означающая, что работоспособность изделия КТ после каждого отказа в течение срока испытаний не восстанавливается (восстанавливается) [7]. Под ОР понимается суммарная наработка объекта от момента контроля его технического состояния до момента достижения его предельного состояния [12]. То есть, ОР — ресурс, исчисляемый от значения наработки tН в текущий момент времени. В основе понимания долговечности изделий КТ (его ресурса) лежит модель надежности [12], которую описывает закон распределения отказов. Внезапные отказы, носящие случайный характер, обычно довольно хорошо описываются экспоненциальным законом. Напротив, отказы, носящие название постепенных, во многих случаях довольно хорошо описываются нормальным законом [7]. У реального изделия КТ часто совмещаются оба типа отказов. Изделие КТ находится в работоспособном состоянии до первого из этих отказов. Пусть P1(t) — вероятность того, что за время t не произойдет внезапный отказ, а P2(t) — вероятность того, что за время t не произойдет постепенный отказ. В предположении, что отказы возникают независимо, вероятность безотказной работы будет равна P0(t) = P1(t)P2(t). Чаще всего в качестве показателя долговечности используется гамма-процентный ресурс (ГПР), и совсем редко — средний ресурс. Это объясняется тем, что за время, равное среднему ресурсу, откажет примерно половина изделий КТ. С точки зрения безопасности и экономичности такая эксплуатация является неоправданной. В соответствии с работой [12], ГПР — суммарная наработка, в течение которой объект не достигнет предельного состояния с вероятностью γ, выраженной в процентах. Аналогично определяется остаточный гамма-процентный ресурс (ОГПР). А именно: ОГПР — суммарная наработка объекта, исчисляемая с момента контроля его технического состояния, в течение которой объект не достигнет предельного состояния с вероятностью γ, выраженной в процентах. Вероятность γ обычно выбирают в пределах 0,95…0,999%. Такой выбор значений вероятности делит на интервалы временной промежуток использования изделий КТ, где начальный интервал ограничен величиной ГПР. Такое разграничение позволяет считать, что в пределах этого начального интервала модель надежности находится в рамках влияния экспоненциального закона. Тогда, с хорошим приближением на начальном интервале t, вероятность безотказной работы изделий КТ будет определяться равенством P0(t) = P1(t). Поясним это.

Интенсивность отказов на начальном пологом участке нормального закона распределения приближенно можно выразить формулой λ₂( t ) ≅ ε. Следовательно, P ₂( t ) ≅ exp(–ε t ), где ε — приближение константой интенсивности отказов на пологом участке кривой нормального закона распределения. Причем, на этом пологом участке P ₂( t ) > 0,95 (определяет критерий соответствия выбранной экспоненциальной модели). С другой стороны, для экспоненциального закона распределения вероятность отказа высоконадежного изделия выражается формулой P ₁( t ) = exp(–λ₁ t ). Исходя из полученных приближений и равенства P ₀( t ) = P ₁( t ) P ₂( t ) = exp(–(λ₁ + ε) t ), получаем, что на пологом временном участке вероятность безотказной работы (ВБР) определяется экспоненциальным законом с хорошим приближением. В этом случае гамма-процентная наработка до отказа совпадает с гамма-процентным ресурсом.

модель надежности

При условии подчинения наработки до отказа экспоненциальному закону распределения с параметром T ₀ (средняя наработка до отказа), расчетное значение

ВБР за заданное время t будет определяться равенством:

P расчет ( t ) = e^{–(t / T} 0 ⁾ .             (1)

Из формулы (1) легко выводится расчетная формула для ГПР:

t _H = – T ₀ln(γ₁).             (2)

Величины t _H и γ₁ нормируют в техническом задании.

Устанавливая вероятность γ₂ для продленного ресурса ( t _П) (например, γ₂( t _П) = 0,95) в качестве критерия соответствия выбранной экспоненциальной модели, легко рассчитать ОГПР изделий КТ (далее — t _γ ):

t _γ = t _П – t _Н = – T ₀ln(γ₂( t _П)) –

– (– T ₀ln(γ₁( t _H))) = T ₀(ln(γ₁) – ln(γ₂)).      (3)

Из формул (1)–(3) легко рассчитать вероятность γ изделий КТ для ОГПР t _γ , а именно: γ = e ^{–( t} γ ^{/ T} 0 ⁾.

Рассмотрим случай проведения испытаний в соответствии с планом N В T .

С целью построения оценки ОГПР (далее — ˆ t _γ ) вполне естественным будет в качестве оценки параметра T ₀ воспользоваться традиционной оценкой средней наработки до отказа, построенной для экспоненциального распределения [7, 13]:

NT

T ₀₂ = r , при r > 0.

Однако, полученная таким образом оценка имеет существенные недостатки, а именно:

• •    оценка является смещенной;

• •    оценка является неэффективной;

• •    оценка не позволяет получать значение t _γ по результатам испытаний, не давших отказы.

Для решения упомянутой выше задачи достаточно найти несмещенную эффективную оценку (ˆtγ0эф), если такая существует в классе состоятельных смещенных оценок. (Класс состоятельных оценок, в который входят все оценки, полученные методом подстановки, включая и метод максимального правдоподобия, содержит в себе оценки с любым смещением, в т. ч. и с фиксированным — в виде функции от параметра или константы [8]). В ряде случаев найденные несмещенные эффективные оценки имеют весьма громоздкий вид со сложным алгоритмом вычисления [9]. Они также не всегда являются достаточно эффективными в классе всех смещенных оценок и не всегда имеют значительное преимущество перед простыми, но смещенными оценками, с точки зрения близости к оцениваемому показателю.

цель работы

Целью работы является нахождение оценки ˆ t _γ в рамках заложенных ограничений на использование ресурса, которая будет простой и более эффективной по сравнению с традиционной и уступающей незначительно эффективной оценке ˆ t _{γ 0эф} (в случае ее существования) с точки зрения близости к t _γ при использовании плана N В T .

методы и решения

В качестве инструмента для нахождения эффективной оценки будем использовать интегральные характеристики [14–16]. Аналогично работе [14], построим функционал (далее — A( ˆ t _γ )), в основе которого лежит суммарный квадрат отклонения ожидаемой реализации оценки t _γ для всех возможных значений T ₀, γ и NT :

∞

A ( ˆ t _γ ) = ∫ ¹   { E ˆ t _γ – t _γ }²∂∆,          (4)

0 T ₀

где E ˆ t _γ — математическое ожидание оценки; Δ = NT / T ₀ — параметр пуассоновского закона распределения вероятностей числа отказов — характеристика потока отказов [7], T ₀ = NT /Δ. Воспользовавшись свойствами пуассоновского потока отказов с параметром Δ [7], найдем

E t Y = g ( T o (ln(Y i ( t h )) — ln(y₂( t _n»» e ^-д ^ K l,

Эффективная оценка ОГПР t _γ должна обладать минимальной величиной функционала A( ˆ t _γ ).

Вынесем из-под знака интеграла ln(γ₁( t _H)) – ln(γ₂( t _П)), тогда формула (4) с учетом выражения (3) примет вид:

A ( ˆt _γ ) = (ln(γ₁( t _H)) –

∞

• –    ln(γ₂( t _П)))² ∫ ¹ { E T ₀ – T ₀}²дΔ.      (5)

0 T ₀

В соответствии с работой [14], интеграл в формуле (5) (а вместе с ним и функционал A(ˆtγ)) принимает минимальное значение, если в качестве оценки параметра T0 подставить его эффективную оценку, построенную на достаточно широком классе смещенных оценок. В этом случае для плана испытаний типа NBT в качестве такой оценки T0 параметра T0 (средней наработки до отказа) следует использовать эффективную оценку T01 из работы [14], построенную для экспоненциального распределения. Представим эту составную оценку T01 в виде:

T ₀₁ = 2 NT при r = 0 и T ₀₁

NT r + 1 при r > 0,

где r — число отказов. Тогда эффективная оценка ОГПР ( ˆ t _γ ), построенная на достаточно широком классе оценок [14], примет вид:

^T y = ^(ln(Y i ⁽ t h )) - ln(y₂( t _n)))2 NT при r = 0,

Y = ^(ln(Yi^{( т} н)) ^{- ln(}Y₂^{( т} п)))при ^r > 0"

^Y                                       r + 1

Полученная таким образом оценка ˆ t _γ имеет существенные преимущества, а именно:

• •    оценка является эффективной на достаточно широком классе оценок [14];

• •    оценка позволяет получать значение t _γ по результатам испытаний, не давших отказы и проводимых по плану типа N В T . Для испытаний, в процессе которых отказы не возникали, или испытаний с одним отказом, оценку ˆ t _γ можно применять и для плана типа N Б T .