Структурный синтез терминальных управлений с использованием энергии ускорений

Автор: Костоглотов Андрей Александрович, Лазаренко Сергей Валерьевич, Кузнецов Антон Александрович, Лосев Виталий Александрович

Журнал: Вестник Донского государственного технического университета @vestnik-donstu

Рубрика: Информатика, вычислительная техника и управление

Статья в выпуске: 4 (83) т.15, 2015 года.

Бесплатный доступ

Учет физических особенностей системы в виде ее инвариантов позволяет продвинуться в решении проблемы структурного синтеза терминальных управлений. Это достигается за счет использования энергии ускорений при формировании расширенного целевого функционала, что определяет отличия полученного результата от известных. Применение аппарата асинхронного варьирования привело к установлению необходимого и достаточного условия минимума целевого функционала. На его основе получены уравнения краевой задачи для Аппелевых динамических систем. Их конечный вид определяется целью синтеза. Развертывание этих уравнений целесообразно производить для конкретных случаев. Достоверность полученных результатов подтверждается результатами решения задачи терминального управления. Для линейных систем предлагаемый метод позволяет получить точное аналитическое решение. Синтезированное управление обеспечивает безударный режим изменения состояния динамической системы.

Еще

Асинхронное варьирование, структурный синтез, терминальное управление, уравнения аппеля, энергия ускорений

Короткий адрес: https://sciup.org/14250177

IDR: 14250177   |   DOI: 10.12737/16056

Текст научной статьи Структурный синтез терминальных управлений с использованием энергии ускорений

Введение . Проблема структурного синтеза заключается в нахождении закона управления [1]. В настоящее время все больше внимания уделяется вопросам управления системой с заданным терминальным состоянием. Это обусловлено необходимостью решения таких актуальных задач, как прицельное торможение, разгон транспортных средств, наведение систем вооружения, летательных аппаратов, стыковка космических аппаратов, управление манипуляторами, демпфирование колебаний и т.д. [2, 3].

Существенный вклад в решение проблемы синтеза внесли работы Летова А.М. и Калмана Р.Э., что связано с формализмом Беллмана Р.Э. и Ляпунова А.М. [4, 5]. Одна из основных проблем в этом случае, как правило, заключается в выборе структуры и весовых коэффициентов оптимизирующих функционалов. Широкое применение также

*

∗∗

Работа выполнена по грантам РФФИ № 15-08-03798 А и № 15-38-20835 мол_а_вед.

∗∗∗ The research is done on RFFI grants nos. 15-08-03798 А and 15-38-20835 mol_а_ved.

находят метод приближенно – оптимального синтеза Кротова В.Ф. и функционала обобщенной работы Красовского А.А., но они не всегда обеспечивают требуемые показатели эффективности [5,6].

Одно из перспективных направлений развития теории управления состоит в использовании физических законов при построении процедур синтеза [6]. Конструктивные результаты из [7 - 15] получены с применением принципа Гамильтона – Остроградского, из которого следуют уравнения Лагранжа второго рода. Это позволяет учесть динамику действительного движения системы при построении расширенного функционала за счет включения в него интеграла действия.

В настоящей работе в отличие от [7 - 15] для решения задачи, которая заключается в разработке метода структурного синтеза терминальных управлений, предлагается использовать энергию ускорений для конструирования расширенного функционала. Применение к нему игольчатого варьирования Л.С. Понтрягина позволяет привести оптимизационную задачу к краевой, что не предполагает использования функции Беллмана [5, 16]. Достоверность полученных результатов подтверждается на основе математического моделирования при сравнении с терминальным управлением [2].

Постановка задачи. Согласно принципу Гаусса в каждый момент времени t динамическая система движется таким образом, что принуждению [17]

  • n 1     I

Z = Z mAq s - - I ,s = 1 ,n ,(1)

  • s=12    (

соответствующие истинному пути ускорения qs доставляют минимум:

5Z = 0,(2)

где m s — масса материальной точки; q s — координата материальной точки относительно неподвижной декартовой системы координат; Q s — равнодействующая сил, приложенных к материальной точке; n — число степеней свободы динамической системы.

Двумя точками обозначена производная по времени. Из условия минимума функции (1) следуют уравнения в форме Аппеля [17, 18]:

5 G dqs

= Q s , s = 1 ,n ,

где G — функция Гиббса.

Пусть динамика исследуемой системы удовлетворяет (1) и, следовательно, описывается уравнениями (3).

Требуется найти допустимые силы Q s е G q , переводящие систему (3) из заданного начального состояния

(q (t о ),q(t о )) в заданное конечное (q (t1),q(t1)) , соответствующую им траекторию (q,q )e R R , которые обеспечат минимум целевого функционала t1

J = J F(q)dt ^ min , t 0

Где F(q) знакопостоянная и непрерывная вместе с частными производными во всей области определения функция, а t0 ,t1 — соответственно время начала и окончания управляемого процесса.

Необходимое и достаточное условие минимума целевого функционала. Поиск необходимого и достаточного условия минимума целевого функционала (4) проводится методом неопределенных множителей Лагранжа. Это требует рассмотрения расширенного функционала, который учитывает особенности динамики системы в форме выражения (1):

t 1

J 1 = J + J X Zdt ^ min ,                                          (5)

t 0

где X — неопределенный множитель Лагранжа.

Пусть произвольная обобщенная сила определяется выражением

Q s = Q s +5 Q s ,                                                        (6)

где Q s — доставляющая минимум целевому функционалу обобщенная сила, а 5 Qs = 0 при t е [ тт + A t ], те ( t 0, t 1 ) — заданная точка непрерывности функции (Qs At е [ т ,t 1 ] — заданный малый конечный интервал времени; A t 0.

Тогда необходимое условие минимума целевого функционала определяется неравенством

A J 1 = [ X Z + F ] A t t 1

t 1

t 1

(

л

nt ir                                          n t 1

+ z J[X5Z + 5'F]dt =[XZ + F]At(1 + E J X     5qis + Vs5qs dt > 0, s=110                                    0 s=110L (aqs     J          _

Информатика, вычислительная техника и управление

5F где Vs =--фиктивная обобщенная сила.

5 -7 s

Соотношения на концах траектории являются условиями трансверсальности:

[JZ + F ] = 0, если интервал [11 -t0 ] фиксирован, или

At = 0,(9)

если интервал [ 1 1 - t 0 ] не фиксирован .

При 1 е [ 1 0, т ] Q = Q , поэтому AJ 1 = 0 . При 1 е [ т , т + A 1 ] AJ 1 * 0 и

2 n

5I2msУs -QS"l n 5Z1 е[т,т+А 1 ] = ~----Tv---—5q, = I(msq, - Qs )5q, .(10)

  • 5    qss

При 1 е [ т + A 1 , 1 1 ] A J 1 * 0, но произвольная сила Qs и доставляющая минимум (4) — Q s совпадают, значит

  • о    n 1

  • 5    Itms qs — l s=12         m,          4\

5z, ^^a 1 ] =--------e          5qs = Ims-s -Qs)5qs.(11)

  • 5 qss

Приращение подынтегральной функции целевого функционала F вычисляется следующим образом:

nn

5'F^t+a t ] = I    5qs = I Vs5qs .(12)

  • 1    J s=15q ss

Тогда условие (7) записывается так:

  • AJ1 = I T+^s5qs + X(m,q, - Qs >q, ]d1 + I J[x(msqs - Qs>q, + Vs5q, d > 0.(13)

s = 1 t                                           s = 1 t+A 1

Выберем теперь другие силы Q E s е G q , полученные по правилу (6). Приращение функционала будет иметь аналогичный (13) вид:

  • AJ1Е = I JVs5qes+X(ms^s- Q^s )5qEs ]d1 + 1I J [^(msqEs-

s = 1 t                                                s = 1 t+A 1

В силу произвольности синхронных вариаций примем условие их стыковки [9]

5 - s ( 1 ) = Sq g s ( 1 ), при 1 = т . (15)

Для траекторий qs и q ^ s , полученных для Qs, Q E s , имеем:

5 2 J = A J 1 E -A J 1 = II T+> e s - V s ) 5 q s +X ( ms [ (( e , - (i s ] - [ Q e s - Q s ] ) 5 (( e s ] d1 + IZ  J X m s ( - e s - qs > q s d.         (16)

s = 1 t                                                                   s = 1 t+A

Положим теперь, что произвольная обобщенная сила Q s доставляет минимум целевому функционалу. Тогда при Л> 0 A ms ( q g s - qs 'y qs = Z m s S q 2 0 . Поэтому необходимое и достаточное условие минимума целевого функционала 5 2 J > 0 выполняется когда

I: T+ JZ [( V E s - V s ) 5 q s +X ( Q e s - Q s ) 5 (( e s ] d1 > 0.                                         (17)

s = 1 t

Поскольку в соответствии с принципом Гаусса траектории и скорости не варьируются, то интегрирование по

частям приводит к следующему выражению

n   Г dlQ.

I J

s = 1 t

dt 2

, -               n t+A t

X - 1 Vs 5 qsd1 >I J   dQs-

ˆ

s = 1 t

dt 2

X - 1 Vs 5 qsd1 .

Значит

n z 5 = 1

d 2 Q ) dt 2

n

= r1 Z Vs,

5 = 1

t = t , q 5 = q 5( t ), q 5 = qs( t ),

t = t + A t, q 5 = q 5( t + A t), q 5 = q 5( т + A t).

Развертывание этого уравнения целесообразно производить для конкретных случаев задач структурного синтеза.

Структурный синтез терминальной системы управления . Пусть n = 1 и функция Гиббса имеет вид

1    1

g = ^ q2,                                                  (20)

тогда уравнения Аппеля записываются в следующей форме:

q = и, t0 = 0,q(t0) = -l, q(t0) = 0,

где U — управляющие силы.

Требуется синтезировать в аналитическом виде закон оптимального управления динамической системой (21), переводящий ее из начального состояния в состояние покоя из условия минимума целевого функционала:

t 1

J = J dt ^ min ;

пусть 1 1 = 2,4 с.

В соответствии с (19) и (22)

q IV

= 0.

Решение этого уравнения имеет вид:

32      2

q = —— + — + Ct + D; q = —— + Bt + C;U = At + B.

62     2

Постоянные интегрирования определяются из краевых условий:

A = -1-3 [12( q (11) - q (0) - <7(0>ti) - 6 ti (^/(ti) - <7(0))]-

B = t-2 [6( q (t 1)- q (0)- <7 (0)t 1) - 211 ((11) - q(0))];

C = (0); D = q(0).

Исключение времени t 1 из (24) позволяет получить структуру закона управления как функции обобщенных

координат

6 A 2 ( q - D ) + ( б ABC - 2 B. 3 ) 2 ( <7 - C ) - ( 2 B 2 - 6 AC )

Оценка эффективности предлагаемого решения проводится на основе сравнения с законом «мягкого» терми-

нального управления [2]

U = 12 ( q ( t 1 )- q ( t )) _ 6 q ( t 1 )- 6 ( t ) ( t 1 - 1 ) 2               t 1 - t

Такое решение имеет особенность в конечный момент времени. В результате при приближении к конечному состоянию системы наблюдается эффект резкого увеличения равнодействующей сил Q . Данное обстоятельство хорошо

изучено и для борьбы с ним разработаны различные приемы устранения такой особенности [2, 19].

Результаты математического моделирования приведены на рисунках 1, 2. Здесь сплошной линией обозначены кривые, полученные с использованием (26), а пунктирной на основе (27).

Информатика, вычислительная техника и управление

Рис. 1. Фазовый портрет

Рис. 2. Управляющие силы

Выводы . Получено новое необходимое и достаточное условие минимума целевого функционала, которое позволяет сводить задачу оптимального управления к краевой задаче для Аппелевой динамической системы. Его использование в случае линейной системы приводит к точному аналитическому решению. Это дает возможность выбора параметров регулирующего устройства. Результаты математического моделирования позволяют утверждать, что метод структурного синтеза терминальных управлений обеспечивает безударный режим изменения состояния динамической системы с минимальным объемом энергетических затрат в сравнении с решением из [2].

Список литературы Структурный синтез терминальных управлений с использованием энергии ускорений

  • Бойчук, Л. М. Метод структурного синтеза нелинейных систем автоматического управления/Л. М. Бойчук. -Москва: Энергия, 1971. -112 с.
  • Разоренов, Г. Н. Метод синтеза законов «мягкого» и «сверхмягкого» управления конечным состоянием динамических систем/Г. Н. Разоренов//Изв. РАН. Теория и системы управления. -2013. -№ 1. -С. 3-17.
  • Карнаухов, Н. Ф. Демпфирование колебаний захватного устройства промышленного робота в режиме двухтактного динамического торможения асинхронного двигателя при частотном управлении/Н. Ф. Карнаухов, М. Н. Филимонов, Ю. В. Пудова//Вестник Дон. гос. техн. ун-та. -2009. -Т. 9, № 2. -С. 308-321.
  • Isidori, A. Nonlinear Control Systems/A. Isidori. -New York: Spinger -Verlag, 1999. -297 p.
  • Справочник по теории автоматического управления/Под ред. А. А. Красовского. -Москва: Наука, 1987. -712 с.
  • Новые концепции общей теории управления: cборник научных трудов/Под ред. А. А. Красовского. -Москва-Таганрог: ТРТУ, 1995. -183 с.
  • Kostoglotov, A. A. Joint Maximum Principle in the Problem of Synthesizing an Optimal Control of Nonlinear Systems/A. A. Kostoglotov, A. I. Kostoglotov, S. V. Lazarenko//Automatic Control and Computer Sciences. -2007. -No 5. -Pp. 274-281.
  • Костоглотов, А. А. Синтез оптимальных по быстродействию систем на основе объединенного принципа максимума/А. А. Костоглотов, А. И. Костоглотов, С. В. Лазаренко//Информационно-измерительные и управляющие системы. -2007. -№12. -С. 34-40.
  • Kostoglotov, A. A. The Combined-Maximum Principle in Problems of Estimating the Motion Parameters of a Maneuvering Aircraft/A. A. Kostoglotov, A. I. Kostoglotov, S. V. Lazarenko//Journal of Communications Technology and Electronics. -2009. -Vol. 54, No 4. -Pp. 431-438.
  • Синтез оптимального управления на основе объединенного принципа максимума/А. А. Костоглотов //Известия высших учебных заведений. Северо -Кавказский регион. Технические науки. -2010. -№2. -С. 31-37.
  • Синтез алгоритма автономного управления математическим маятником на основе объединенного принципа максимума/Д. С. Андрашитов //Известия высших учебных заведений. Северо -Кавказский регион. Технические науки. -2010. -№3. -С. 9-14.
  • Костоглотов А. А. Объединенный принцип максимума в информационных технологиях анализа и синтеза/А. А. Костоглотов, А. И. Костоглотов, С. В. Лазаренко. -Ростов-на-Дону: РАСЮРГУЭС, 2010. -165 с.
  • Многопараметрическая идентификация конструктивных параметров методом объединенного принципа максимума /А. А. Костоглотов, А. И. Костоглотов, С. В. Лазаренко//Инженерный вестник Дона. -2011. -№1. -Режим доступа: http://www.ivdon.ru/ru/magazine/archive/n1y2011/348 (дата обращения: 14.07.15 г).
  • Костоглотов, А. А. Метод структурно-параметрической идентификации Лагранжевых динамических систем в задачах обработки измерительной информации/А. А. Костоглотов, С. В. Лазаренко//Измерительная техника. -2014. -№2. -С. 32-36.
  • Универсальный метод синтеза оптимальных управлений нелинейными динамическими системами /Д. С. Андрашитов //Инженерный вестник Дона. -2014. -№1 -Режим доступа: http://www.ivdon.ru/magazine/archive/n1y2014/2251 (дата обращения: 14.07.15).
  • Мартыненко, Ю. Г. Управление движением мобильных колесных роботов/Ю. Г. Мартыненко//Фундаментальная и прикладная математика. -2005. -Т. 11, № 8. -С. 29-80.
  • Новоселов, В. С. Вариационные методы в механике/В. С. Новоселов. -Санкт-Петербург: Изд-во Ленинградского университета, 1966. -73 с.
  • Лурье, А. И. Аналитическая механика/А. И. Лурье. -Москва: ГИФМЛ, 1961. -824 с.
  • Батенко, А. П. Управление конечным состоянием движущихся объектов/А. П. Батенко. -Москва: Сов. радио, 1977. -256 с.
Еще
Статья научная