Сумма квадратов первых n членов любой арифметической прогрессии

(2п — 1) 0.2 + а2+... +а^ = па2 + п(п — 1)(a1d +-------d2)

Казалось бы, формула выглядит очень сложной и для запоминания, и для применения, но что стоит применять эту формулу компьютеру. Например, потребуется посчитать сумму квадратов первых ста членов заданной арифметической прогрессии, и вместо того, чтобы вычислять каждый член этой прогрессии, потом возводить его в квадрат, а потом еще и суммировать, можно просто воспользоваться данной формулой и за считанные секунды получить ответ.

Пример:

Пусть a 1 =-10, а d=3, и мы хотим вычислить сумму квадратов первых десяти членов этой арифметической прогрессии.

Решим двумя способами:

1-ый способ.

Находим каждый член последовательности, возводим его в квадрат, а потом все складываем.

d i = —10 ^ d² = 100

dg = —7 ^ я2

dg = —4 ^ d2

d 4 = —1 ^ d 4 = 1

d5 = 2 ^ d2 =4

d6 = 5 ^ d6 =25

d7 = 8 ^ d7 =64

d8 = 11 ^ d2

d9 = 14 ^ d2

d₁₀ = 17 ^ d 20 = 289

S10 = 100 + 49 + 16 + 1 + 4 + 25 + 64 + 121 + 196 + 289 = 865

2-ой способ.

Подставляя данные в формулу, получаем:

S10 = 10 4-10)2 + 10 • 9 • (з • (-10) + —) = 1000 + 90-(-3) =

= 1000 - 135 = 865

Как видно из примера, уже при подсчете суммы всего лишь первых десяти членов прогрессии, для второго способа требуется гораздо меньше вычислений.

Доказательство формулы.

Докажем методом математической индукции.

База индукции, n=1 :

а 2 = а 2 + 0, второе слагаемое обнуляется, и равенство, очевидно, верно.

Шаг индукции: предположим, что а2 + а2+... +а£ = и а 2 + п(п - 1)(а1/ + (2Пб 1) /2), тогда

а2 + «2 + —- а^ + aj2+1 = иа2 + п(п - 1) (а1/ + -—-—-/2) + а^+1

( (2и - 1)

а1/ --------/2 I + (а1 + и/)2

(2и - 1)

= иа2 + п(п - 1) («1/ -------/2 I + а2 + 2а1п/ + и2/2 =

( (2и - 1)

а1/ -------/2 ) + 2а1и/ + и2/2 =

( (2п - 1)

а1/ -I------/2 ) + 2а1и/ + и2/2 =

(n2—n)(2n —1)

= (n + 1)a 2

+ n^d — na 1 d +--------- d² + 2na 1 d + n²d² =

= (n + 1)a 2

_               2n3

+ n^a ^ d + na 1 d +--

— 3n2 + n 2  6n2d2

= (n + 1)a 2

+ n(na₁d + a₁d + ²ⁿ²-^{3n + 1} d 2 +⁶ⁿd ! ) = 66

= (n + 1)a 2

2n² + 3n + 1

+ n ((n + 1)a 1 d +--------d²) =

= (n + 1)a 2

+ n ((n + 1)a 1 d +

(n + 1)(2n + 1)

d2) =

(2n + 1) Л

= (n + 1)a 2

+ n(n + 1) ( a 1 d +------d²) =

(2(n+1) —1)

= (n + 1)a 2

+ (n + 1)((n + 1) — 1) ( a1d +---------d2 ), что и требовалось доказать.