Суммирование двойных рядов Фурье методом Абеля

Рассмотрим тригонометрический ряд с ограниченными коэффициентами

∞

∑ E_mn ( ϕ , ψ ), m , n =0

где Emn(ϕ,ψ) =Amncosmϕ⋅cosnψ+Bmn . cosmϕsinnψ +Cmn sinmϕ⋅cosnψ+Dmn sinmϕ⋅sinnψ, и A,B,C,D - вещественные числа. mn mn mn mn

Этому ряду сопоставим следующий:

∞

∑rmpnEmn(ϕ,ψ),0≤r,ρ≤1.

m , n =0

Для всех r и ρ таких, что 0≤r,ρ≤1-δ,δ > 0 , ряд (2) сходится абсолютно и равномерно, причем ему соответствует ряд

∞    ∞∞∞

∑mnmn      mnmn      mn amnrmρnζ1mζ2n+∑βmnrmρnζ=1ζ2n ∑amnz1mz2n+∑βmnz1 z

m , n =0                     = m , n 1            = m , n 0= m , n 1

z ₁ = r ζ ₁ = x + iy ₁, = z ₂ = r ζ ₂ x ₂ + iy ₂,

Сходящийся в бицилиндре z ₁ <  1, z ₂ <  1. Если (1) есть ряд Фурье

∞

f( фУ ) □ E ^X mn ^E mn ⁽ фУ ), m , n =0

где λ00=14;λm0=λ0n  =12;λnm =1;m,n=1,2,..., а коэффициенты вычисляются по формулам:

A mn

= n ² j _D f ( ф , у )cos т ф- cos n v d ф d v ,

B mn = П — 2 j □ f ( ф , у )cos т ф- sin( n y ) d ф d ^ ,

Cmn

= n ² j _D f ( фу )sin т ф- cos n y d ф d y ,

D mn

= n 2 jD f (ф,у)sinтф-sinnydфdy некоторой функции f из L2, то воспользовавшись выражениями коэффициентов Фурье (5), получим

1 2 п 2 п

Emn(ф,у) = — ff f (X,0)cosm(ф - X)cosn(у - 0)dyd0 , так как п 0 0

cos( тф )cos( ”у )cos(mX )cos(n0) + cos( тф )sin( ”у )cos(mX )sin( n0) + sin(тф)cos(ny)sin(mX)cos(n0) + sin(тф)sin(ny)sin(mX)sin(n0) = cosm(ф - x)cosn(у - 0). Подставив это выражение Emn (ф,у) в ряд (2), соответствующий ряду(4), и поменяв порядок суммирования и интегрирования, найдем 1 2п 2п               от f (ф,у) □ — ff f (X,0) ^ W cosm(ф - X)cosn(у - 0)dxd0 = П 0 0           m, ”=0

i 2 п 2 п              Г -I от

1 от

— + ^ p ” cos n( у - 0 )

d X d 0

= ~ ff ^{f (} X , ⁰ ) ~⁺ Е r m ^{cos m (} ф ^- X )

^п 0 0           L ² m =1

1 2п 2п                          t 2i 2

—  f ( X , 0 )------—-----Г--—-----Г d X d 0 ,

4п 2*‘        1 - 2 r cos( x - ф) + r2 1 - 2 p cos(0 - у) + p так как справедлива формула

— + ^ r j = os j to —(1 - r ²)[1 - 2 r cos 6 9 + r ²] = P ( r , 6 9) .

2 1-1

Таким образом, f( ф , у ) при помощи ее ряда Фурье сопоставляется функция

1 2 п 2 п

U(Х1,У1,x2,у2) = — f fX(X,0)P(r, X - ф)P(p, 0 - у)dXd0, п 1 0

x1 = r cos ф, y1 =r sin ф, x 2  pcosy, у 2  ^=siny, где P(r,to) есть ядро Пуассона, которое при r<1 удовлетворяет уравнению Лапласа [1]. В формуле (6) можно дифференцировать по xt, yt под знаком интеграла, поэтому получаем, что функция u удовлетворяет системе уравнений

АД -

5 ² U  5 ² U

"Х+Т + дxi    дVi

= 0; i = 1,2.

Такие функции будем называть двоякогармоническими.

Ядро Пуассона обладает следующими свойствами [1]:

• а)    P ( r , t ) >  0 при любом t и r, 0 <  r <  1 ;

2п

• б)    п ^{- 1} f P ( r , t ) dt = 1;

• в)    если | t | >  5 , то m ( r , 5 ) = max P ( r , t ) ^ 0 при r ^ 1;

2 5

г)

lim— [ P ( r , t ) dt = 1.

r ^1 IT *

п0

Выведем аналоги свойств а) -г) для ядра Q ( r , t , p , T ) = P ( r , t ) P ( p , T ) . Имеем, очевидно, а) Q ( r , t , p , T ) >  0 при любых t, т и 0 <  r ; p <  1 ;

• б)    ^? f f Q ( r , t , p , T ) dtd T = - f P ( r , t ) dt • - f P ( p , T ) d T = 1 .

^п 0 0                    ^п 0           ^п 0

Непосредственным обобщением свойства в) является следующее утверждение:

• в)    если | t | >  5 и |г| >  8 , то m 1 (r , p , 8 ) = ₈ max Q ( r , t , p , T ) ^ 0 при r >  1 и р ^ 1 .

Хотя для функций двух переменных равенство г) выводится при помощи в), а для ядра Q свойство в) обобщается в более слабой форме, тем не менее свойство г) для Q можно доказать непосредственно. Действительно,

1 = AjJq(r,t,р,т)dtdT  -=P(r,t)dt-Jp(p,T)dT . = л 00                   л 0         л 0

- f P ( r , t ) dt + -

. ^П О              ^п

8           2 8            2

J P ( r , t ) dt — j P ( p , T ) d T + —

Я • П

к

к

j P (p ,t) dT =

8              _

4 8 8                     4 8          п               4 п          8

= — j j Q (r, t, p,T) dtdT +—j P (r, t) dt j P (p,T )dT +—j P (r, t) dt J P (p,T) dT + п 00                    п о         8             71 8         0

+ 4j j Q ( r , t , p , T ) dtd T .

^П 8 8

В этом равенстве второй интеграл не превосходит 2 _m ( p , 8 )/ п , третий - 2 m ( r , 8 )/ я , а четвертый - 4 п ² m^r , p , 8 ) , поэтому

4 88

lim — f f Q (r, t, p,T) dtdT = 1, r,p^ п 0 0

причем r и p стремятся к единице произвольным образом, но так, что одновременно r<1 и p <1.

Теорема 1: Если f (ф,ф) непрерывна в некоторой точке A = (1,ф0Л,ф0) и ограничена для всех ф,^ , то имеем u (Х1, У1, x2, У 2) ^ f (ф^ с)

при любом стремлении точки Q = ( x 1 , у , , x ₂, у ₂) к точке А, но так, что x ² + у 2 <  1 и x 2 + у 2 <  1.

Д о к а з а т е л ь с т в о.

В силу периодичности функции f и ядра Q формулу (6) можно переписать так:

1 п п

U ^{( x} 1 , У 1 , ^x 2 , У 2 ) = — j j ^f ( X , 9 ) ^Q ( ^r , X ^- Ф , p , 9 ^-V ) ^d X d 9 .

-п - п

Имеет место очевидное равенство

1 п п

f (Ф0,^0) = — j j f (Ф0,^0)Q(r, X - Ф, p,9 - V)dXd9

-п - п

Составим разность этих двух выражений и преобразуем ее:

1 п п

U ^{( Х} 1 , У 1 , ^x 2 , У 2 ) ^{- f (} Ф о ^, V 0 ) = — j j \J ⁽ X , ⁹ ) ^{- f (} Ф о ^, V 0)1 ^{x п} -п - п

xQ (r, X - Ф,9-V) d Xd9

1 Ф 0 ^{+ 8} V 0 ^{+ 8}     1 Ф 0 ^-8 V 0 ^{+ 8}

=1 1 I +' f I +

Ф0 ^-8 V 0 ^{- 8}        - ^п V 0 ^{- 8}

Я

+п7

п V 0 ^{+ 8}

j j

Ф 0 ^{+ 8} V 0 ^-8

Ф 0 ^{- 8} V 0 ^{- 8}

Я

Ф 0 ^{+ 8} V 0 ^-8

j j

Ф 0 ^-8

Ф0 ^-8

- п

К

Я ² J J

-п -п          -п V 0 + ⁸

Я

я ²

V 0 ^{+ 8} п

j j +

V 0 ^-8 V 0 ^{+ 8}

п ^V 0 ^-8

j j

Ф 0 + 8 -п

+п7

к

j

к j,

Ф0 ^{+ 8} V 0 ^{+ 8}

где под интегралом фигурирует одно и то же выражение. Сумма последних четырех слагаемых не превосходит величины

ππ

^{4 m} , ( r , p , 5 ) J J | ^f ( X , ⁰ ) - ^{f (} Ф 0 , У 0 ) ^d X ^{d 0}

- π - π

Первое слагаемое оценивается величиной

1 5 8

max If (X,0 ) - f (Ф0, V 0)—JJ Q (r, t, p,T )dtdT, п 0 0

причем |x - Ф ₀1 <  5 , 0 - v ₀1 <  5 , а для второго справедливо неравенство

ϕ ₀ - δψ ₀ + δ

ϕ ₀ δψ ₀+ δ

- J J f( ( X,0 ) - f ( Ф о , V 0 )|Q( r , X - Ф , p , 0 - V ) d X d 0 <  π - πψ ₀- δ

ψ ₀+ δ                 ϕ ₀+ δ

< 2 M — [ P ( p , 0 - v ) d O [ P ( r , x - Ф ) d X = π ψ ₀- δ                  - π

= Mm(r, 5)- + P(p,0 - v)dO, π ψ0-δ где M - максимум f . Остальные три слагаемые оцениваются аналогично.

Таким образом,

|^{U ( x} 1 , У 1 , ^x 2 , У 2 ) ^{- f (} Ф 0 , V o )| <  ^{max f (} X , ⁰ ) ^{- f (} Ф 0 , V 0 >| ^х

1 5 5

х — JJ Q( r , t , р , т ) dtd T + 8 Mm 1 ( r , p , 5 ) + ⁿ 00

+ 2 Mm ( r , 5 )- [ P ( p , 0 - v ) d _V + 2 Mm ( p , 5 )- f P ( r , x - Ф ) d X .

ππ

ψ ₀- δ                                ψ ₀- δ

Для заданного положительного г возьмем 5 настолько малым, чтобы при | х - ф ₀| <  5 , 1 0 - v ₀| <  5 было | f ( х , 0 ) - f ( ф ₀, v ₀)| <  s_v Зафиксировав 5 , выберем r <  1 и p <  1 так, чтобы m f r , p , 5 ) < M^£ 1 , m ( r , 5 ) < M^£ 1 , m ( p , 5 ) < M "* £ , . При таком выборе 5 , r и p в силу положительности ядер P и Q получим

|U(x 1, У1, x2, У 2) - f (Ф0, V0) < 13г1 , где г1 - наперед заданное положительное число.

Теорему 1 можно существенно усилить. Двоякогармоническая функция U ( x 1 ,y 1 , x ₂, у ₂) , представляемая формулой Пуассона (6), является гармонической функцией четырех переменных, поэтому при исследовании предела

П = lim U ( x j , у j , x ₂, у 2 ) r , p ^ 1

можно воспользоваться теоремами об удовлетворении граничным условиям решением задачи Дирихле для уравнения Лапласа [4]. Вначале по функции f ( ф,^ ) восстановим значения, принимаемые функцией U ( x 1 , у 1 , x ₂, у ₂) на всей границе Г бицилиндра Е: ^{{ x} 2 ⁺ У 2 < ^1, x 2 + У ₂ ² <1}. Зафиксируем у = 5 и рассмотрим функцию g ₅ ( ф ) = f ( ф,^ ) . Если она суммируема, то значения функции U ( x 1 , У 1 , x ₂, у ₂) в круге К( 5 ):{ x 2 + У 2 <1, x ₂ = cos 5 , у ₂ = sin 5 } можно выразить интегралом Пуассона - Лебега [2]

1 п

^{(1 - r 2)} g ₅ ⁽ X ) d X

1 - 2 r cos( X — Ф ) + r ²’

^U 5 ⁽ x 1 , У 1 ) = — f

2П -п причем U5 аналитична при r= Jx2 + y2 <1, а предел lim U5 (xi, yj = gs (Ф)

r ^1

существует почти всюду.

Теорема 2. Пусть функция f ( ф,ф ) непрерывна в точке А=(1, ф₀,1, ф ₀ ) и такова, что g ₅ ( ф ) = f ( ф , 5 ) для любого фиксированного ф = 5 суммируема по переменной ф, а h _r ( ф ) = f ( Уф ) для любого фиксированного ф = у суммируема по переменной ф . Тогда U ( x 1 ,у 1 ,x ₂, у ₂) ^ f ( ф₀ , Ф ₀) при любом стремлении точки Q= ( x 1 ,у 1, x ₂, у ₂) к точке А изнутри области регулярности двоякогармонической функции U.

Доказательство. Введем обозначения w = x 1 + iy 1 = r exp( i ф ), z = x ₂ + iy ₂ = p exp i ф . Меняя в формуле (8) 5 от - п до п , продолжим U на часть границы Г 1 :{| w |<1, | z |=1} области Е. Полученное продолжение аналитично по переменным х , , и у , всюду на Г 1 Аналогично, меняя Y от - п до п , при помощи формулы

1 ”

^{U ( X} 2 , У 2 ) =— J

^{2 п} -п

(1 - р ² ) h _y ( 9 ) d 9

1 - 2 pcos(9 - ф) + рр осуществим продолжение U на часть границы Г:{| w |=1, | z |<1}.

Таким образом, функцию f ( ф , ф ) можно продолжить на всю границу Г области Е так, что продолженная функция F ( w , z ) , ( w , z ) e Г совпадает на Г с регулярной в области Е двоякогармонической функцией. Очевидно, что такое продолжение единственно и продолженная функция суммируема. Теперь справедливость утверждения теоремы следует из свойств решения задачи Дирихле с суммируемыми граничными данными [2].

Непосредственным следствием теоремы 2 является следующее утверждение.

Теорема 3. Всякая функция f (ф,ф), заданная на торе Т2 {-п < ф < п , - п < ф < п } и принадлежащая некоторому пространству Up (T2), p > 1, представима своим рядом Фурье, т.е. ряд Фурье почти всюду суммируется методом Абеля-Пуассона к представляемой им функции.

Доказательство. Функция | f (ф,ф)|Р интегрируема на T2, поэтому она ограничена всюду, за исключением некоторого множества G сколь угодно малой меры. Функция Рф (ф) = | f (фф)|Р для почти всех фиксированных значений ф интегрируема [3], функция дф (ф) = f (ф,ф) для всех почти фиксированных ф принадлежит пространству L Р на окружности C1 изменения переменного ф. Аналогичным свойством обладает Кф (у). К множеству G присоединим все точки окружностей C1 (ф0) и C2(ф0) таких, что дф (ф) и h (ф) не принадлежат пространству LР . Получим на торе Т2 множество G1 сколь угодно малой меры. Очевидно, что для всякой точки (ф1, ф1) e T2, не принадлежащей множеству G1, окружности ф = ф1 и ф = ф1 пересекаются с G1 по множествам линейной сколь угодно малой меры. В силу теоремы 2 ряд Фурье гг( f) функции f в точке (ф1, ф1) суммируется методом Абеля к значению f (ф1, ф1).

Нетрудно заметить, что множество G ₁ , вообще говоря, шире множества G , так как могут существовать окружности C 1 : { ф = ф ₀ }, пересекающиеся с G по множествам положительной меры, и вместо функции

,      ,    1 f (1 - r ²) g _Vo( 9 ) d 9

u ₀( X i , У 1 ) = — ---------- ⁰------ з

2п -п 1 - 2r cos(9 - ф)rr тогда приходится рассматривать функцию v = да. Утверждение теоремы 3 обобщается на ряды Фурье любой кратности.