Существование решений некоторых вариационных неравенств

Здесь будут доказаны результаты, доложенные автором на. международной конференции, посвященной 90-летию со дня рождения С.М. Никольского [1].

Всюду ниже будем предполагать, что:

L — вещественное линейное пространство;

L * — двойк утвсшюс L пространство:

( f, x ) — значение линейного (функционала. f Е Е L * на. вскторе x Е L.

Пусть D и K — выпуклые подмножества, из L. состоящие более чем из одной точки, такие, что K П D = 0 и K \ D = 0.

Для x. w Е L введём xt ( w ) = tx + (1 — t ) w ( t > >  0).

Пусть Dw = { x Е D : [ 3 t >  1 : x = xt ( w )] }. Г w = D \ D w.

Множество Dw является аналогом внутренности множества D, а Г w — его границы.

Пусть A — оператор, действующий из K в L * . j — такой собственно выпуклый функционал, определенный на выпуклой оболочке множества K U w, что j ( x ) Д + го щ >ii x Е K П D- j ( w ) = + го.

Введём ^{f (} х, y ) = ⁽ Ax, y ^— x ) + j ⁽ y ) ^— j ⁽ x ).

Приведём две теоремы, являющиеся основными результатами работы.

Теорема 1. Из разрешимости вариационного неравенства. (ВН):

3 x Е D П K : f ( x,y ) >  0 V у Е K П D (1) следует, что x является решением ВН:

3 x Е K : f ( x,y ) > 0 V у Е K, (2)

если для некоторой точки w Е L выполняются следующие условия:

Dw П K = 0,(3)

V x Е K П Г ^w 3 t Е (0;1) : xt ( w ) Е K П D, (4)

V x Е K \ D 3 t Е (0; 1) : xt ( w ) Е D, (5)

Vx Е K П Гw : f (x, w) < 0.□ (6)

Теорема 2. Если в условиях теоремы 1 заменить условия (5), (6) на. условия

V x Е K \ D 3 t Е (0;1) : xt ( w ) Е K П D, (7)

Vx Е K П Гw : f (x,w) 6 0,(8)

то справедливо заключение теоремы 1.□

Лемма 1. Условие

∀ y ∈ K ∩ D^w ∀ x ∈ K

3 t Е (0;1) : xt ( у ) Е K П D (9)

является следствием условия (5).□

Замечание 1. В этой работе мы не накладываем никаких топологических ограничений на. пространство L. Кроме того, в теоремах 1 и 2 не предполагаем, что точка w принадлежит мно жеству D пли K.

Замечание 2. Условия (3), (4) и (7) означают, что множество K П D и точка, w порождают K. т. с. V x Е K существует x 0 Е K П D, принадлежащий интервалу ( w ; x ). Отметим Taiеже. что если w Е D. то по определению w Е D w, т. к. w = wt ( w ) для любых t.

Замечание 3. Если w Е K, то условия (3, 4, 7) являются следствиями условия (5).

Действительно, если w Е K, то по условию (5) 3 1 Е (0; 1) такое'. что w = wt ( w ) Е D. т. е. w Е K П П Dw. что доказывает е"словпе (3). Если x Е K \ D. то отрезок [ x,w ] С K, а часть его по условию (5) лежит в D при некотором числе t Е (0; 1). По следнее утверждение доказывает (7). Условие (4) вытекает из включений x Е K П Г ^w С K П D и w Е K П Dw ii выпуклости множества. K П D.

Докажем теперь анонсированные выше результаты.

Доказательство леммы 1.

Пусть у Е K П Dw и для выпуклых множеств D ii K выполняется ус.ловис (-5). тогда. 3 1 Е (0; 1) такое, что V x Е K справедливо включение (9): xt ( у ) Е K П D. Без ограничения общности положим w = 0 и доказательство леммы разобьем на несколько этапов.

Работа выполнена при финансовой поддержке АВЦП «Развитие научного потенциала высшей школы», проект 2.1.1/12136

• 1.    Если y = х. то xt ( y ) = y е K П D при всех t, а при х = у и х е K П D, из выпуклости множества. K П D отре узок [ х, у ] С K П D. что доказывает (9).

• 2.    Если w = 0 е K. то 0 е K П D w.

• 3.    Пусть х е K \ D и у = w = 0. то из пер вого этапа имеем х = у. Но при этом отре зок [0 , х ] С K- а из (-5) елсдует. что 3 t е (0; 1) такое, что tx е D, что доказывает (9).

• 4.    Пусть три точки х е K \ D, у е K П Dw ii w = 0 лежат на. од1юй прямой ii w ле жит на интервале ( х,у ) С K, тогда доказательство леммы вытекает из второго этапа, доказательства леммы и включения w = 0 е е K. Действительно в этом случае w = x_t ( у ) при некотором t е (0; 1).

• 5.    Пусть три точки х е K \ D, у е K П Dw и w = = 0 лежат на. од1юй прямой ii w не лежит на. отрезке [ х, у ] С K. тогда, у = тх при некотором m >  0. Из (5) получим 3 t е (0; 1) такое, что tx = x_t ( w ) е D. Покажем от противного, что число т е (0; 1). Пз "сть т >  1. тогда, отрезок [ tx,mx ] С D содержит х е D. что противоречит условию х е K \ D. Так как у е Dw. то 3 r >  1 такое'. что гу е D. Таким образом, множества ( у,гу ) и [ у,х ] имеют непустое пересечение, т. к. у = тх и т е (0; 1).

• 6.    Рассмотрим последний случай, когда, три точки х е K \ D. у е K П Dw 1 1 w = 0 не лежат па. одной прямой. Из (5) получим 3 т е (0; 1) такое. что тх е D. а т. к. у е е K П D w. то 3 r >  1 такое. что гу е D. Из выпуклости множеств D и K следует, что [ х,у ] С K, а [ mx,ry ] С D. Докажем, что эти отрезки пересекаются в некоторой точке интервала. ( х ; у ). Рассмотрим уравнение tx + + (1 — t ) у = sry + (1 — s ) тх. Так как точки х, у, w = 0 не лежат на одной прямой, то t = т (1 — s ) ii (1 — t ) = sr. То есть s = (1 — — т ) / ( r — s ) е (0 , 1) i it = т (1 — s ) е (0 , 1). Таким образом, на интервале ( х,у ) С K найдется точка из D, что доказывает лемму и в этом случае.

Доказательство теоремы 1. Пусть ВИ (1) имеет решение х ( в этом случае j ( х ) = + ж. т. к. 3 у е K П D такой, что j ( у ) <  + ж ) и выполняются условия (3, 4, 5, 6). Тогда х является решением ВН (2). Докажем от противного, что х е K П D w.

Пусть х е K П Гw. тогда, из (4) получим, что 31 е е (0; 1) такое'. что xt(w) е K П D. Подставим у = = xt(w) в (1). Получим 0 6 f (х,у) = (Ax,tx + (1 — — t)w — х) + j(tx + (1 — t)w) — j(х) 6 (1 — t) f (х, w). так как j (tx + (1 — t) w) — j (х) 6

6 tj ( х ) + (1 — t ) j ( w ) — j ( х ) = (1 — t )( j ( w ) — j ( х )) , T.e . f ( x,w ) >  0 , (10)

no (10) противоречит (6), что доказывает включение х е K П D w. Из последнего включения и леммы 1 имеем V z е K 3 1 е (0; 1) такое, что z_t ( х ) е K П D. Как при доказательстве (10) под ставим в (1) у = zt ( х ). и по.лучим f ( x,z ) >  0. что совпадает с ВН (2). Теорема. 1 доказана.

Доказательство теоремы 2. Пусть ВН (1) имеет решение х и выполняются условия (3), (4), (7), (8). Тогда х является решением ВН (2). Так как справедливо (4), а. (7) является следствием (5), то по-прежнему справедливо неравенство (10), а с учетом (8) получим f ( x,w ) = 0. Из (1) теперь получим 0 6 f ( х,у ) = f ( х,у ) — — f ( х/ w ) = ( Ах, у — w )+ j ( у ) — j ( w ) Hl)II V у е K П D. Из (7) имеем, что для V z е K \ D при некотором t е (0; 1) справедливс) включение у = zt ( w ) е K П П D. Подставим этот у в предыдущее неравенство и, как выше, получим, что оно справедливо для V z е K \ D. С учетом равенства, f ( x,w ) = 0 ii В И (1) рассматриваемое неравенство выполняется для V z е K и совпадает с ВН (2).

В заключение отметим, что аналог условия (6) используется, например в [2], для доказательства, результатов о существовании решений вариационных неравенств.