Сведение вычисления фейнмановских интегралов к интегралам по мере Винера с использованием аналитического продолжения

Работа, посвящена, сведению вычисления фейнмановских интегралов по пространству разрывных траекторий к нахождению интегралов от преобразованных функционалов по мере Винера. При этом интегрирование проводится уже по непрерывным траекториям.

Было замечено в работе Белокурова. В. В., Шавгулидзе Е.Т. [1], что интегралы, описывающие модель р4, могут быть сведены к интегралам по мере Винера с помощью нелинейного преобразования, в процессе которого возникают интегралы по разрывным траекториям. Отметим, что эта. задача, связана, с уравнением теплопроводности [2-4].

В данной работе исследованы свойства, нелинейного преобразования, и построено аналитическое продолжение интеграла, в комплексную область. В результате был определён фейнмановский интеграл для модели р4 на разрывных траекториях.

Введём Е разрывных траекторий следующим образом: Е = иП=оХп, где Хп есть про-п странство функций x(t) вида x(t) = ^ ^-1^- + p(t) г де t1,t2,... Е (0,1], а функция р гёльде-3=1 б

п рова на [0,1] с коэффициентом Ө Е (0; 2) и р(0) = ^ 1 и p(t^) = — ^ f»-1. при 1 6 k 6 n. 3=1 б              3= k б

Было доказано, что отображение из пространства Е в пространство гёльдеровых функций

t

C q ([0,1]), заданное формулой y(t) = х(t) + J х^Д)dT взаимно-однозначно и непрерывно, см. работу [5].

Предложенное отображение позволяет при а > 0 свести вычисление функционального интеграла

- 2 _Ct²J ( x' ( t ))² dt - 1 х ⁴ ( t ) dt + 3 _Ж3 (1)

J / (х)е ⁰⁰        dх

^{1 (а)}

Е___________________________

^- 2 a ² jtx'^p d t-1 x ^4(t) d ^t+ 3 ж ³⁽¹⁾

/ е ⁰                            dх

Е к интегралу по мере Винера:

I М = j с» ([0,1])

/(ха,у)ехр(-2a2(J (y‘(t))2dt))dy = о j   / (ха,у )ехР(-2^1 (Z^,y (t))2 at))dy/ с» ([0,1])                          0

Такая конструкция при а >  0 использовалась в [1].

Воспользуемся определением интеграла Фейнмана через аналитическое продолжение из монографии Смолянова О. Г., Шавгулидзе Е.Т. [6]. Отметим, что в нашем случае аналитический фейнмановский интеграл будет совпадать с интегралом Фейнмана как пределом конечнократных интегралов.

1 t 2

Рассмотрим функционал /(х) = J(f х(t1)dt1 )p(t2)dt2, где у - произвольная гёльдерова 00

И в функция. Он существует на функциях вида х(t) = ]У t—t* + 7(t) гДе do ~ константа, а у 3=1     .

гёльдерова функция, поскольку

1 t 2

/'(f X(t1)dt1)p(t2)dt2 = 00

И 1 t2

= Е / (/ ц—*dt1)p(t2)dt2 - /'(/'7 (t1)dt1)p(t2)dt2 =

3=10 0    300

И 11

= E ^0 / ln |t2 - t*|^(t2)dt2 - /'(/' 7(t1)dt1 )p(t2)dt2-3=1   00 0

А интегралы в последней части равенства существуют. Определим пространство F как пространство линейных комбинаций конечных произведений таких функционалов.

• 2.    Результаты

Теорема 1. Для всех функционалов из F сугцествует аналитическое продолжение фупкиуш I (а) на область

{а|0 < arga < 4, 2 < |а| < 2}.

Идея доказательства: ввёдем промежуточное пространство Ф, на котором берётся функциональный интеграл, зависяций от параметра. И у интеграла на пространстве Ф существует аналитическое продолжение по параметру.

Опишем промежуточное пространство Ф функций ф, в котором берётся аналитическое продолжение интеграла.

c,T,y связаны уравнением cy(t) = т(і) + J ж2(т)dT. Сделаем замену ^(t) = cy(t) — ж(Д, уравнение примет вид ^(t) = /(су(т) — ^(т))2dT, откуда

£‘(t) = (cy(t) - €(t))2- сделаем замену ФД)

_ДДД_ .Ы+А -    Im^(t)    іЫ+А -    |£(t)|2          - i+l€(t)l2' ^2(t)    = 1+I€(t)|2' ^3(t)    =    i+|?(t)|2        тогда

^(t) = i—& + ⁱ 1^Д) ' Получим функцию ^(t) = (^i(t), Ф2Д), ^3(t)). принимающую значения на сфере м2 + м2 + ф2 = ^з в трёхмерном вещественном пространстве с координатами

(Фі, Ф2, ^з)- Все функции ф, которые могут быть получены таким образом для любых гёль- деровых функций у, образуют пространство Ф.

Уравнение e‘(t) = (cy(t) — ^(t))2

после замены примет вид

(WK^{1 —} ^ 3 ^(t)) + ^ф 3 (t)W)) ⁺ КД 2 ^{(t)(1 —} ^ 3 ^(t)) + ^ф 3 ^(tN 2 ^(t)) =

= ^{(c(1 — ф} 3 ^(t))y^{(t) — (}^ i ^{(t) +} N2 ^(t)))2.

Для данного комплексного с из области

{с|0 < argc < I, j < |с| < 2} и гельдеровой с параметром 0 функции y(t) можно определить функцию Да,у € Ф так, что ДЛЯ её координатных функций ^a,y,i, Фа,у,2, Фа,у,3 выполнено

⁽С ,уД^ ^{)(1 —} W,3^{(t)) +} CWMWK ⁺ КС,у, 2^^{)(1 —} W,3^{(t)) +} Су^Шу^)) =

= ^{(c(1 —} ^ 3 ^(t))y^{(t) — (}^ i ^{(t) +} ^2 ^(t)))2

при всех t € [0,1], кроме тех, в которых ^a,y,3(t) = 1.

Таким образом, у функции ф_а у (t) существует аналитическое продолжение по параметру с.

Тогда у интеграла I (с) существует аналитическое продолжение:

I ^(с) = J 5 / ^(ф а,у )^^(dy) = J / ⁽Ж а,у )^^(dy), ф                             С » ([0 , i])

где д / - функционал на пространстве Ф, определяемый следующим образом:

5/ (Ф о,у ) = /(ж_а,у) для данного функционала /.

Таким образом, получена следующая формула:

Теорема 2. (формула сведения). На области {с|0 < argc <  ^ , | < |с| < 2} для / € F выполнено равенство I(с) = J / ⁽ж_а,у )^ ^(dy)

С » ([0 , i])

Следствие. Выполнено равенство функциональных интегралов:

• -    2 г }(x‘(t))²dt—/ x⁴(t)dt+ 3 x ³ (1)

J /(x)e  ⁰⁰        dx

• ^- -----1---------------------=      / ^(x_e⁴ iw W)

• —    1 г [(x‘(t))²dt— 11 x⁴(t)dt+ ¹ x ³ (1)                                 ’

• 3.    Итог

J e ² 0             0          ³ dx       ^c0 ([0 , 1])

-

Идея доказательства: подставим а = ег 4 в формулу сведения, получим требуемое следствие.

Вычисление интеграла по пространству Е разрывных траекторий для комплексных а сведено к вычислению интеграла по мере Винера:

— 2 a²J ( x ‘ ( t )) ² dt —/ х ⁴ (t)dt+ 3 х ³ (1)

J /(x)e  ⁰⁰        dx

^--------1------------------------ =   [  / ^(x my W ^(dy)

• ^— 2 “ ² J^(x‘^(t))2dt— Jo ^x4^(t)dt+ 3^x3(1)         rennin

• 4.    Благодарности

J e ⁰                                  dx      ^c0 ^([0 ’ ^1])

-

Автор выражает благодарность Е.Т. Шавгулидзе и О. Г. Смолянову за ценные замечания.