Связь знакоопределенности с приведением к полным квадратам пучка двух квадратичных форм

В статье обсуждается взаимная связь знакоопределенности связки двух квадратичных форм с одновременным приведением этих форм к полным квадратам одним линейным вещественным конгруэнтным преобразованием. Установлена теорема о необходимых условиях знакоопределенности связки двух квадратичных форм. Полученные требования полностью совпадают с условиями одновременной диагонализации матриц этих форм. Достаточные условия знакоопределенности связки двух квадратичных форм составляются для одновременно приведенных к диагональным матриц форм. Наряду с известным способом исследования знакоопределенности связки двух форм предложен альтернативный подход, позволяющий проводить параметрический анализ рассматриваемой задачи. В прикладных задачах качественного анализа и теории устойчивости движения необходимые условия знакоопределенности связки квадратичных форм применяются на начальном этапе определения области устойчивости. В дальнейшем после диагонализации матриц достаточные условия устойчивости формируются из достаточных условий знакоопределенности связки двух квадратичных форм. Демонстрация полученных результатов проведена на известном решении устойчивости перманентного вращения вокруг вертикальной оси волчка Лагранжа. Для проведения многих вычислительных выкладок, связанных с раскрытием, подстановкой, факторизацией выражений и вычислением определителей матриц, применялась система аналитических вычислений на современных вычислительных средствах.