Связанные состояние гамильтониана системы двух произвольных частиц на решетке

Основная цель этой работы является получения описания спектра гамильтониана системы двух произвольных квантовых частиц, взаимодействующих с помощью парных контактных потенциалов притяжения на v ( v = 1,2,3) - мерной целочисленной решетке.

С этой целью рассмотрим дискретный оператор Шредингера ассоциированной рассмотренной гамильтонианом и изучим собственное значение, виртуальных уровней и их зависимость от полного квазиимпульса системы и от константы связи частиц на v ( v = 1,2,3) - мерной решетке.

Известно, что изучение спектра двухчастичного дискретного и непрерывного оператора Шредингера играет важную рол при описание существенного спектра и конечности или бесконечности дискретного спектра трехчастичного оператора [1-5].

Данной работе мы изучим структуру спектра гамильтониана системы двух произвольных частиц, взаимодействующих с помощью парных контактных потенциалов притяжения на ν -мерной целочисленной решетке.

2.Постановка задачи. Описание гамильтониана системы двух произвольных частиц на решетке.

Пусть ( T ^v )² - декартово произведение v -мерного куба T ^v = ( - п , n ] ^v и L₂ ((T ^v ) m ) - гильбертово пространство квадратично интегрируемых функций, определенных на (T ^v ) m .

Пусть h ограниченный самосопряженный оператор, ассоциированный гамильтонианом системы двух произвольных частиц, взаимодействующих с помощью парного контактного потенциала м >  0 . (см. [1,2,4-5] ). Оператор h ^

действует в L2 ((Tv )2) и имеет вид h^ = h0 -MV .

Свободный гамильтониан h0 действует в L2 ((Tv )2) по формуле h0 = Δk1 + Δk2 , где Ati=A,x I, дк = I хД2 и /V, а = 1,2- оператор умножения на функцию £а (к). Функция еа, а = 1,2 определяется по формуле

ν

^£ а ⁽ Р ) = ^ <Л Р ), ^{£ (} Р ) = Е ⁽¹ - cos Р ⁽ i ) ), Р = ⁽ Р ^(1), Р ^•"■^, P ^{( V} ) ) ^ ^{T V} . i = 1

Оператор взаимодействия двух частиц V имеет вид

Vf ( к , k₂ ) = (2 п ) ^-v j 3 ( к + k₂ - к\ + к '₂ ) f ( к\ , к ’₂) dk\ dk ’₂, f e L ((T ^v )²) ,

( T ^v )²

где 3 ( • ) - обозначает трехмерную дельта функция Дирака.

Пусть k = k j + k₂ - полный квазиимпульс системы двух частиц, а

Г = {(k, k - k) е (Tv )2: k е Tv} - v - мерное многообразия. Обозначим через L2 (Г) гильбертово пространство всех квадратично интегрируемых функций, определенных на Г. Так как оператор h^ коммутирует с любым оператором умножения на функцию u(k), k е Tv, то разложение L2((Tv)2) = j® L2(Г)dk влечет Tν разложения оператора h^ в прямой интеграл h^ = j® ~(к)dk.        (1)

T ^ν

Ограниченный самосопряженный оператор ~(к), к е Tv действующий в L2 (гк) унитарно эквивалентен оператору h^ (k) действующий в L2 ((Tv )2) по формуле h^(k) f(q) = £(q) f(q)- (2n)-v v j f(q')dq', ν где sK(q) = £1(p) + £2(k-q), k е Tv .

В соответствии с теоремой Вейля [3] о существенном спектре непрерывный спектр a M(h^(k)) оператора h^ (k) не зависит от ^ > 0 и совпадает со спектром a(h0 (k)) невозмущенного оператора h0 (k). Таким образом acont (hv (k)) = a(h0 (k)) = [£mm (kX £max (k)] , где

^£ min ^{( k} ) = min ^£ k ⁽ q ) , ^£ max ^{( k} ) = max ^£ k ⁽ q ) . q е T ³                               q е T ³

Из явного вида £_к ( q ) вытекает

νν

£ min ( k ) = v ( £ _x + £ 2 ) " I a ( k (i) ) , £ max ( k ) = v ( £ _X + I 2 ) + ^ a ( k ⁽ i ) ) , i = 1                                                                 i = 1

где a ( k ⁽ i ) ) = 7 £ 2 + 2 £A ^cos k⁽ i ) + £ 2 . Следовательно

^£ min = min ^£ min ^{( k} ) = ^£ min ⁽⁰⁾ = ⁰ , ^£ max = ^m aX ^£ max ^{( k} ) = ^£ max ⁽⁰⁾ = ^{2 v ( £} 1 ^{+ £} 2 ) • k e T ³                                                 k e T ³

Пусть  C (Tv)  - Банахово пространство непрерывных функций определенных на Tv.

Определение. Пусть v >  3 . Если уравнение

A ⁽²ⁿ ) ^V j ( ^ k ( q ) - £ min ( ^k )) ^{- 1} ^ ( q ) dq = ^ ( q )                 (2)

ν имеет нетривиальное решение в ре C(Tv), то говорят, что оператор h^ (к) имеет виртуальный уровень на левом крае непрерывного спектра. Ненарущая общности, нормализуем ^ так, что ^(0) = 1 [1,2, 4].

Замечание. Пусть оператор h _A ( к ) имеет виртуальный уровень на левом крае непрерывного спектра. Тогда функция

/ ⁽ q ) = ^{( £} к ⁽ q ) ^- £ _mi n^{( к} )) ^{- 1                     (3)}

удовлетворяет уравнению Шредингера h^ ( к ) f = ^^к ) f . Из явного вида функций £_к ( q ) и £ _miп ( к ) следует, что при v = 3,4 и v >  5 имеет место соотношение / е L_Y (T^v )\ L₂ (T^v ) и у/ е L₂ (T^v ) , соответственно. Это означает, что при v >  5 левый край z = s_{m m} ( к ) является собственным значением для оператора h , ( к ) .

Положим

, ^{( к} ) = ⁽С ^{( £} к ⁽ q )) ^{- 1} dq ^{) - 1} , , _mm = min , ^{( к} ) = , ⁽⁰⁾ , A max = max , ^{( к} ) = , ⁽ П ) . к e T ³                                     к e T ³

ν

Основными результатами работы являются следующие

Теорема 1. Пусть v = 1 или v = 2 . Тогда для любых , >  0 и к е T ^v оператор h^ ( к ) имеет единственное собственное значение, и это собственное значение лежит левее непрерывного спектра.

Теорема 2. Пусть v = 1 или v = 2 . Тогда спектр оператора h _A состоит из двух непересекающихся отрезков.

Теорема 3. Пусть v = 3 . а) Пусть 0 <  , <  a_m • Тогда спектр оператора h _A состоит из отрезка [0, £ _тж] •

• б)    Пусть µ <  µ ≤ µ . Тогда спектр оператора h _µ состоит из отрезка ^[ e min , ^£ max ^] , г^де e min <  ⁰ •

• в)    Пусть µ >  µ . Тогда спектр оператора   h _µ   состоит из

^непер^есекаЮЩ^ихся отрезков [ e min , e max ] и £ min , ^ max 1 , причем e min <  e max <  ^ min = 0 •

Пусть C - комплексная плоскость. Для любых k е T ³ и z е C \ ° cont ( h , ( к )) определим функцию А , ( к , z ) (определитель Фредгольма ассоциированного с оператором h , (к) )

А^ ( к, z ) = 1 - , (2 п ) ^v f (е_к ( q) — z ) ^{- 1} dq = 1 - , (2 п ) ^-v А ( к , z) .

T ^ν

Отметим, что А^ ( • , • ) вещественна-аналитичная функция в T ^v х ( R \ ^ cont ^{( h} , ^{( к)))} .

Из принципа Бирмана-Швингера и из теоремы Фредгольма вытекает

Лемма 1. Для любого к е T ^v число z е C \ о_{С0 n}hh^ ( к )) является собственным значением оператора h , ( к ) тогда и только тогда, когда А , ( к, z ) = 0 .

Лемма 2. а) Для каждого z < ^п(к) функция А(к, z)   симметрично относительно перестановки любых двух переменных k(i) и k(j), четна и 2π периодична по каждой переменной. к(i),i, j = 1,—,v.

• б)    При v >  3 функция А ( к , s _ш( к)) строго возрастает по каждой

переменной к⁽ i ) е [ 0, п ], i = 1, — , v .

• в)    При каждом фиксированном z <  0 функция А ( к , z ) строго убывает по к ⁽ i ) е [ 0, п ], i = 1, — , v . При этом имеют место равенства

min А ( к , s min ( к )) = max А ( к ,0) = А (0,0) . к е Т ³                          к е Т ³

Доказательство леммы 2. a) Представим функцию s ( q ) в виде

S ( q ) = 3( й + 1 ₂) - ^ 7 1 ² + 2 1ф cos к^{( i )} + 1 ₂ ² cos( q ⁽ i ) - p ( к ⁽ⁱ⁾ )) . i = 1

Тогда при z <  s _min( к ) получим следующее представление для А ( к , z )

А ( к , z ) = f ;------ dq--------------------

Tvv(^ + £ 2) - £ [a(к(i) cos(q(i) - p(к(i)))] - z i=1

Делая замену переменных q(i) -p(к(i)) = q((i), i = 1,—,v в последнем интеграле, получим

А ( к , z ) = f------------- 'd ------------.       (4)

^{T V}v ( £_x + £ ₂) - £ a ( к ⁽ i ) cos q ⁽ i ) - z i = 1

При v > 3 интеграл в правой части (5.4 ) существует при z = smm(k) и имеет вид dq

.

^{Д ( k} , ^z ) = J _v--------------

T ^v £   1 в + 2 l _e l _Y cos k ⁽ⁱ⁾ + l Y (1 - cos q⁽ i ) )

i = 1

Из четности и периодичности косинуса следует четность и 2 п периодичность

Д(k, z), z < smm(k) как функции от к(i), i = 1,—,v. В (4) подынтегральная функция зависит от k(1),—,k(v) как сумма £(a + b cosk(i)), поэтому сумма симметрична i=1

относительно перестановки переменных k⁽ⁱ⁾ и k ⁽ j ) , i ^ j ; i , j = 1, — , v .

• б)    Так как косинус монотонно убывает на [0, п ] и в (5) подынтегральная функция положительна, то мы получим утверждение б) леммы 2.

• в)    Так как функция Д ( k , z ) = Д ( k ⁽¹⁾, k ⁽²⁾, — , k ^{( v} ) ; z ) симметрична относительно перестановки переменных k^(i> и k ^{( j} ) , i ^ j ; i , j = 1, — , v , то достаточно показать убывание переменной k⁽¹⁾ . Обозначим

B{ = B,(k,z;q(2), —,qv)) = v(l, +12)-£^l2 + 2lj2 cosk(i) +12 cosq(i) -z i=2

и представим функцию Д ( k , z ) в виде

( п

^{Д ( k} , ^z ) = J J

dq ⁽¹⁾

T

v ⁿ

B j -   1 ² + 2 ll cos k ⁽¹⁾ + 1 2 cos q ⁽¹⁾ _?

dq ⁽²⁾ — dq ^{( v} )

Внутренний интеграл представив как сумму двух интегралов по отрезкам [ - п,0 ] и [ 0, п ] и делая замену переменной п + q ⁽⁾ = q (1> в первом интеграле имеем

( П

^{Д ( k} ’ z ’ = J  J -g2

t ^{v - 1} V о B 1

2 Bdq ⁽¹⁾

\

- ( 1 2 + 2 1^ cos k ⁽¹⁾ + 1 ₂’ ) cos ² q ⁽¹⁾ _y

dq ⁽²⁾ — dq ^{( v} ) .

Очевидно, B 1 не зависит от k⁽¹ и положительна при z <  s _mm( k ) , поэтому и из монотонной убываемости косинуса на отрезке [0, п ] , следует убывание подынтегральной функции по переменной k ⁽¹⁾ е [0, п ] . Из монотонности интеграла Лебега следует монотонное убывание Д ( k , z ) как функция от k ⁽¹⁾ е [0, п ] . Лемма 2 доказана.

Лемма 3. Пусть v = 3 . а) Пусть 0 < р < рт1П. Тогда существует область G^ с Tv такая, что для любых k е Gp оператор hp (k) имеет единственное собственное значение ер (k) и 0 < ер (к) < ^п(к).

Для любого к £ G оператор hp (к) не имеет собственных значений вне непрерывного спектра.

• б)    Пусть р = р_m . Тогда оператор h_p (0) имеет виртуальный уровень на левом краю непрерывного спектра, т.е. в точке z = 0 . А при всех к ^ 0 оператор h _p ( к ) имеет единственное собственное значение е _р (к ) и 0 <  е _р ( к ) <  £ _miп( к ) .

• в)    Пусть µ <  µ ≤ µ . Тогда существует непустая область G ⊂ T ^ν , и для любого к е G оператор h_p ( к ) имеет единственное собственное значение ^е р ^{( к} ) и e p ^{( к} ) <  ⁰ .

Для любого к £ GM оператор hp (к) имеет единственное собственное значение ер (к) и 0 < ер (к) < £miп(к).

• г)    Пусть р >  р^ . Тогда для любого к е T ^v оператор h _p ( к ) имеет

единственное собственное значение е _р ( к ) и е _р ( к ) <  0 .

Доказательство леммы 3. Сначала введем параметр р(к), определенную по формуле

р ( к ) = (2 п ) ³

_г— dq —)- .

Т 3 £ к ⁽ q ) ^{- £} min ^{( к} )

• а)    Пусть 0 <  р <  р (к ) . Тогда для любого к е Т ³ имеет место неравенства А_р ( к , £ _;п( к )) >А ~₍₍₁₎ ( к , £ _miп( к )) = 0 . Из монотонной убываемости А_р ( к , • ) на ( -то , £ _in( к )) вытекает, что А_р ( к , z ) >  0 для любых к е Т ³ и z е ( -то , ^ ^к )) . Это в силу лемма 2 означает, что оператор h_p ( к ) не имеет собственных значений при 0 <  р <  р ( к ) , т.е. в этом случае G_р = О .

Пусть теперь р ( к ) <  р <  р т_Ш . Тогда имеем А р ( к , £ т_т ( к )) < А р ( к ) ( к , ^С к )) = 0 и А_р ( к ,0) > А_р ( к ,0) = 0 . Из непрерывности и монотонности функции А_р ( к , • ) на ( -то , £ _in( к )) следует, что она имеет единственный нуль z = е _р ( к ) в (0, £ _{mi п}( к )) . В 7

силу лемма 2 число z = e^ ( k ) является единственным собственным значением оператора h^ ( k ) и множество G^ с T ³ не пусто при * ( k ) <  ^ <  д ^.

• б)    Пусть * = *_min . Тогда уравнение Шредингера h^ (0) f = 0 имеет

нетривиальное решение вида    f ( q ) = —¹— . Так как s ( k ) является

£ о ( q )                   “^

невырожденной минимум функции £_к ( q ) , то f е L ( T ³) и f g L₂ ( T ³) . Это означает, что оператор h (0) имеет виртуальный уровень на левом крае непрерывного спектра.

Пусть теперь ^ = *_ь и k ^ 0 . Из монотонной убываемости Д^ ( k , • ) на ( -да , s _min( k)) вытекает, что Д * ( k , z ) <Д * ( k ,0) = Д ( k ,0) = 0 при z е (0, S min ( k )) и Д * ( k , z ) >  Д ( k ,0) = 0 при z е ( -те ,0) . Это означает, что монотонная функция Д_д ( k , • ) имеет единственный нуль z = e^ ( k ) в (0, s ^ _n( k )) .

• в)    Пусть µ <  µ ≤ µ . В этом случае получим неравенству Д^ ( k , s _min( k )) <Д_ц ( k ,0) <Д^_{т m}( k ,0) = 0 для любого k е G_M = T ³ . Это означает, что функция Д^ ( k , • ) имеет единственный нуль z = e^ ( k ) в ( -да , ^ _n( k )) . Множество G - выбираем следующим образом G + = { k е T ³: Д^ ( k ,0) >  0} . Это означает, что для любого k е G + оператор h^ ( k ) не имеет собственных значений в ( -да ,0) , т.е. e ( k ) е (0, s _min( k )) при k е G + и следовательно e ( k ) е ( -да ,0] при k е G - = T ³\ G + .

х х                        im                                         * х                                                       **                                                          **                     **

• ^г)    Пусть * > *“, . ^{Так как Д} * ^{( k ,0)} <  ^{Д  ( k ,0)} < ^{Д   ( k} , ^S min ^{( k} )) <  ⁰ для ^любого

max                 ma k е T3 и Дд (k,•) непрерывная монотонна убывающая функция в (-да, smь(k)), то для любого k е G^ = T3 оператор   h^ (k) имеет единственное собственное значение и это она лежит в интервале (-да,0). Лемма 3 доказана.

Лемма 4. Собственное значение  e* (k)  оператора  h* (k) является непрерывной функцией по k ∈ Gµ.

Доказательство леммы 4. В силу лемма 1 собственное значение z е R \ а(h0 (k)) оператора h^ (k) удовлетворяет уравнению  Д^ (k, z) = 0 , k е G^ , где G^ - множество тех k е Tv, что оператор h (к) имеет собственное значение. Так как z е (-и, ^in(к)) о (^ж(к),+и) и функция £к (q) непрерывна по k е Tv, то ^ (q) - z ^ 0 для любого k, q е Tv, и следовательно, в силу теоремы предельного перехода под знаком интеграла вытекает непрерывность функции А^ (к, z) в

Tv х {(-и,^n(к)) о(^ах(к),+и)}. Кроме того, из явного вида АЛ(к,z) следует, что дА К ( к0,z )

∂ z

dq

Tv ⁽ ^ к₀ ⁽ q ) ^{- z ) 2}

> 0 для любого z е ( -и , ^ _min( к )) о ( ^ _тах( к ), +и ) .

Пусть V к₀ е G^ , т.е. А^ ( к ₀, е^ ( к ₀)) = 0 . Теперь применяя теорему о неявной функции получим, что в некоторой окрестности U 3 ^{( к} 0 ) ^ G K ^{точки к} 0 ^е G K существует непрерывная функция z = е^ ( к ) . В силу произвольности V к₀ е G^ следует, что функция z = е^ ( к ) определена и непрерывна всюду в G^ . Лемма 4 доказана.

Доказательство основных результатов.

Доказательство теоремы 1. Применяя лемму Морса для ^ (q) - ^ь(к) получим, что llm А (к,0) = -и при v = 1,2. z ^0 К

Функция А^ (к ,•) непрерывна и монотонна возрастает (см.лемму 2) и для любого к е Tv выполняется равенство llm А К (к, z) = 1. z→-∞ µ

Поэтому в силу леммы 1 оператор h^ (к)  имеет единственное собственное значение и это собственное значение лежит в (-и,0). Теорема 1 доказана.

Доказательство теоремы 2. Из представление (1), унитарной эквивалентности операторов h (к) и hK (к), и из теоремы о спектре разложимых операторов вытекает, что а( hK) = °va( hK(к)) •

Оператор h^ ( k ) имеет не более одно собственное значение, поэтому

cj(h и{е W}U[^      ] = Ге ,е ]U[£ ■ р ' k^G ^            min, тах       т1П, тах       т1П, тах , где G^ - множество тех k е Tv, в котором оператор h^ (к)  имеет собственное значение.

Пусть v = 1 или v = 2 . Для любого к е Tv оператор h^ (к)  имеет единственное собственное значение е^ (к) и е^ (к) <0. Так как Tv компакт и е^ (к) непрерывная функция в Tv, то тах е (к) = е (к0) < 0. Это означает, что отрезки кeTv Л         Л

[ е тп , е тах ] и [ г ™n , * тах ] непересекаются. Теорема 2 доказана .

Доказательство теоремы 3. Пусть v = 3 . а) Пусть 0 < ^ < ^тт . Тогда существует область G (может быть и пустым) такая, что для любого k ∈ G оператор h^ (к) имеет единственное собственное значение е^ (к) и е^ (к) > 0 (см. лемма 3). Так как е (•) непрерывная функция в G , то ет1 п = т1п е (к) > 0. Кроме µ                                        µ              k∈ Gµ µ того, оператор h^ (к) не имеет собственных значений в (*тах(к), + ю) и

• * т1п = ^т 1П * т1п ^{( к} ) = * т1п ⁽⁰⁾ = ⁰ . ^ν

Поэтому в силу (6) имеем ^ ( h ^ ) = [0, * тах ] .

• б)    Пусть ^ ^ <  ^ <  ^ _ах. Тогда для любого к е G ^ = T ³ оператор h ^ ( к ) имеет единственное собственное значение е ^ ( к ) . При этом е ^ ( к ) <0, к е G ^ и е ^ ( к ) >  0 при к е T³ \ G^ . Отсюда получим, что

• ет1п = тп е^ (к) = е, (к 1) < 0, к 1 е G и етах = тах еА (к) = е^ (к2) > 0, к2 е T3 \ G .

к е Т ³   ^         ^                      г                кеТ ³   ^         ^                            ^

В силу (6) и (7) заключаем, что а ( h ^ ) = [ е т_т , г тах ] .

• в)    Пусть ^ > , «_тах . Тогда для любого к е Т ³ оператор h ^ ( к ) имеет единственное собственное значение е ( к ) и е ( к ) <0. Так как T ³ компакт и е ( к ) непрерывная функция на Т ³ , то е_т = тах е ( к ) = е ( к ₀) <  0, к ₀ е Т ³ . Это означает,

k∈Tν что отрезки [ет1п, етах]  и [гт1п, гтах] не пересекаются и в силу (6) имеем

^ ^{( h} , ) = ^[ е т1п , е тах^] U ^[ * т1п , * тах ^] . ТеоРема ³ доказана.