Свойства общей и парциальных амплитуд рассеяния, а также дисперсионные соотношения в квантовой механике. Ч. II. Дисперсионные соотношения (обзор)

Настоящая статья является продолжением работы [1]. Здесь рассматриваются дисперсионные соотношения, исследование которых получило большое развитие в теориях распространения света в диэлектрической среде, а также электромагнитного и квантовомеханического рассеяний. Упомянутые соотношения приводятся применительно к акустическому рассеянию.

ДИСПЕРСИОННЫЕ СООТНОШЕНИЯ

Дисперсионные соотношения связывают такие различные величины, как мнимые и действительные составляющие показателей преломления, парциальных и полных амплитуд рассеяния классических и квантовомеханических полей как для ограниченных в пространстве включений, так и для нефинитных потенциалов. В настоящей работе будут рассмотрены дисперсионные соотношения для волнового акустического рассеяния в случае финитных включений.

Дисперсионные соотношения — интегральные представления функций отклика, описывающие реакцию равновесной стационарной физической системы на внешние воздействия. Дисперсионные соотношения отражают аналитические свойства функций отклика в комплексной плоскости частоты, фиксируют их частотную зависимость.

Дисперсионные соотношения являются следствием принципа причинности, который в различных областях физики может формулироваться по-разному. Существование причинных связей обычно означает, что некоторая функция тождественно обращается в нуль в пределах некоторой области определения ее аргумента. Из чего следует возможность аналитического продолжения трансформанты Фурье этой функции в некоторую область комплексной плоскости.

Причинность и аналитичность

Пусть произвольная физическая система испытывает внешнее зависящее от времени воздействие f ( t ) ; назовем его "вход". Ему соответствует "выход" x ( t ) . Пусть далее система удовлетворяет следующим условиям.

• I.    Линейность (принцип суперпозиции): выход — линейный функционал входа

∞

x ( t ) = ∫ g ( t , t ') f ( t ')d t '.

-∞

• II.    Инвариантность относительно временных сдвигов. Это означает, что если вход смещен на некоторый временной интервал τ , то выход будет смещен на тот же интервал τ : x ( t ± τ ) соответствует f ( t ± τ ) . Из этого следует, что g ( t , t ') может зависеть только от разности аргументов

g(t, t') = g(t -t'). Поэтому соотношение по п. I. записывается в виде to

x ⁽ t ) = J g ⁽ t - t)f ⁽ t '^)d t ' = g ⁽ t ) * f ⁽ t )•

-to

Пусть G ( ω ) , F ( ω ) и X ( ω ) — соответствующие трансформанты Фурье. Тогда по теореме о свертке имеем

X (to ) = G (to ) F (to ).

• III.    Простое условие причинности. Выход не может предшествовать входу, поэтому если f ( t ) = 0, t <  T , то и x ( t ) = 0, t <  T , а это означает, что

• g(т) = 0, т < 0.

Следовательно, можно записать для to = u + iv

G ( го ) = J g (т ) e™ ^T dT = J g (т ) e^{iU T} e ^{- v т} d r . 00

При условии, что g ( τ ) — непрерывная или имеющая конечное число разрывов первого рода ограниченная функция на интервале интегрирования, функция G ( ω ) будет голоморфной функцией (т. е. функцией, представимой сходящимся к ней рядом Тейлора) комплексного переменного ω при Re to >  0 [2, с. 133], [3, с. 254].

Однако для получения дисперсионных соотношений, т. е. соотношений между действительной Re G ( ω ) и мнимой Im G ( ω ) составляющими функции G ( ω ) еще недостаточно голоморфности последней в полуплоскости

I ₊ = { -to <  Re to < to , Im to >  0}.

Необходимо еще некоторое условие достаточно быстрого ее убывания при | ю | ^ to . Такое условие дается ниже.

Формулы Племеля

Предположим, что функция G ( ω ) — квадратично интегрируемая функция на действительной оси ω

J G ( to )|2d to <  C = const. -to

Тогда при любом фиксированном Re to = v >  0 справедливо неравенство [4, с. 33]

to

J G ( u + iv )| 2 d u <  C = const.

-to

Отсюда и из теоремы Коши следуют соотношения [4, с. 34]

.     1 to G ( to), ,

G ( to ) =--- —-—-d to , Im to >  0;

2ni -to to ' - to

.    1 _pto G(to). ,           _n

G(to) = —P ------dto , Im to = 0, ni -to to'- to выражающие значение функции G(ω) в произвольной точке ω верхней полуплоскости и при действительных ω через ее значения на действительной оси, а также формулы Племеля, или дисперсионные соотношения, связывающие действительную и мнимую части функции G(ω) при вещественных значениях частот ω иω' :

_y .    1 _pto Im G ( to) , ,

ReG(to) =—P -----—-dto, n 1 to'- to

-to

_T .      1 _p"_r Re G ( to) , ,

Im G ( to ) =-- P ---------d to .

n -to to '- to

Здесь P означает главное значение интеграла в смысле Коши.

Отметим, что каждую из формул Племеля можно получить из другой, поэтому нужна только одна из них. Вследствие взаимно однозначного соответствия, существующего между Re G ( ω ) и Im G ( ω ), эти функции называют взаимными трансформантами Гильберта.

Теорема Титчмарша

Теорема Титчмарша дает точную формулировку приведенных выше результатов [5, с. 125–129].

Теорема Титчмарша . Если квадратично интегрируемая функция G ( ω ) удовлетворяет одному из четырех нижеследующих условий, то она удовлетворяет и остальным трем.

• 1.    Обратная Фурье-трансформанта g ( t ) функции G ( to ) равна нулю для t <  0

• 2.    G ( u ) почти для всех u является предельным значением при v ^ 0 + аналитической функции G ( u + iv ), голоморфной в верхней полуплоскости и квадратично интегрируемой вдоль произвольной прямой, параллельной вещественной оси:

• 3.    Re G ( ω ) и Im G ( ω ) удовлетворяют первой формуле Племеля:

• 4.  Re G ( ω ) и Im G ( ω ) удовлетворяют второй

g ( t ) = 0, t <  0.

J G ( u + iv )|2d u <  C ( v >  0).

-to

1 f Im G ( ro)    ,

Re G ( ro ) = —P --------d ro , Im ro = 0 .

n -_r ro’ - го

формуле Племеля:

_т .      1 _7 Re G ( ro ')    ,           _n

Im G(ro ) =-- P ---------d ro , Im ro = 0 .

n ¹ Го- ro -r

Функцию G ( ω ) , удовлетворяющую одному из условий теоремы Титчмарша, а следовательно, и всем остальным, называют причинной трансформантой .

Вычитания

На деле может оказаться, что функция G ( ω ) не является квадратично интегрируемой. Однако в большинстве случаев квадратично интегрируемому выходу x ( t ) соответствует квадратично интегрируемый вход f ( t ) . Тогда, согласно теореме Парсеваля, следует более слабое ограничение на функцию G ( ω ) [4, с. 39]: G ( ω ) ² <  A . В этом случае функция G ( ω ) перестает быть причинной трансформантой и, следовательно, для нее не удается получить дисперсионных соотношений. Однако для функции

D (ro ) = ( G ( ro ) - G ( ro ₀ ) ) / ( ro - ro ₀ ) , которая уже является причинной трансформантой, такие соотношения получить удается [4, с. 41]:

x ro - ro nf G ( ro ') d ro' _T „ G(ro ) = G ( ro ₀ ) +----- ⁰ P --, Im ro = 0 .

ni      -_r Го- ro ₀ ro' - ro

Здесь ω ₀ — некоторое фиксированное значение действительной частоты ω , которую часто выбирают равной ro ₀ = 0 или ro ₀ = r .

Оказывается возможным получить дисперсионные соотношения и при неограниченном росте функции G(ro ). Например, когда G(ro ) = O(ro ), ro ^”

пользуются двойным вычитанием [4, с. 41], чтобы получить квадратично интегрируемую функцию

D 1 (ro ) = ( G (ro ) - G ( ro ₀ ) - ( ro - ro ₀ ) G '( ro ₀ ) ) / ( ro - ro ₀ ) 2 , для которой вновь справедливы дисперсионные соотношения. И вообще при G ( ro ) = O(ro n )

I ro ^r можно получить дисперсионное соотношение с n +1 вычитаниями.

ДИСПЕРСИОННЫЕ СООТНОШЕНИЯ ДЛЯ АКУСТИЧЕСКОГО РАССЕЯНИЯ

Применительно к акустическому рассеянию принцип причинности формулируется так [4, с. 71]: выходящая ( рассеянная, прим. авт.) волна не может появиться, до того как падающая волна достигнет рассеивателя.

Для простоты далее будем рассматривать случай, когда акустическое включение является сферически симметричным конечного радиуса a . Дальнейшее изложение начнем с рассмотрения свойств S-матрицы.

Свойства S-матрицы

Важнейшую роль в теории рассеяния играет S-матрица (функция), через которую выражается совокупная амплитуда рассеяния включения.

Амплитуда рассеяния сферического включения f ( k , θ ) определяется через парциальные амплитуды рассеяния f_l ( k ) следующим образом [4, с. 141]

f ( k ,9 ) = - £ ( 2 I + 1 ) f ( k ) P l ( cos9 ) ,           (1)

k 1 = 0

где

^{f ( k} ) =    [ S i ^{( k} ) ^- 1 ] = e^' sin 5 1 =

2 i

• =    - J f ( k , 9 ) P ( cos 9 ) sin 9 d 9 .           (2)

Здесь Sl(k) = e2i5'(k),   1 = 0,1,2,... — элементы S- матрицы.

Приведем свойства S-матрицы применительно к акустическому рассеянию [4].

На действительной оси Im k = 0 имеем соотно- шение симметрии S-функции [4, с. 69]

Si (-k) = Si (k),(3)

условие унитарности S-функции [4, с. 69]

I S' (k )2 = S' (k) Si (k) = 1,(4)

а также соотношение [4, с. 70]

Si (k) S' (-k) = 1,(5)

откуда следует

Si (0) = ±1.(6)

Обычно принимается s ' (0) = 1, т. к. при s ' (0) = - 1 неограниченно возрастают парциальные поперечные сечения рассеяния [4, с. 70, 84].

Из последних тождеств и равенства

S * ( k ) = e ^{2 5 ( k} ) следует, что фазовый сдвиг 5 * ( k ) — нечетная функция k [4, с. 70]

5 * ( k ) = - 5 * ( - k ).

Ниже будет определено аналитическое продолжение S * ( k ) в I ₊ (Im k >  0) через их значение на действительной оси [4, с. 73]

Si ( k ) = S* ( - k ).                        (7)

Таким образом, S-функция принимает комплексно сопряженные значения в точках, расположенных симметрично относительно мнимой оси. В частности, S_l ( k ) вещественна на мнимой оси.

Аналитическое продолжение в полуплоскость I - (Im k <  0) осуществляется с помощью выражения (5) [4, с. 74], справедливого для действительных k , положив k = k ' + iK , K <  0 :

S * ( k ) = S * ( k ' + iK ) = 1/ S * ( - k ' - iK ) = 1 / S ( - k ).    (8)

Выражение (8) определяет аналитическую функцию в I - , регулярную всюду, за исключением полюсов, соответствующих точкам, в которых - k ' - iK совпадает с нулем S * ( k ) в I ₊ (как известно [4], функция S_l ( k ) является голоморфной в I ₊ ). Таким образом, S * ( k ) является мероморфной функцией с полюсами в I - .

Из (1) и (8) получается обобщение (4) на комплексные значения k :

S * ( k ) Si ( k ) = 1.                           (9)

Соотношения (1), (8) и (9) подразумевают существование некоторых свойств симметрии в распределении полюсов и нулей S_l ( k ) . Пусть k_n — полюс S_l ( k ) в четвертом квадранте. Тогда, согласно (1), - k n — также полюс, а согласно (8) и (9), - k n и k n — нули S * ( k ): зеркальное изображение полюса относительно мнимой оси также представляет полюс, в то время как зеркальное изображение относительно вещественной оси или начала координат дает нули.

Наконец, приведем условие унитарности для амплитуды рассеянной парциальной волны, следующее из (2) [4, с. 141]:

Im f_t ( k ) = sin ² 5 * =| f * ( k )².          (10)

Последнее условие является следствием унитарности S-матрицы (4).

Дисперсионные соотношения для парциальных амплитуд рассеяния

Для рассматриваемого включения можно выписать дисперсионные соотношения для парциальных амплитуд рассеяния [4].

Справедливы следующие дисперсионные соотношения [4, с. 73, 85]:

S a* ( k ) = S * (0) + -P J S a*⁽ kk ') S a* ⁽⁰⁾ d k ', Im k = 0. ni -J k ' ( k' - k )

Здесь S a* ( k ) = e ² ika S * ( k ). Учитывая, что S * (0) = 1

(см. (6) и последующий комментарий), имеем

S_a ,( k ) = 1 + ^kP J S a* ⁽ k ) S a* ⁽⁰⁾ d k ', Im k = 0. a*            ni -J    k ' ( k '- k )

Отсюда получаем

Re [ e ² ika S * ( k ) ]= 1 +

Im k = 0 .

k_p ^J Im [ S„ ( k ') - S a* (0) ] dk, n -J       k ' ( k '- k )

Кроме того, имеет место дисперсионное соотношение, представляющее собой аналитическое продолжение с действительной оси Im k = 0 на верхнюю полуплоскость I+ Im k > 0:

S a* ( k ) = 1 + k^ ^J S a * ( k’.) S a* ^⁰⁾ d k ', Im k >  0. (11) 2 ni -J    k ' ( k' - k )

Дисперсионные соотношения для амплитуды рассеяния

Амплитуда рассеяния f ( k , θ ) для сферически симметричного включения определяется из (1) и является функцией двух переменных — волнового числа k и угла азимута θ .

Вначале приведем тот факт [4, с. 141], что условие симметрии (3), выражающее вещественность взаимодействия, приводит к аналогичному соотношению для амплитуды рассеяния:

f ( - k,9 ) = f ( k,9 ), Im k = 0.

Дисперсионные соотношения будем рассматривать для переменной k . Пусть

2 ika sin θ f a ( k ,9 ) = e     ² f ( k ,9 ).

Тогда имеет место следующее дисперсионное соотношение для амплитуды рассеяния сферического включения радиусом a при заданном угле рассеяния [4, с. 146]:

θ

2 ika sin

Re e    ² f ( k,9 )

θ

2ik'asin

Im e     ² f ( k ',9 )

² J

= f (0,9 ) +--- P j

π ₀

k ' ( k ' ² - k ² )

d k ',

Im k = 0.

Из последнего соотношения легко получается дисперсионное соотношение для амплитуды рассеяния вперед

^Re [ f ( k ,0) ] = f (0,0) + 2kL ^p J Imm^['( k ’^ df, П 0 k ( k    k )

которое не зависит от радиуса рассеивателя. Таким образом, дисперсионное соотношение для 9 = 0 имеет более фундаментальный характер.

Учитывая оптическую теорему

k

Im [f(k ',0)] = — ^(k), 4π где σ(k) — полное сечение рассеяния, последнее соотношение перепишется в виде

Re Г f ( k , 0)1 = f (0,0) + - k^ P J ^( k ^ d k '.

^[J ’    ^^{] J} ’     ’ 2 n ² j k '2 - k²

Величину - f (0,0) обычно называют длиной рассеяния. В последнем соотношении уже можно опираться на измеряемые на опыте величины.

Работа была выполнена при поддержке Президиума Российской академии наук: программа фундаментальных исследований Президиума РАН № 21 "Основы фундаментальных исследований нанотехнологий и наноматериалов".