Свойства прогнозов в моделях авторегрессии четвертого порядка

С использованием данного принципа часто строятся модели авторегрессии. В ряде случаев эти модели построены на фрактальной теории. Теория введения моделей авторегрессии нашла широкое применение в трудах американских аналитиков, таких как Альмон, Браун, Хольт и др., после доказанных теорем Гауса (стационарность авторегрессионных процессов и предпосылки МЧР).

При этом широко развита методология подбора весовых коэффициентов авторегрессии, которая чаще всего упирается в предпосылки метода наименьших квадратов (МНК) и метода максимального правдоподобия (ММП), т.е. наличия у авторегрессионного процесса белого, или так называемого гаусов-ского шума. Рядом аналитиков предложены и другие способы подбора параметров, например: наивный – «на глаз» (модель Брауна), или аналитический с использованием числовых (МЧР Городова [3]).

Теория фракталов предполагает процесс полного самоподобия как отдельно взятых частей, так и организма в целом каждой из своих частей. При этом здесь широко используется понятие «золотого сечения» или понятие самоподобия мира через золотую пропорцию. В частности, аналитик Элиот еще в 1961 году предположил, что для прогнозирования ряда экономических процессов можно использовать золотую пропорцию и методы Фибоначчи. В дальнейшем данная теория была развита для прогнозирования индексов на биржах и получила название в честь основателя «Волны Элиота».

На самом деле вышеозначенные теории очень близки по своему содержанию. Так, например, в работах [4–5] доказана взаимосвязь прогнозов по авторегрессии с «золотым сечением», треугольником

Паскаля и числами Фибоначчи. Доказанные утверждения свидетельствуют о том, что прогноз автокорреляционных моделей при определенных условиях имеет распределение через «золотое сечение». Помимо этого, работы [4–5] определили отдельное направление исследований в области моделирования экономических процессов авторегрессионными методами с использованием теории числовых рядов. Одним из направлений данного исследования стало решение вопроса о распределении прогноза в моделях авторегрессии более третьего порядка, а также возможности расширения области применения авторегрессионных моделей с методом подбора параметров на основе числовых рядов не только при прогнозировании, но и при моделировании качественных характеристик исследуемых моделей.

Обозначенные выше проблемы предопределили цель данной работы : выделить и обобщить свойства прогнозов в модели авторегрессии 4-го порядка.

Описание метода

В работе [3] был предложен метод подбора параметров, основанный на использовании нормированных числовых рядов, в AR( p ) моделях. Сделан сравнительный анализ результатов моделирования временных рядов данного метода с другими известными.

Прогнозное значение y_t + 1 вычисляются следующим образом:

p - 1

yC^Xb i^m;p ’ x, - , + 1 .                             (1)

i = 0

где m – номер нормированного числового ряда из некоторой базы рядов, обладающих вышеуказанными свойствами; p - порядок модели, верхний индекс ( m ; p ) - указывает на номер ряда и на порядок модели.

Авторегрессия 4-го порядка

Распишем прогноз при использовании четырех предшествующих членов динамического ряда

У , + 1 = b 0 x t ⁺ b l x t - 1 ^{+ b} 2 x t - 2 ⁺ b 3 x t - 3 .

w

Предположение 1 . Пусть X b i — нормированный знакоположительный степенной ряд, где i = 0

w

0 < bi < 1, т.е. Xb = b0 + b02 + b03 -• i=0

Используя предложение (1), получим у,+1 = b 0 xt + b 02 xt-1

^{+ b} 0 x t - 2

+ ^b 04 x t - 3 .

Прогноз на второе значение будет

У, + 2 = ^b 0 у , + 1 ^{+ b} О x t ^{+ b} 0 x t - 1 ^{+ b} О x t - 2 = b l x t ^{+ b} О x t - 1 ^{+ b} 0 x t - 2 ⁺ b ⁵ x t - 3 ^{+ b} 02 x t ⁺ b ³ x t - 1 ^{+ b} 0 x t - 2 =

^{2 b} 0 xt + ^{2 b} 0 x t - 1 ^{+ 2} b 0 x t - 2 + ^b 0 x t - 3 .

Аналогично на последующие значения:

У , + 3 = ^b 0 У , + 2 ^{+ b} 02 У , + 1 ^{+ b} 03 x t ^{+ b} 0⁴ x t - 1 =

= ^{2 b} 0 xt

+ ^{2 b} 0 x t - 1

+ ^{2 b} 0 x , - 2

+ ^b 0 x t - 3

^{+ b} 03 x t ⁺ b ⁴ x t - 1 ^{+ b} 05 xt - 2

^{+ b} 0 x t - 3 + ^b 0 x t ^{+ b} 0 x t - 1 =

^{4 b} 0 x t + ^{4 b} 0 x t - 1 + ^3b 0 xt - 2 + ^{2 b} 0 x t - 3 ,

• У , + 4 = ^b 0 У , + 3 ^{+ b} 0² У , + 2 ^{+ b} 03 У , + 1 ^{+ b} 0^{4 x} t - 1 = ^{8 b} 0⁴ x t ^{+ 7 b} 05 ^x t - 1 ^{+ 6 b} 0⁶ x t - 2 ^{+ 4 b} 07 ^x t - 3 ,

• У , + 5 = ^b 0 У , + 4 ^{+ b} 02 У , + 3 ^{+ b} 03 У , + 2 ^{+ b} 04 У , + 1 = ^{15 b} 05 x t ^{+ 14 b} 06 x t - 1 ^{+ 12 b} 07 x t - 2 ^{+ 8 b} 08 x t - 3 ,

234   6  7   8   9

y_t + 6 = ^b 0 y_t + 5 ^{+ b} 0 y_t + 4 ^{+ b} 0 y_t + 3 ^{+ b} 0 y_t + 2 = ^{29 b} 0 ^x t ^{+ 27 b} 0 ^x t - 1 ^{+ 23 b} 0 x t - 2 ^{+ 15 b} 0 ^x t - 3 ,

У , + k = ^a 1 ( ^k ) x t ^{+ a} 2 ( ^k ) x t - 1 ^{+ a} 3 ( ^k ) x t - 2 ^{+ a} 4 ( ^k ) x t - 3

Некоторые свойства прогнозов

Восстановим ряд коэффициентов a ( к ) при x_t :

^a 1 ( 1 ) = b 0 , a ( 2 ) = 2 b 0² ,

• a , ( 3 ) = 4 b 03 , a ( 4 ) = 8 b О⁴ , a j ( 5 ) = 15 b o⁵ , a 1 ( б ) = 29 b 06 ,

a j ( k ) = F ₄ ( k + 1 ) b o k , где F 4 ( k + 1 ) - ряд чисел Квадробоначчи.

Определение 1. Ряд Квадробоначчи – это последовательность чисел, заданная рекурсией F 4 ( k + 1 ) = F 4 ( k ) + F , ( k - 1 ) + F ₄ ( k - 2 ) + F 4 ( k - 3 ) , где F ₄ ( 0 ) = 0 , F 4 ( 1 ) = 1 , F , ( 2 ) = 1 , F ₄ ( 3 ) = 2 ,

• F , ( 4 ) = 4 .

Докажем следующее утверждение.

w

Лемма 1. Пусть ^ bi - нормированный знакоположительный степенной ряд, где 0 < bi <1. Тогда a1 (k ) = F4 (k + 1)b0k, где F4 (k +1) - ряд чисел Квадробоначчи.

Доказательство. Воспользуемся математической индукцией. Тогда a 1 (k) = b 0 a1 (k -1)+b02 a1 (k - 2)+b 3a1 (k - 3)+b 0a1 (k - 4) =

= b 0 ( F . ( k )b 0 ^{- 1} ) + b 02 ( F 4 ( k - 1 ) b 0 - 2 ) + b 0 ( F 4 ( k - 2 ) b ; - 3 ) + b' ( F . ( k - 3 ) b 0 - 4 ) =

= b 0 ( F 4 ( k ) + F 4 ( k - 1 ) + F 4 ( k - 2 ) + F 4 ( k - 3 )) = F 4 ( k + 1 ) b k .

Лемма доказана.

Перейдем к описанию ряда весовых коэффициентов a ₂ ( k ) при x_t - 1 :

a 2 (1) = b 0, a 2 (2) = 2 b 02, a 2 (3) = 4 b, a 2 (4) = 7 b 04, a 2 (5) = 14 b 05, a 2 (б) = 27 b 06, a 2 (k ) = F4'( k + 1)b 0k+1, где F4 (k +1) - модифицированный ряд чисел Квадробоначчи, причем F4 (k +1) = F4 (k)- F4 (k - 4).

w

Лемма 2. Пусть ^ b‘i - нормированный знакоположительный степенной ряд, где 0 <  b i <1 . Тогда i = 0

a 2 (k ) = F4'( k + 1)b 0k+1, где F4 (k +1) - модифицированный ряд чисел Квадробоначчи.

Доказательство. Пусть лемма верна, тогда a 2 (k) = b 0 a 2 (k -1)+b 02 a 2 (k - 2)+b 3a 2 (k - 3) + b 04 a 2 (k - 4) =

= b 0 [ F , ' ( k ) b k У b 0² [ F 4 ’ ( k - 1 ) b ‘ - ¹ ] + b 3 [ F 4 ( к - 2 ) b 0 ^{k - 2} ) + b 4 [ F 4 ( k - 3 b ^k

= b 0 " ( F 4 (к ) + F 4 (к - 1 ) + F 4 (к - 2 ) + F 4 (к - 3 ) 1 = F 4 (к + 1 ) b, k ^{+ 1} .

Лемма доказана.

Далее рассмотрим ряд весовых коэффициентов a ₃ ( к ) при xt _{- 2} :

a 3 (1) = b0, a 3 (2) = 2 b 02, a 3 (3) = 3b 03, a 3 (4) = 6 b О4, a 3 (5) = 12 b 05, a 3 (б) = 23 b 06, a 3 (k ) = F4 (k + 1)b ok+2, где     F4 (k +1)     - модифицированный ряд чисел Квадробоначчи, причем

F 4 „ ( k + 1 ) = F 4 ' ( k ) - F 4 ( k - 3 ) = F 4 ( k ) - F 4 ( k - 4 ) - F 4 ( k - 3 ) .

w

Лемма 3. Пусть ^bi - нормированный знакоположительный степенной ряд, где 0 < bi <1. Тогда i=0

a 3 (k ) = F4'( k + 1)b0k+2, где F4 (k +1) - модифицированный ряд чисел Квадробоначчи.

Доказательство. Пусть лемма верна, тогда a 3 (k) = b 0 a 3 (k -1) + b 02 a 3 (k - 2)+b 3a 3 (k - 3)+b4 a 3 (k - 4) =

• =    b 0 ( F 4 ' ( k ) b ; ^{+ l} 1+ b 0 ( F 4 " ( k - 1 ) b 0 1+ b 03 ( F ₄ ” ( k - 2 ) b ■• ) + b 0⁴ ( f"( k - 3 ) b 0 - ² 1=

• =    b 0 + 2 f F ₄’ ( k ) + F ₄' ( k - 1 ) + F ,” ( k - 2 ) + F 4 ” ( k - 3 ) 1= F 4 ” ( k + 1 ) b 0 + 2 .

Лемма доказана.

Последний ряд весовых коэффициентов a ₄ ( k ) при x t _{- 3} :

a 4 (1) = b 0, a 4 (2) = b02, a 4 (3) = 2 b 03, a 4 (4) = 4 b 04, a 4 (5) = 8 b 05, a 4 (6) = 15 b 06, a 4 (k ) = F4 (k )bk+3, где F4 (k) - ряд чисел Квадробоначчи.

w

Лемма 4. Пусть ^b‘i - нормированный знакоположительный степенной ряд, где 0 < bi <1. Тогда i=0

а 4 (k ) = F4 (k )bok+3, где F4 (k) - ряд чисел Квадробоначчи.

Доказательство. Воспользуемся математической индукцией. Тогда а 4 (k) = b 0 а 4 (k -1)+b 02 а 4 (k - 2)+Ъ3а 4 (k - 3) + b 04 а 4 (k - 4) =

К (1   1V k +2 V 7 2 / 77 /7 kAik +1 V 7 3 / 77 /7 k\l^k \ . 4^    (1 k\1^k -1^

= ^b 0 ⁽ F 4 ^{( k - 1 ) b} 0 ⁾⁺ b 0 ⁽ F 4 ⁽ k ^{- 2 ) b} 0 ⁾⁺ b 0 ⁽ F 4 ⁽ k ^{- 3 ) b} 0 ⁾⁺ b 0 ⁽ F 4 ⁽ к ^{- 4 ) b} 0 ) =

= b 0 k ⁺ 3 ( F 4 ( k - 1 ) + F 4 ( k - 2 ) + F 4 ( k - 3 ) + F 4 ( k - 4 )) = F 4 ( k ) b 0 k ⁺ 3 .

Лемма доказана.

Для дальнейшего выделения свойств прогнозов необходимо ввести функцию, аналогичную функции Бине. Используем рекурсию Квадробоначчи (опр. 1) и построим производящую функцию

F 4 ( x ) = F 4 ( 0 ) x ⁰ + F 4 ( 1 ) x ¹ + F 4 ( 2 ) x ² + F 4 ( 3 ) x ³ + £ ( F 4 ( k - 4 ) + F 4 ( k - 3 ) + F 4 ( k - 2 ) + F 4 ( k - 1 )) x ^k . (2) k = 4

Домножим каждую строчку на х в соответствующей степени и произведем суммирование:

• 1.    £f4(k - 4)xk = x4£F4(k -4)xk—4 = I» = k - 4| = x4£F4(n)x. k =4                        k=4

w                   ww

£ F ₄ ( k - 3 ) x ^k = x ³ £ F ₄ ( k - 3 ) x ^k - ³ = n = k - 3| = x ³ £ ( F ₄ ( n ) x ⁿ + 1 x ⁰ - 1 x ¹ ) = x ³ ( F ₄ ( x ) - 1 ).

k=4                          k=4

ww

£ f ₄ ( k - 2 ) x ^k = x ² £ f ₄ ( k - 2 ) x ^k - ² = n = k - 2| =

3 k=4

= x ²£( F ₄ ( n ) x n + 1 x ° - 1 x ¹ - 1 - x ) = x ²( F ₄ ( x ) - 1 - x ) n = 2

£ F ₄ ( k - 1 ) x ^k = x £ F ₄ ( k - 1 ) x ^{k - 1} = n = k -1| =

• 4 k=4

= x £ ( F ₄ ( n ) x n + 1 x ° + 2 x ² - 1 x ¹ - 1 - x - 2 x ² ) = x ² ( F ₄ ( x ) - 1 - x - 2 x ²) n = 1

Внесем полученные значения в производящую функцию (2), получим

F ₄ ( x ) = 1 + x + 2 x ² + 4 x ³ + x⁴ F ₄ ( x ) + x ³ ( F ₄ ( x ) - 1 ) + x ² ( F ₄ ( x ) - 1 - x ) + x ² ( F ₄ ( x ) - 1 - x - 2 x ² )

или

F ₄ ( x ) - x ⁴ F ₄ ( x ) - x ³ F ₄ ( x ) - x ² F ₄ ( x ) - xF ₄ ( x ) = 1 + x + 2 x ² + 4 x ³ - x ³ - x ² - x ³ - x - x ² - 3 x ³ .

Откуда

F 4 ⁽ x ^{) =}

1 — x — x — x — x

AB x - Ф1  x -ф2

Cx + D

+ „ 2 , ,    . „ , ax + bx + c

1       4

где 1 - x

— x — x — x — —( x — Ф 1 )( x — Ф 2 ) ( ax + bx + c

Следующим этапом необходимо решить уравнение 1 - x ⁴ - x ³ - x ² - x = 0 . К сожалению, решить данное уравнение пока не получилось (вычислительные системы также не дают решения, ссылаясь на громоздкость получаемых решений), но выделены основные этапы:

• 1.    По формулам Феррари найти решение одного из корней, которое будет действительно содержащим радикал четвертой степени. Затем полученное уравнение сокращается путем деления уравнения на данный корень.

• 2.    Решение уравнения 3-го порядка требует использования формулы Кардана, тем самым будут найден еще один вещественный корень.

• 3.    Последующие решения уравнения дадут два комплексных корня.

• 4.    Используя, полученные корни решаем уравнение относительно (3).

Выводы. Теория применения авторегрессионных моделей при анализе социально-экономических, технических и производственных процессов довольно обширна и многогранна, но в то же время имеет большое количество ограничений (таких как ограничения для использования МНК, МНП и др.). Помимо этого не до конца изучен весь спектр направлений использования данных методов и моделей, а также возможные области применения и ограничения целесообразности этого применения. Так, например, в работах [3–5] рассмотрен метод подбора параметров в моделях авторегрессии на основе числовых рядов, который отчасти решает проблему ограничения классических методов, также введены зависимости авторегрессионных процессов и классических понятий математики, таких как "золотое сечение", "треугольник Паскаля", что ранее было не так очевидно.

Используя методологию данного метода, были оценены более детально указанные выше понятия, а также основы теории авторегрессионных процессов.

Согласно результатам, полученным в данной работе, можно утверждать, что был выявлен спектр свойств модели авторегрессии с методом подбора параметров на основе числовых рядов, позволяющий расширить область применения при анализе процессов.