Теорема Катетова о кубе и полунормальные функторы

Классическая теорема М. Катетова утверждает, что если для компакта X пространство X ³ наследственно нормально, то X метризуем. В. В. Федорчук [6] доказал обобщение этой теоремы для произвольного нормального функтора* F , действующего в категории Comp компактов и непрерывных отображений: если степень F не меньше 3 и F ₃( X) наследственно нормально, то X метризуемо. Как заметил Т. Ф. Жураев, требование наследственной нормальности F ₃( X) в теореме Федорчука можно ослабить до требования наследственной нормальности F ₃( X) \ X (в теореме Катетова для метризуемости X достаточно наследственной нормальности X ³ \ A ). Задача распространения теоремы Федорчука на более широкие классы ковариантных функторов F : Comp ^ Comp приводит к необходимости рассмотрения степенного спектра sp ( F ) функтора F , который определяется как множество степеней точек пространств вида F ( X) [4]. В этом направлении Т. Ф. Жураевым [2] получен следующий частный результат для функтора суперрасширения X : если X ₄( X) \ X наследственно нормально, то X метризуемо. Замена индекса 3 на 4 в теореме Жураева не случайна: дело в том, что 4 есть третий по счету элемент степенного спектра sp ( X ) = {1, 3, 4, ...}.

В настоящей работе показано, что если F -полунормальный функтор, удовлетворяющий некоторому комбинаторному условию (*), и sp(F) = {1, m, n, .„}, то наследственная нормальность Fn(X) \ Xвлечет метризуемостьX. Заметим, что для любого полунормального функтора F метризуемость X всегда следует из совершенной нормальности F (X). В то же время в работе построен пример функтора F, sp(F) = {1, 2, 3}, удовлетворяющего всем условиям нормальности, кроме сохранения прообразов, для которого в предположении принципа Йенсена ♦ существует неметризуемый компакт X такой, что F3(X) \ X совершенно нормально. Упомянутый компакт также обладает следующим свойством: для любого полунормального сохраняющего вес функ тора Fи любого n g sp(F) разность Fn(X) \ Fn-j(X) совершенно нормальна и Fn(X) наследственно сепарабельно (теорема 3). Этот результат является новым даже для функторов возведения в степень n (теорема 2(^)): существует неметризуе-мый совершенно нормальный компакт X такой, что для любого n X n наследственно сепарабельно и Xn \ An совершенно нормально (здесь An -обобщенная диагональ, X n - множество точек, имеющих хотя бы две совпадающие координаты). Более того, любое замкнутое подмножество F с Xn, в котором A нигде не плотно, имеет тип G8 в Xn. n

Отметим, что Грюнхаге [11] в предположении CH построил пример неметризуемого компакта Y, для которого Y ² наследственно сепарабельно, Y ² \ A совершенно нормально и Y ² наследственно нормально. В работе показано, что компакт X из теоремы 2 имеет не наследственно нормальный квадрат. Таким образом, можно утверждать, что наследственная сепарабельность X ² и совершенная нормальность X ²\ A «наивно» не влекут наследственную нормальность X ².

Напомним некоторые определения, касающиеся ковариантных функторов в категории Comp. Функтор F называется мономорфным , если для любого вложения i : Y ^ X отображение F ( i ): F ( Y ) ^ F ( X) также является вложением. Для мономорфного функтора F и замкнутого подмножества Y с X пространство F ( Y ) естественно отождествляется с подпространством F ( i )( F ( Y )) пространства F ( X).

Мономорфный функтор F сохраняет пересечения , если для любого компакта X и любой системы {Y_a : a g A} замкнутых подмножеств X име-ет место равенство

F (D Y : a g A }) = П { F ( Y a ) : a g A }.

Если F - мономорфный функтор, то для любой точки a g F ( x ) носитель supp(a ) определен следующим образом:

supp ( a ) = A{ Y с X : a G F ( Y )}.

Для любого натурального n положим

F n ( X) = { a G F ( X):\supp ( a ) |< n }.

Если F - мономорфный сохраняющий пересечения функтор, то подпространство F n ( X ) замкнуто в F ( X ) для любого X и любого n. Более того, соответствие X ^ F ( X) однозначно определяет подфунктор F n функтора F (см. [10, предложение 1.5]).

Функтор F называется непрерывным , если он перестановочен с операцией перехода к пределу обратного спектра. Непрерывный мономорфный сохраняющий пересечения функтор называется полунормальным , если он сохраняет точку и пустое множество [10]. Если F - полунормальный функтор, то для любого натурального n функтор F n также является полунормальным. При этом F 1 ( X) = X и мы можем считать X подпространством F ( X). Если F - полунормальный функтор и f: X ^ Y, то для любого a G F ( X) f ( supp(a )) э D supp ( F ( f )( a )) (см. [10]).

Функтор F сохраняет прообразы , если для любого отображения f: X ^ Y и любого A с Y

( F ( f ))^-1 F ( A ) = F(f ^— A ).

Функтор F называется эпиморфным , если он сохраняет эпиморфизмы. Функтор F сохраняет вес , если для любого бесконечного X w ( X) = w ( F ( X )). Полунормальный эпиморфный функтор F , сохраняющий вес и прообразы, называется нормальным [7], [8].

Следующая ниже конструкция отображения un предложена в [1]. В последующих формулах через n обозначается не только натуральное число, но и дискретное пространство, состоящее из n точек: n = {0, „., n-1}. Отображение un: X х F(n) ^ F(X) определяется равенством un (x, $) = F(x)($), в котором каждая точка x = (x 1, .., xn) gXn отождествляется с отображением x: n ^ {x 1, „., xn} с X. Для любого непрерывного функтора F и любого компакта X отображение un непрерывно [1]. Как показано в [10], для полунормального функтора F Imun = Fn(X). Следуя [10], для каждого n > 2 введем обозначения:

F nn ( X ) = F n ( X ) \ F „_ 1 ( X ), П n ( X ) = u n ^-1( F nn ( X )).

Степенным спектром F называется [4] следующее множество:

sp ( F) = { k : k g N, F_kk ( k ) # 0 }.

Очевидно, что степенной спектр любого по-лунормального функтора содержит 1. В [4] показано, что для любого подмножества K с N (1 g K ) существует функтор exp^K , удовлетворяющий всем условиям нормальности, кроме сохранения прообразов, для которого sp ( exp^K ) = K .

Пусть F - полунормальный функтор и sp ( F) = = {1, m , n , .} (элементы sp ( F ) записаны в порядке возрастания). Определим отображение ф_m n :

n ^ m следующим образом: ф ^ (i ) = i при i < m , Ф n _m(i ) = m - 1 при i > m . Будем говорить, что F удовлетворяет условию (*), если

^F(ф nm ) ( F nn (n )) П ^F mm m ) ^ ⁰

Заметим, что условие (*) следует из свойства финитно строгой эпиморфности функтора F , которое рассматривалось в [4] и [5]. Таким образом, условию (*) удовлетворяют все конечные композиции рассмотренных в [5] функторов X , P, exp, N k ( k >  2) и упомянутый выше функтор exp^K .

Пусть X - компакт, n >  2 и А - подмножество Xⁿ , состоящее из точек, у которых хотя бы две координаты совпадают (А _n - обобщенная диагональ Xⁿ ).

Предложение 1. Если А _n является G § -множес-твом в Xⁿ, то X метризуем.

Доказательство. Пусть x ₁, ., x_{n -1} - попарно различные точки в X и пусть U - окрестность x n _-1, замыкание которой [ U ] не содержит x 1 , ., x_{n -2}. Тогда имеет место равенство " ({ x . ; . ; x n j^ U ]²) n ^А n ={ x 1 }х.^х{ x nи ] .

Следовательно, диагональ А [ U ] является G § -множеством в [ U ]² и, значит, [ U ] метризуемо.

Из локальной метризуемости X следует его метризуемость.

Теорема 1. Пусть F - полунормальный функтор, удовлетворяющий условию (*), и sp ( F ) = = {1, m , n , .} . Если для компакта X пространство F n ( X)\X наследственно нормально, то X метризуем.

Доказательство. Рассмотрим вначале случай, когда в X имеются по крайней мере две неизолированные точки. Выберем точку § G Fnn(n) так, что F(фmn)(§) = п g F m(m) (такая точка существует в силу условия (*))™Пусть x 1, ., xn - набор различных точек из X, где x1 не является изолированной точкой, и пусть U и V - окрестности x1 и x соответственно такие, что x , ., x ^ U и V и [ U ] n [ V ] = 0. Рассмотрим в Xn множество T = [U]х{x2}х.х{x -1}x[V]n-m+1 и положим f = Un \T х {§"T х {S} = T ^ Fn (X).

Обозначим через R разбиение, которое порождает на T отображение f: R = { f ^-1( $ ): $ g g F n ( X)}. Покажем, что каждый элемент R лежит в некотором слое { z}x{x ₂}х.х{ x m _-1}х[ V ] n-m ⁺¹ = T z произведения T ( z g [ U ]) и на всех слоях разбиение R одинаково.

Пусть z ( z 1 , ., z n ) G T. Покажем, что

^{ z 1 , ., z m -1 ^{} C} suppV ^{( z )) C {} z 1 , ., z n ^}.      ⁽¹⁾

В самом деле, по определению отображения f, f (z) = F(z)(S) (напомним, что под z в правой части равенства мы понимаем отображение z: n ^ {z 1, ., zn} с Z). Если z взаимно однозначно (то есть все координаты точки z различны), то supp(f (z)) = {z 1, ., zn}, так как supp(§) = n. Если же среди координат z имеются совпадающие, то рассмотрим отображение q: {z 1, ., zn} • {z1, .., zm}, определяемое следующим образом: q(z.) = z. при г < m, q(z.) = zm при i > m. Очевидно, что композиция q ° z гомеоморфна отображению ф m. Следовательно,

Wp ⁽ F ⁽ q ° z)^{(5 ))} |=| supp ⁽ F ' Ф п" ⁾⁽ 3 )) |= m.

Значит, supp(F(q ° z)(5)) = {z p ..., zm}, откуда следует, что supp(F(Z)(5)) D {zi, ., zm.}

Включение (1) доказано.

Пусть z ' = { z ' _p ., z ' _n }, z = 1, 2 - две точки из различных слоев T (то есть z 11 Ф z ²₁). Тогда в силу включения (1) f ' z ¹) Ф fz ²). Таким образом, элементы разбиения R не могут пересекать два различных слоя T_z одновременно.

Покажем теперь, что если f'z 1, z 12, ., z1 n) = fz 1, z22, ., z2n), z 1 G [U], то f'z' 1, z 12, ., z1 „) = f'z' 1, z22, ., z2„)

для любого z' ₁ g [ U ]. Введем обозначения:

a k = ( z 1 , z k 2 , ., z k ) ), b k = ( z ' 1 , z k 2 , ., z k_n ),

A k = { z ₁, z k ₂, ., z kn }, B k = { z' ₁, z k ₂, ., z kn }, k = 1, 2.

Пусть отображения q k : A k • B^k определяются по формуле: q k ( z , ) = q , ( z ^), q k ( z k, ) = z k , , k = 1, 2. Тогда b^k = q k ° a^k , k = 1, 2 и q ₁| A 1 _{n A} 2 = q ₂| A 1 _{n A} 2 . Имеем F(a ¹)( 5 ) = F(a²)(5 ) g F ( A ¹) n F ( A ²) = F ( A ¹ n A ²).

Следовательно,

F ( b ¹)( 5 ) = F ( q ^ n A ₂)( F(a №)) =

= F ( q 2 A _n a 2 ) ( F(a ²)( 5 )) = F ( b²)( 5 ), что и требовалось доказать.

Итак, разбиение R порождает на всех слоях T_z произведения T одинаковые разбиения R' . Слои T_z гомеоморфны [V ] ^{n-m +1}, следовательно, фактор-пространство T/R = fJ) c F ( X ) гомеоморфно произведению П = [ U ] x ([ V ] ^{n-m +1}/ R' ). В силу включения (1) П = fJ) c F n ( X )\ X , следовательно, П наследственно нормально. Наследственная нормальность П по лемме Катетова (см. [6]) влечет совершенную нормальность [ V ] ^{n-m +1}/ R' (по построению [ U ] бесконечно).

Возьмем теперь произвольный слой Tz (он го-меоморфен [V]n-m+1) и рассмотрим отображение g = flTz :[V]n-m+1 ^ [V]n-m+1 /R'c Fn(X).

Пусть A _{n-m +1} - обобщенная диагональ [ V ] ^{n-m +1} .

Имеем g-1(g(An—m+1)) = An—m+1, поскольку при x G An-m+11 SUpp(g(x))1 = m, а приx ^ An-m+^s^F-p(g(x))1 = n, (см. доказательство включения (1)).

Следовательно, A _{n-m +1} - G Значит, по предложению

-множество в [ V ] [ V ] метризуемо.

n-m +1

Итак, показано, что любая точка x g X имеет

метризуемую окрестность. Следовательно, компакт X метризуем.

Остается рассмотреть случай, когда X имеет единственную неизолированную точку. Предположим, что X неметризуемо. Тогда X является александровской компактификацией несчетного дискретного пространства: X = { ^ } и A . Разложим A на три несчетных непересекающихся подмножества: A = B и C и D. Рассмотрим в X n \ A _n подмножества

^F 1 =^{( x 1 , ., x n ^): x 1 ^G B , x 2 = t , x 3 = x 3⁰, ., ^x n = ^X n ^0},

F ₂ =^{( x 1 , ., x n ^): x 1 = t , x 2 ^G C , x 3 = x 3⁰, ., x n = x n °^}.

Здесьx30, ., x®- фиксированные несовпадающие точки из D. Очевидно, что F1; F2 замкнуты в X n\An и не пересекаются. Нетрудно также показать, что F1 и F2 не имеют в X n непересекающих-ся окрестностей. Положим h = ^nlv x{ 5}: X x {5} = Xn • Fn (X).

Тогда h ^-1( h ( A _n )) = A _n . Отображение hl_X n \_A замкнуто, и h ( F ₁) n h ( F ₂) = 0 . Поскольку h ( X n \ A _n ) c F n ( X)\X и F n ( X)\X наследственно нормально, множества h ( F ₁) и h ( F ₂) имеют в h ( X n \ A _n ) непере-секающиеся окрестности, прообразы которых будут непересекающимися окрестностями F ₁ и F ₂ в X ⁿ . Противоречие.

Предложение 2. Пусть F - полунормальный функтор и sp ( F ) = {1 , m, .„ } . Если для компакта X пространство F_m ( X ) совершенно нормально, то X метризуем.

Доказательство. Пусть 5 - некоторая точка из Fmm(m). Положим f = ^mlXmx{5}: X" x {5} = X” • Fm(X).

Тогда f ⁴( f ' A _m )) = A _m . Из совершенной нормальности F_m ( X) следует, что A _m - G₅ -множество в X ^m . Поэтому, согласно предложению 1, X мет-ризуем.

Теорема 2. (♦) Существует неметризуемый совершенно нормальный компакт X такой, что для любого n ∈ N

• 1)    Xⁿ наследственно сепарабельно;

• 2)    Xⁿ \ A _n совершенно нормально;

• 3)    если F - замкнутое подмножество Xⁿ и [ F \ A _n ] = F , то F - G₅ -множество в Xⁿ .

Доказательство. Покажем, что компакт X , построеный в работе [3] в результате топологи-зации спектра множеств S = { X_a , л^a_p : a , в g to ₁}, ассоциированного с деревом Ароншайна, является искомым. Приведем необходимые элементы построения X .

В [3] использовалась следующая формулировка принципа Йенсена. Пусть R - некоторое множество мощности c , a - порядковое число. Обозначим через ^aR множество отображений из а в R . Любую последовательность вида

Р I , = ( ^s e I , ^{: в}< У >-

Принцип Йенсена ♦ утверждает, что для каждого а < го 1 можно выбрать ( R , а ^последовательность д_а так, что для любой ( R , го ^-последовательности x множество { а : х|_а = д_а} пересекается с любым замкнутым несчетным подмножеством F с го ₁. При этом последовательность Г = ( д_а : а < го ₁ ) называется универсальной гиперпоследовательностью. В дальнейшем мы будем предполагать, что универсальная гиперпоследовательность Г фиксирована.

Рассмотрим спектр

Q = { “R , q% : а , в < го 1 }, проекции которого определены по формуле: q “в ( s ) = s| e . В [3] для каждого n е N фиксированы вложения

{f n“ : “ ^ го 1 }: S ^ Q спектров S" = { X" , ( к “) " : а , в е го . } в Q , так что f j X " ) ) n f mj X m ) )“= 0 при m Ф n , а е го ₁. Тем самым точки каждого пространства X " _а отождествляются с точками “ R . Это позволяет говорить, что элемент g универсальной гиперпоследовательности Г лежит в X " , , если g _а с f ( X " _а ).

Согласно [3], подмножество C с X " находится в X " в общем положении, если для любых двух точек x = ( x ₁, .., x n ) е C и y = ( y ₁, _, y n ) е C равенство x. = y j выполняется тогда и только тогда, когда x = y и i = j (все координаты всех точек различны). Описанный в [10] процесс топлогизации спектра S дает спектр из метризуемых компактов с вполне замкнутыми проекциями, предел которого X = lim S является неметризуемым совершенно нормальным компактом и все конечные степени X " наследственно сепарабельны. При этом, если C с X " , к " ( C ) э д_а (к " _а - предельная проекция спектра S ⁿ ) и g лежит в X ⁿ в общем положении, то для любой предельной точки x множества g имеет место включение ( к "“ )^-1 x с [ C ].

Покажем, что компакт X удовлетворяет условию 3 нашей теоремы для любого n е N. При n = 1 это очевидно в силу совершенной нормальности X . Предположим, что условие 3 выполняется для всех k <  n , и пусть F - замкнутое подмножество X " , [ F \ А ] = F.

Подмножество X n, состоящее из точек, некоторая координата которых фиксирована, будем называть слоем X". Положим: A = {x е F: для любой окрестности Ox множество Ox n F не содержится в конечном объединении слоев X "}. Выберем в A счетное всюду плотное подмножество B = {xn: n е N}, и пусть {Ox" k е N} - счетная база окрестностей точек xn. По индукции, путем последовательного перебора окрестностей Ox kn, n, k е N легко построить счетное подмножество C = {ym: m е N} с F\Аn, которое лежит в X" в общем положении и пересекается с каждой окрестностью Ox kn, n, k е N. Очевидно, что [C] э [A]. Существует 0 < го1 такое, что множество C “ = к" C лежит в X" в общем положении, C = g“ и отображение к"а взаимно однозначно в точ0 ках 0C (см. [3]). По отм0еченному выше свойству спектра S для любой предельной точки x множества C имеем (к" ) 1 x с [C]. Следовательно, [C ] = (к") Т1 ^([C ]).   “°

Назовем слой T с X " F- слоем, если [ F \ T ] Ф F. Если T - F -слой, положим U_T = X " \[ F \ T ]. Поскольку F сепарабельно, F -слоев в X " не более, чем счетное множество: { T_. : . е N }. Положим V . = U T n F , F = [ V .]. Очевидно, F с T = X " -¹. Поскол1 . ку А _n нигде не плотно в F , а V открыто в F ,

F = [ V ] = [ V \а " ] = [ F \А " ].

Следовательно, по предположению индукции множества F . имеют тип G₈ в слоях T, , а значит, и в X " . Таким образом, для каждого . существует а . <  го ₁ такое, что (к " _а )^-1 к " _а ( F . ) = F . .

Докажем теперь, ч ^. то ^.

[ C ] U F = F .              (2)

Пусть x е F и x ^ A , то есть существует окрестность Ox в X ^"  такая, что Ox n F лежит в конечном объединении слоев X". Пусть T ¹, ..., T^k - минимальный набор слоев X ^" , объединение которых содержит Ox n F . Тогда каждый слой T ^j является F -слоем, то есть T^J = T. . Покажем, что x е и F . . Предположим против ное. Пусть O'x = Ox 1 U ^JF. j . Имеем 0 + O'x n F с и T , и, следовательно, для некоторого T

O'x n F £ [( O'x n F )\ TJ ].

Но тогда ( O'x n F ) n F. + 0 - противоречие. Итак, равенство (2) доказан о.

Пусть теперь в >  “ , ■, . = 0, 1, 2, . В силу (2) и выбора ординалов а ₀, а ₁, . имеем

(к "в ) -¹ к "в ( F) = F.

Следовательно, F имеет тип G₅ в X " . Условие 3 доказано.

Из условия 3 сразу следует, что для любого " всякое замкнутое подмножество в X " \ А" имеет тип G8. Покажем, что X"\ Аn нормально. Пусть A1, A2 с X " \А" - замкнутые непересекающиеся множества.ПоложимB. = [A.] n,. = 1,2. Поскольку [B.\Аn] = B. в силу условия 3 найдется а < го 1 такое, что (к"“)-1 к"“(B.) = B.. Множества к"аВ 1\ к"“В2 и к" B2\ к" B1 имеют в X " непересекающиеся окрестности U1 и U,. Положим V. = (к"а)-1 U.. Тогда AJ с V.. В самом деле, если x е A1 и к"а (x) ^ U1? то к" (x) е к" B2 и, следовательно, x е B2, что невоз- можно. Итак, V1, V2 – непересекающиеся окрестности A1, A2.

Предложение 3. Компакт X из теоремы (2) имеет не наследственно нормальный квадрат.

Доказательство. Пусть F ⊂ X – неметризуемое замкнутое подмножество с пустой внутренностью (такое F существует – см. [3]). Положим A ₁ = Δ\ F ², A ₂ = F ² \Δ. В силу выбора F Δ ⊂ [ A ₁]. Покажем, что A ₁ и A ₂ не имеют в X ² непересека-ющихся окрестностей. Предположим, что существуют открытые в X ² множества V_i ⊃ A_i такие, что V ₁ ∩ V ₂ = ∅ . Поскольку X не содержит изолированных точек (см. [3]), диагональ Δ нигде не плотна в X ². Следовательно, [[ V ₁]\Δ] = [ V ₁]. Так как F ² имеет тип G_δ в X ² и выполнено условие 3 теоремы (2), найдется индекс α <  ω ₁ такой, что [ V ₁] = ( к 2 _{α )} –1 к ² α [ V 1 ] и ( к 2 _{α )} –1 к ² _α ( F ²) = F ². По построению множества A ₁ диагональ пространства X ² _α лежит в к ² _α [ V ₁]. Поскольку F неметризуемо, в пересечении к ² α Δ ^∩ к ² _α ( F ²) найдется точка x , прообраз которой ( к ² _α )^–1 x нетривиален, и, значит, ( к ² _α )^–1 x ⊄ Δ. Пусть y ∈ ( к ² _α )^–1 x \Δ. Тогда y ∈ A ₂ и y ∈ [ V ₁] – противоречие.

Теорема 3. (♦) Существует неметризуемый совершенно нормальный компакт X такой, что для любого сохраняющего вес полунормального функтора F и для любого n ∈ sp ( F ) F_n ( X ) наследственно сепарабельно и F_n ( X )\ F_{n –1}( X ) совершенно нормально.

Доказательство. Пусть X – компакт из теоремы 2 и пусть n ∈ sp ( F ). Пространство ( X ⁿ \Δ _n ) ×

× F ( n ) совершенно нормально, поскольку F ( n ) метризуемо (см. [9]). Имеет место включение

Π _n ( X ) = ^к _n ^{– 1}( F_nn ( X )) ⊂ ( X ⁿ \Δ _n ) × F ( n ), значит, Π _n ( X ) также совершенно нормально. В силу замкнутости отображения к_n| _{Π n ( X )}, отсюда следует, что F_nn ( X ) также совершенно ⁿ нормально. Наследственная сепарабельность F_n ( X ) следует из наследственной сепарабельности X ⁿ × F ( n ), поскольку произведение наследственно сепарабельного пространства на пространство со счетной базой наследственно сепарабельно.

Пример. Для каждого компакта Y определим F ( Y ) как результат склейки пространств exp ₂ Y и λ ₃ Y по точкам компакта Y . Ясно, что конструкция F функториальна, то есть для любого непрерывного отображения f : Y → Z определено непрерывное отображение F ( f ): F ( Y ) → F ( Z ) по формуле: F ( f )( ξ ) = exp ₂ ( f )( ξ ) при ξ ∈ exp ₂ Y и F ( f )( ξ ) = λ ₃ ( f )( ξ ) при ξ ∈ λ ₃ Y . Нетрудо проверить, что функтор F удовлетворяет всем условиям нормальности, кроме сохранения прообразов, и sp ( F ) = {1, 2, 3} (функтор F естественно назвать букетом функторов exp ₂ и λ ₃). Пусть X – компакт из теоремы 2. Тогда, поскольку

F ( X )\ X = F ₃( X )\ X = ( exp ₂ X \ X ) ∪ _d ( λ ₃ X \ X ), по теореме 3 пространство F ₃( X )\ X совершенно нормально.

Таким образом, условие (*) в фомулировке теоремы 1 существенно.

ПРИМЕЧАНИЕ

* Все необходимые определения, касающиеся функторов, приведены ниже.