Теорема о дифференцировании и интегрировании трехмерных электрических и магнитных потенциалов, однородных по Эйлеру

Эта статья продолжает исследования электрических и магнитных полей, однородных по Эйлеру, применительно к целям оптики заряженных частиц, которые были начаты в публикациях [1– 14]. Целью статьи является уточнение классической теоремы о дифференцировании и интегрировании трехмерных гармонических функций (скалярных электрических и магнитных потенциалов), однородных по Эйлеру и обобщение ее на функции с особыми точками, в частности, расположенными в начале координат и в окрестности начала координат.

Электростатическими и магнитостатическими полями, однородными по Эйлеру, называются поля, напряженность или индукция которых является функцией, однородной по Эйлеру в смысле, который придается этому термину в общих курсах математического анализа [15, 16]. Электростатическое поле является однородным по Эйлеру, если напряженность электрического поля E (х, у, z) как функция пространственных координат удовлетворяет тождеству E (Лх, Лу, Лz) = Л-1E (х, у, z) в области, в которой происходит движение заряженных частиц, при всех Л > 0 (где число к является порядком однородности поля). Магнитостатическое поле является однородным по Эйлеру, если индукция магнитного поля B (х, у, z) как функция пространственных координат удовлетворяет тож- деству B (Лх, Лу, Az ) = Лк 1B (х, у, z) в области, в которой происходит движение заряженных частиц, при всех Л> 0 (где число к является порядком однородности поля). Как правило, из однородности по Эйлеру электрических и магнитных полей следует, что скалярный потенциал соответствующего электрического или магнитного поля является однородной по Эйлеру функцией порядка k . Этот вопрос исследуется в [3, 14], и там же указывается единственное исключение из этого правила — поля с нулевым порядком однородности, для которых скалярный потенциал, представляющий собой однородную по Эйлеру функцию нулевого порядка, может также содержать аддитивную логарифмическую добавку, имеющую, например, вид U0 ln (z + х2 + у2 + z2).

Полезным подспорьем при синтезе корпускулярно-оптических систем, использующих специфические свойства полей, однородных по Эйлеру, являются аналитические выражения для соответствующих потенциалов. Они позволяют с самого начала задавать искомую систему электродов или магнитных полюсов в параметризованном виде так, что на выходе получаются поля, заведомо удовлетворяющие требованию "быть однородными по Эйлеру с заданным порядком однородности". В [2, 3, 9, 10] приводятся примеры некоторых явных формул для частных случаев полей, однородных по Эйлеру.

Важным инструментом генерирования аналитических формул общего вида для потенциалов электрических и магнитных полей, однородных по Эйлеру, является теорема о дифференцировании однородных гармонических функций [17]. А именно, любая трехмерная однородная гармоническая функция обязательно является производной какой-либо подходящей трехмерной однородной гармонической функции более старшего порядка. Если начать с какой-либо общей формулы для фиксированного порядка однородности — например, универсальной формулы Донкина для трехмерных гармонических функций U 0 ( x , y , z ) нулевого порядка [17–22]

U 0 ( x , y , z ) = F

, y

2 V² -' ^ x + x л + y + z

z x + 4 x2 + y2 + z2 ,

(здесь F ( p , q ) — произвольная функция, удовлетворяющая двумерному уравнению Лапласа д ² F / 9p ² + д ² F / дq ² = 0), то с помощью многократного дифференцирования можно генерировать общие формулы для однородных гармонических функций U k ( x , y , z ) с любыми отрицательными целочисленными порядками однородности к <  0 . Теорема о дифференцировании однородных гармонических функций гарантирует, что никакие однородные поля при этом не будут пропущены, поскольку у любой однородной гармонической функции есть прототип, производной которого она является, а все однородные функции нулевого порядка нам известны. В сочетании же с формулой Томсона, называемой также преобразованием Кельвина [18, 23–27]

V ( x , y , z ) =

4 x ² + y ² + z z

x U

----x----

2      2      2

^ x ² + y ² + z

yz x2 + y2 + z2, x2 + y2 + z2

которая позволяет переходить от однородных гармонических функций U ( x, y, z ) порядка к к однородным гармоническим функциям V (x, y, z) порядка (-к -1) и обратно, можно получить исчерпывающее описание однородных гармонических функций также и с любым положительным целочисленным порядком однородности. Более подробно процесс генерирования алгебраически-дифференциальных формул общего вида для гар- монических однородных функций с целочисленными порядками однородности анализируется в [9, 17].

Данная работа посвящена исследованию теоремы о дифференцировании трехмерных однородных гармонических функций. Приводится новое доказательство этой теоремы при более слабых предположениях о регулярности (дифференцируемости, отсутствии особых точек, разложимости в ряд) исходной гармонической функции, чем в классической постановке теоремы. В частности, теорема становится применима к однородным по Эйлеру гармоническим скалярным потенциалам, содержащим изолированную особую точку в нуле, что является, вообще говоря, типичным для потенциалов электрических и магнитных полей, используемых на практике. Демонстрируется, что трехмерность однородных гармонических функций, о которых идет речь в теореме, является существенной (для двумерных однородных гармонических функций данная теорема, вообще говоря, не выполняется). Представляется целесообразным в будущем исследовать также обобщение теоремы на случай дробного интегродифференцирования [28–34], что в случае успеха позволит получить новые интегральные аналитические выражения для потенциалов электрических и магнитных полей с нецелочисленными порядками однородности.

ТЕОРЕМА О ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИИ И ИНТЕГРИРОВАНИИ ОДНОРОДНЫХ ГАРМОНИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ

Если U (x, y, z) — произвольная однородная гармоническая функция, то ее производные по координатам x, y, z или по любой их линейной комбинации с постоянными коэффициентами будут однородными гармоническими функциями на единицу меньшего порядка, в силу того что при дифференцировании уравнение Лапласа сохраняет свою форму, а производные однородных функций тоже являются однородными функциями [15, 16]. Однако справедливо и обратное утверждение [17]: для любой однородной гармонической функции U ( x, y, z ) существуют такие однородные гармонические функции V (x, y, z) на единицу большего порядка, что U ( x, y, z ) является производной от V (x, y, z) по заранее выбранной координате x, y, z или по заранее выбранному фиксированному наклонному направлению ax + в y + Yz (a2 + в2 + Y2 = 1). Это фундаментальное утвер- ждение, являющееся далеко не тривиальным, составляет предмет рассматриваемой здесь теоремы о дифференцировании и интегрировании однородных гармонических функций.

Вполне очевидно, что достаточно доказать его для одной выбранной координаты (например, x ). В силу того что после трехмерного поворота или циклической перестановки координат сохраняются как свойство однородности по Эйлеру, так и свойство быть решением уравнения Лапласа, всегда можно развернуть систему координат так, чтобы направление дифференцирования совпало с выбранной координатой x , воспользоваться доказанной теоремой, а потом вернуть систему координат к исходному положению.

Классическое доказательство

Стандартное доказательство рассматриваемой нами теоремы, отличающееся свойственным классической математике XIX века изяществом, дается в [17]. Следуя магистральной линии этого доказательства, рассмотрим интересующую нас проблему.

Пусть имеется функция U ( x , y , z ) , однородная по Эйлеру с порядком однородности m (где число m необязательно целое) и удовлетворяющая трехмерному уравнению Лапласа. Рассмотрим функцию

V ( ^x , У , ^z ) = J ₀ x U ( 5 , У , ^z ) d - + H ( y , ^z ) =

= V 0 ( x , y , z ) + H ( y , z ) .               (1)

Требуется доказать , что в формуле (1) всегда можно подобрать функцию H ( y , z ) так, чтобы функция V ( x , y , z ) была гармонической и однородной по Эйлеру с порядком однородности, равным ( m + 1 ) . Тогда функция U ( x , y , z ) будет производной по x от сконструированной однородной и гармонической функции V ( x , y , z ) , и требуемое утверждение будет доказано.

Первый член V 0 ( x , y , z ) в формуле (1) будет однородной функцией порядка ( m + 1 ) :

V 0 ( Ax , Ay , Az ) = f U ( £ , Ay , Az ) d ^ =

x

= J 0 U ( Af , Ay , Az ) d ( A^ ) =

x

= A m ^{+ 1} J 0 U ( ^ ,y , z ) d ^' = A m ^{+ 1} V 0 ( x , y , z ) .

Поэтому для однородности функции V ( x , y , z ) необходимо и достаточно, чтобы функция двух переменных H ( y , z ) также была однородной функцией порядка ( m + 1 ) . Кроме того, функция V ( x , y , z ) должна удовлетворять трехмерному уравнению Лапласа. Поскольку для функции V 0 ( x , y , z ) имеем тождество

V + r + Vz0 = Ux + f (Uyy + Uzz) d ^ =

= U x — J 0 X d ^ = U x ( 0, y , z ) , то для того, чтобы функция V была гармонической, функция H ( y , z ) должна удовлетворять уравнению Пуассона H_yy + H_zz = - U_x ( 0, y , z ) , где в правой части уравнения Пуассона стоит известная однородная функция от y , z порядка ( m - 1 ) . Остается проверить, что для этого уравнения среди всех возможных решений найдется однородное решение порядка ( m + 1 ) .

Сделаем замену H ( y , z ) = z m ^{+ 1} f ( y/z ) , U x ( 0, y , z ) = z m ^{- 1} g ( y/ z ) , где f и g — это подходящим образом выбранные функции одного переменного (здесь использована универсальная форма записи f ( x 1 , x 2,..., x n ) = x k h ( x 2 / x 1 , ^ , x n/ x 1 ) для однородных функций порядка k [15, 16]). Функция g ( т ) известна, поскольку известна функция U_x ( 0, y , z ) , а функцию f ( т ) надо определить (точнее, убедиться, что такая функция существует). После подстановки этих выражений в уравнение H_yy + H_zz =- U_x ( 0, y , z ) для неизвестной функции f получается обыкновенное дифференциальное уравнение

(1+ т 2) У"(т)-2 mTf '(т) +

+m (m + 1)f (т) + g (т ) = 0.           (2)

Из этого уравнения можно определить искомую функцию f , причем с изрядной степенью произвола. При желании решение для уравнения (2) можно выписать в явном виде [35–39]:

а) m ^ - 1:

^{f ( т} ) =

m + 1

() ^{m + 1}

cos [ ( m + 1 ) arctg ( т ) ]x

( х C1 к

+-- m +1

x c. к

б)

τ

+ J

m - 1

к sin [(m +1) arctg (s)] g (s) ds +

τ ₀

(V 1 + т ² )    sin [ ( m + 1 ) arctg ( t ) ]x

τ

-Г

m — 1

τ ₀

к cos [(m +1) arctg (s)] g (s) ds , m = —1:

( f (t ) = C1 к

τ

τ ₀

A

+ J arctg ( s ) g ( s ) d s +

τ

+ arctg ( ^T ) C 2 ^— J g ( S ) d S .

к

τ ₀

Теперь функция H ( y , z ) = z ^{m + 1} f ( y/z ) обеспечивает и однородность, и гармоничность для выражения (1). Тем самым для произвольно взятой гармонической и однородной функции U ( x , y , z ) существует гармоническая и однородная первообразная V ( x , y , z ) , удовлетворяющая условию U = d V d xx , которая определяется с точностью до двух произвольных констант.

Примечание . То, что у двумерного уравнения Пуассона с однородной правой частью всегда найдется однородное же решение, очевидным утверждением, вообще говоря, не является. Рассмотрим,

„          52 u д2 u , к ,кФ например, уравнение Пуассона —+ —г = 4r e ф, дx   дy где r =

, ф = arctg (y/x) (правая часть — однородная функция порядка k ). Естественно искать решение в виде u = v (r) e1 кф, где v (r) — пока неизвестная функция. При к ^ — 1 получаем v(r) = rk+2 / (к +1) + Cark + Cbr—к, и однородное решение u = rk+2e1 кф](к +1) получается при выборе Ca = Cb = 0. Но при к = —1 получается решение v(r) = rlnr/2 + Car + Cb/r, и тогда ни при каких Ca,Cb функция u(r,ф) = v(r)e1 кф не будет однородной. Это не означает, что при к = — 1 нет однородных решений (такими решениями будут функции u (r,ф) = r(Cae1 ф + Cbe— ф + 2iфe— ф)). Но это показывает, что задача не столь проста, как кажется с первого взгляда.

Усиленное доказательство

Приведенное выше доказательство является не совсем корректным, по крайней мере, применительно к электрическим и магнитным полям. Точка x = 0 может оказаться — и в случае используемых в оптике заряженных частиц электрических и магнитных полей легко оказывается — особой (сингулярной) точкой, в которой и интегрирование, и дифференцирование не осуществимы в полной мере и, в частности, не могут запросто меняться местами. Тем самым не исключен вариант, что в отношении однородных гармонических функций, которые обладают особыми точками при x = 0 , процедура дифференцирования перестанет быть тем универсальным инструментом, с помощью которого выполняется перебор всех имеющихся однородных гармонических функций нужного порядка. Если это так, то некоторые скалярные потенциалы однородных электрических и магнитных полей, которые, возможно, как раз и обеспечивают оптимальное функционирование электронно- или ионно-оптической системы, имеют шанс не попасть в поле зрения разработчика.

Из свойства однородности следует, что либо особая точка однородной функции совпадает с началом координат, либо вся прямая линия, проходящая через начало координат и рассматриваемую точку, целиком состоит из особых точек. Но тогда и само начало координат будет особой точкой для рассматриваемой функции (как минимум нерегулярной точкой, т. е. точкой, в окрестности которой функция неразложима в сходящийся степенной ряд). Кроме того, при отрицательных порядках однородности для однородной функции начало координат является сингулярной точкой, а при положительных нецелочисленных порядках однородности нерегулярной точкой, поскольку при X ^ 0 точка (Ax0, Ay0, Az0) стремится к началу координат, а функция ф(A) = U(Ax0,Ay0,Az0)~ ~ A. (В частности, при к < — 1 интегралы, использованные ранее при классическом доказательстве, расходятся, а при к < 2 перед дифференцированием под знаком интеграла необходимо аккуратно выделять сингулярную часть подынтегрального выражения). Поэтому неприятности с дифференцированием и интегрированием потенциалов однородных полей в окрестности нуля, вообще говоря, типичны. В частности, как показано в [18], единственные однородные гармонические функции, регулярные в начале координат, — это однородные гармонические полиномы, у которых порядок однородности является натуральным числом или нулем, причем имеется ровно 2m +1 линейно независимых однородных гармонических полиномов, соответствующих порядку однородности m = 0,1,2,™ В частности, из приведенного в [18] доказательства следует, что при m * 0,1,2,™ однородных гармонических функций, регулярных в начале координат, просто не существует. Однако семейство однородных гармонических функций, не удовлетворяющих требованию регулярности в начале координат, оказывается весьма обширным как при натуральных m , так и при любых вещественных значениях m * 0,1,2,™ [3, 4, 10, 12, 13].

К счастью, процедура дифференцирования однородных гармонических функций остается универсальным процессом и для однородных гармонических функций с сингулярными точками. Однако чтобы убедиться в этом, потребуется провести более аккуратные рассуждения, чем в предыдущем разделе.

Вместо выражения (1) используем подстановку

V (x, y, z) = Г U (£, y, z) d^ + H (y, z) = x0

= V ⁰ ( x , y , z ) + H ( y , z ) ,                          (3)

где x = x ₀ — фиксированная точка, в окрестности которой функция U будет достаточно гладкой, чтобы все последующие операции интегрирования и дифференцирования были корректными. Как и в предыдущем разделе, из требования выполнения уравнения Лапласа для функции V с учетом гармоничности функции U выполняется тождество

• V 0 + V 0 + V 0 = U + Г ( U_yy + U J d ^ = xx yy zz x            yy zz

x ₀

x

• = U x -J ^Uxx ^d ^ = U x ( ^x 0 , y , z ) , x ₀

так что для корректирующей добавки H получается уравнение

H yy + H z = - U ( x 0 , У , z ) .             (4)

Выполнение условия (4) является и необходимым, и достаточным для гармоничности функции (3). Однако теперь функции f U ( 5 , y , z ) d ^ , x ₀

H ( y , z ) и U_x ( x ₀, y , z ) уже не являются однородными по отдельности.

Чтобы функция V была однородной функцией порядка ( m + 1 ) , она должна (во всех тех точках, в которых может быть продифференцирована) удовлетворять дифференциальному соотношению Эйлера [15, 16]

xVx + УVy + zVz -(m +1) V = 0.

Это дифференциальное соотношение (выполняемое во всех точках области однородности функции) является и необходимым, и достаточным, чтобы функция V была однородной. Поэтому функция H должна удовлетворять условию

yHy + zHz -(m +1) H =

= - J x ( U + yU y + zU z - mU ) d ^ + J x ^U x d ^ + x xx

+ f Ud^ - xU = (^U) -[ Ud^ + x0 x0 x0

+ J U d ^ - xU = - x ₀ U ( x ₀, y , z )

(здесь использовано, что однородная функция U должна подчиняться соотношению Эйлера xUx + yUy + zUz - mU = 0). Выполнение условия yHy + zHz-(m + 1) H = - x0U (x0, y, z) (5) будет необходимым и достаточным, чтобы функция V была однородной с нужным порядком однородности.

Требуется исследовать совместность уравнений (4) и (5) и найти функцию H ( y , z ) , которая будет удовлетворять двум уравнениям сразу. Это можно сделать, например, следующим образом. (Другой способ анализа совместности уравнений (4) и (5) и поиска совместного решения, не столь изящный, но зато не требующий от функций U , H регулярности, т. е. разложимости в сходящийся степенной ряд, и не использующий комплексные переменные, рассматривается в следующем разделе).

Распространим действие функций U , H гладким образом на комплексные аргументы y , z . Это можно сделать, если U , H в некоторой окрестности рассматриваемой точки являются регулярными по переменным y , z , т. е. разлагаются в сходящийся степенной ряд. Действительно, если функция удовлетворяет уравнению Лапласа в окрестности некоторой точки пространства, то она будет регулярной во всех точках этой окрестности. Доказательство этого факта аналогично доказательству аналитичности функций комплексного переменного, удовлетворяющих условиям Коши— Римана [40, 41], и использует функцию Грина для шара [42–44] вместо интегральной формулы Коши. Представив функцию, удовлетворяющую трехмерному уравнению Лапласа внутри шара по формуле Грина, и разложив подынтегральное ядро в степенной ряд, сходящийся в любой точке внутри шара, получим явное представление рассматриваемого решения уравнения Лапласа в виде ряда.

Обозначим полученные комплекснозначные функции комплексных переменных y, z как H(y,z) и U(x0,y,z). При переходе от комплекс- ных переменных y и z к комплексным переменным p = y + iz и q = y - iz выполняются равенства H,_=Hp + Hq, _ H- = i.(Hp — H'), _ H”=Hpp + +2Hpq + H,, H= = -Hpp + 2H„ - H„ Тогда условие (4) превращается в 4Hpq = -Ux (x0, p, q), а условие (5) превращается в pHp + qHq --(m +1)H = -x0U(x0,p,q). Из условия 4Hpq = -Ux (xo, p, q) следует, что

^H ( p ^, q ) = ^- 4 JJ U x ( ^x 0 , p ‘ , q ‘ ) d p 'dq'+ f ( p ) ⁺ g ( q ) , где f ( p ) и g ( q ) — произвольные функции, а интеграл между точками не зависит от соединяющей их траектории в силу аналитичности функции U_x ( x 0 , p , q ) по переменным p , q (в смысле, который придается этому термину в теории аналитических функций комплексного переменного). Подстановка этого выражения в оставшееся условие дает уравнение

pf ‘( p) -(m + 1) J (p)+ qg ‘(q)-

• -(m + 1) g (q ) = л( p, q),                       (6)

^Л( p ^, q ) = p J U x ( ^x o , p ^, q ‘ ) ^d q ‘+

⁺ q J U x ( ^x o , p \ q ) ^d p ^,-

—

⁽ m 4 + 1 ) JJ U x ( ^x о ^, p ‘ , q ‘ ) d p ‘ ^d q ‘ ^{- x} о ^U ( ^x 0 , p ^, q ) . (7)

При произвольной функции Л ( p , q ) из уравнения (6) нельзя определить неизвестные функции f ( p ) и g ( q ) . Однако дифференцирование условия (7) по p и по q дает тождество

• ^д 2 ^л    pи q \, qr i \

  -----=— U „( x ₀, p , q ) +— U_a ( x _n, p , q ) -

• dpaq 4 xpv        V 4 xqV ’

(m - 1)^

• ^{- x} oU pq ( ^x o , p ^, q )^- 4   U x ( ^x o , p , q ) = ⁰,

• т. к. 4U_pq + U xx = 0 из-за гармоничности функции

U , а pU_Tn + qU_T„ + xU_TT = ( m - 1 ) U_T из-за того, что xp         xq        xx                 x

U_x ( x , y , - ) — функция, однородная по Эйлеру с показателем однородности ( m - 1 ) (как производная функции, однородной по Эйлеру с показателем однородности m [15, 16]). Поэтому

Л ( p , q ) = F ( p ) + G ( q ) , уравнение (6) будет уравнением с разделяющимися переменными, и из условий pf ‘ ( p ) - ( m + 1 ) f ( p ) = F ( p ) + C и qg ‘ ( q ) -- ( m + 1 ) g ( q ) = G ( q ) - C можно легко найти функции f ( p ) и g ( q ) . Тем самым уравнения (4), ( 5 ) оказываются совместными, а искомая функция H ( y , - ) действительно существует.

Для чистоты доказательства следует убедиться, что построенная нами конструкция при вещественных аргументах принимает вещественные значения. Если комплекснозначные функции H ( y , - ) и U ( x ₀, y , - ) удовлетворяют уравнениям (4), (5) в четырехмерном пространстве комплексных переменных y , z , то они же должны удовлетворять уравнениям (4), (5) и при чисто вещественных значениях y , z . В таком случае вещественные и мнимые части функций H ( y , - ) и U ( x ₀, y , - ) , вычисленные как функции вещественных переменных y , z , должны удовлетворять уравнениям (4), (5) по отдельности. Вещественная часть функции U ( x ₀, y , - ) совпадает с U ( x ₀, y , - ) (мнимая же тождественно равна нулю). Поэтому вещественная часть функции H ( y , - ) и есть искомое решение H ( y , - ) для системы уравнений (4), (5).

Следовательно, теорема сохраняет силу, если x = 0 не является регулярной точкой однородной функции U ( x , y , - ) , и никаких дополнительных исключительных случаев при этом не возникает. Легко понять, что функции f ( p ) и g ( q ) определяются с точностью до аддитивных добавок C f p m ^{+ 1} и C g q m ^{+ 1} и тем самым функция V ( x , y , - ) зависит всего лишь от двух свободных констант C_f , C_g (свободная константа C в итоговом выражении для функции H сокращается).

Конструктивное доказательство

Полезно исследовать, с какой степенью произвола определена однородная гармоничная функция V ( x , y , - ) , производной которой является заданная однородная гармоническая функция U ( x , y , z ) . Одновременно будет получено еще одно доказательство интересующей нас теоремы, не использующее предположения об отсутствии у функции U ( x , y , z ) особых точек в нуле, при котором для функции V ( x , y , z ) получается явная формула, а от функции U ( x , y , z ) не требуется разложимость в сходящийся ряд.

Пусть U ( x , y , z ) — однородная гармоническая функция порядка ( m - 1 ) , V ( x , y , z ) — однородная

гармоническая функция порядка m , и требуется так определить V , чтобы выполнялось равенство U -д V/dx . Поскольку функции U и V являются

однородными, их можно представить в виде

U ( x , y , z

) m - 1

F

(x

k

V У 2 + ^{z 2}

V ( x , У , z

) m

G

k

x

,

• + z

( z arctg - I ,

V y ))

z I

arctg I y I , у

гда как функция H ( q ) зависит только от одной. Однако при сравнении д R /д p со вторым условием системы (8) (выполняющимся вследствие того, что функция U ( x , y , z ) удовлетворяет уравнению Лапласа) получаем тождество д R /д p = 0, т. е. что на самом деле функция R ( p , q ) от переменной p не зависит. Поэтому R ( p , q ) = R ( p * , q ) - R 0 ( q ) , где p _* — любая точка (в частности, можно выбрать p * - p 0 ). Получаем обыкновенное дифференциальное уравнение H "( q ) + m ² H ( q ) -- R 0 ( q ) , общее решение которого при m ^ 0 дается формулой

где функции F ( p , q ) и G ( p , q ) определяются однозначно по заданным функциям U ( x , y , z ) и V ( x , y , z ) . (Этот способ записи U и V является модифицированной формой представления однородных функций в виде f ( x ₁, x ₂,... x n ) -- x k g ( x 2 Д,..., xn/x 1 ) [15, 16].)

Требования, что U -д V /d x , а U и V удовлетворяют уравнению Лапласа, превращаются в систему уравнений

(

H ( q ) - cos ( mq ) c_t V

a

+¹ J m

(

+ sin ( mq ) C b V

—

I sin (mT) R 0 (t ) dT

+

q

A

1 q

— f cos ( mT ) ^R 0 ( t ) d T , (9) m „

q ₀

у

F"f, dp

(m-1)2 F - p (2 m - 3)— + (1 + p2) ^-F i д F - 0,

v              v       ’ дp V ;5p2   дqq

2^         ^G^G       2\ d ² G  д ² G

m G-p(2m-1)—+ (1 + p ) — + — - 0, дp        dp   дq

где используется подстановка r - Уу² + z ² , p - x/У у ² + z ² , q - arctg ( z/y ) (обратная подстановка имеет вид x - pr , y - r cos q , z - r sin q ). Из условия F -д G/ д p системы уравнений (8) следует, что G ( p , q ) - F ( p , q ) + H ( q ) , где F ( p , q ) - - J p F ( p , q ) d p — фиксированная функция, а H ( q ) — некоторая пока неизвестная функция. Теперь третье уравнение системы (8) имеет вид H "( q ) + m ² H ( q ) - - R ( p , q ) , где функция

зависящей от двух произвольных констант. Вырожденный случай m - 0 исследуется аналогичным образом и проблем не представляет. При обратной подстановке из решения (9) получим явную формулу для однородной гармонической функции V ( x , y , z ) , производной от которой по координате x является заданная однородная гармоническая функция U ( x , y , z ) .

В результате мы еще раз доказали требуемое утверждение и вдобавок получили конструктивный способ для вычисления однородной гармонической функции V ( x , y , z ) по заданной однородной гармонической функции U ( x , y , z ) . Константы c_a , c_b в формуле (9) определяют степень произвола, с которым можно определить функцию-прототип V ( x , y , z ) . Легко понять, что свобода выбора для функции V ( x , y , z ) сводится к аддитивной добавке

V (y,z\-c _m y , _a

)m cos(m arctg(z/y)) +

m

+ ^c _b ( Уу ² + z ² ) sin ( m arctg ( z/y ) ) .   (10)

„          дF

R (p,q)- m2F - p (2m -1)—+ (1 + p2)

d2F  д2F дp2    дq2 ,

В вырожденном случае m - 0 вместо выражения (10) аддитивной добавкой будет функция

вообще говоря, зависит от обеих переменных, то-

^V 0 ( У , ^z )^{- C}a ^{+ C}b arctg ( y/^z ) .           ^(10а)

Формулы (10) и (10а) являются самой общей формой записи для однородных гармонических

функций V ( y , z ) двух переменных с заданным порядком однородности, необязательно целочисленным. Действительно, такую функцию V ( y , z )

m можно записать как   V (y, z) = ( Цу2 + z2 ) х хF (arctg (z/y)), где F (ф) — пока неизвестная функция (это является слегка измененной универсальной формой для U(y,z) = ymG(z/y), однородных функций двух переменных [15, 16]). Из требования Uyy + Uzz = 0 следует, что функция F (ф)    должна удовлетворять уравнению

F " ( ф ) + m ² F ( ф ) = 0 , откуда сразу следуют формулы (10) и (10а).

Точно так же определяется степень произвола функции-прототипа при двукратном или трехкратном дифференцировании, при дифференцировании по смешанным направлениям и т. д. — результатом будет зависящая от нескольких произвольных констант аддитивная добавка в виде линейной комбинации эталонных однородных функций соответствующего порядка, которая обращается в тождественный ноль после выполнения дифференцирования.

Приведенные выкладки не столь изящны, как в предыдущем разделе, зато здесь не требуется распространять функции U ( x , y , z ) и H ( x , y , z ) = = V ( x , y , z ) - J U ( x , y , z ) d x на комплексные значения аргументов и требовать от них регулярности, т. е. локальной разложимости в сходящийся ряд. Поэтому доказательство сохраняет силу при гораздо более слабых требованиях к функциям U ( x , y , z ) и V ( x , y , z ) , чем в предыдущем случае.

Комментарии

Нетривиальность теоремы о дифференцировании трехмерных гармонических функций можно проиллюстрировать тем фактом, что для двумерных однородных функций она несправедлива .

А именно, возьмем в качестве примера двумерную гармоническую функцию U (x, y ) = = arctg (y/x), которая имеет нулевой порядок однородности. Функция V (x, y), удовлетворяющая требованию д Vdxx = U, имеет вид V (x, y ) = = j Udx = x arctg (y/x) + y ln 4x2 + y2 + h (y), где h (y) — произвольная функция. Для того чтобы эта функция V (x, y) была гармонической, необ ходимо и достаточно, чтобы h (y) = a + by, где a, b — произвольные константы. Ни при каком выборе констант a, b функция V (x, y) не может быть сделана однородной (мешает логарифм): чтобы убедиться в этом, достаточно проверить выполнение дифференциального соотношения Эйлера для однородных функций применительно к функции V (x, y). При этом зависящие от двух свободных констант трехмерные функции

X Гy ^ Л z /

V ( x , y , z ) = x arctg I — 1 + z arctg — I +

Ix )        I y J

y

+ y In ’        + ay + bz ,

4 y² + z²

как легко можно проверить, являются и гармоническими, и однородными по Эйлеру и обеспечивают выполнение условия d V ( x , y , z)/ c xx = U ( x , y ) .

Другим примером подобного рода служит однородная гармоническая функция U ( x , y ) = = xj ( x ² + y ²) с порядком однородности m = - 1. Для трехмерных однородных гармонических функций нулевого порядка     V ( x , y , z ) =

= In ( x ² + y ² )Д y ² + z ² ) + a + b arctg ( y/z ) выполняется соотношение d V/8x = U , но двумерной однородной гармонической функции нулевого порядка V ( x , y ) , для которой было бы выполнено условие 6 V d xx = U , не существует.

Справедливости ради следует отметить, что функции arctg ( y/x ) и xj ( x ² + y ² ) — единственные (в определенном смысле) примеры двумерных гармонических и однородных функций двух переменных U ( x , y ) , для которых теорема о дифференцировании, рассматриваемая на классе двумерных гармонических однородных функций, не выполняется. Чтобы убедиться в этом, достаточно использовать для функции U ( x , y ) формулу (10) и проверить, что при m ^ 0, m ^- 1 всегда можно сконструировать такую двумерную гармоническую однородную функцию V ( x , y ) порядка ( m + 1 ) (задаваемую с помощью тех же самых формул (10), но с заменой m ^ m + 1 и с правильно подобранными константами c_a , c_b ), для которой д V d xx = U . Точно также и в случае оставшихся вне поля зрения частных решений U ( x , y ) = 1

(для m = 0) и U ( x , y ) = y Д x ² + y ² ) (для m = - 1) существуют двумерные гармонические однородные функции V ( x , y ) порядка ( m + 1 ) , для которых выполнено условие S V d xx = U .

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Может показаться, что разные варианты доказательства, рассмотренные в этой статье, являются не более чем интеллектуальным развлечением и вполне достаточно ограничиться классическим случаем. Да, действительно, далеко не все однородные гармонические функции, представляющие интерес для оптики заряженных частиц [2, 3, 9, 10, 12, 13], обладают нужным поведением функции U ( x , y , z ) в нуле, как это требует классическое доказательство. Но много ли неприятностей может доставить нарушение условия регулярности функции в одной-единственной точке? К сожалению, имеется достаточно примеров математических теорем, для которых нарушение требуемого условия в одной-единственной точке приводит к вполне катастрофическим последствиям. (Например, чтобы интеграл от функции комплексного переменного f ( z ) по замкнутому контуру был равен нулю, требуется аналитичность функции f ( z ) во всех точках, лежащих внутри контура [40, 41]. Аналитичность функции f ( z ) = 1( z нарушается в единственной точке z = 0. Однако этого достаточно, чтобы интеграл от f ( z ) по границе единичного круга с центром в начале координат стал равен 2 π i вместо нуля.)

В случае рассматриваемой нами теоремы эти последствия могут быть достаточно неприятными. Теорема о дифференцировании и интегрировании однородных гармонических функций служит основой для получения общих формул для потенциалов однородных электрических и магнитных полей [9, 17]. Важным моментом в этом процессе является то, что получаемые формулы действительно являются универсальными, т. е. что любое однородное поле может быть описано с их помощью и что других однородных полей с рассматриваемым порядком однородности в природе не существует. Поэтому при оптимизации электроннооптической системы есть гарантия, что оптимум, полученный с помощью указанных общих формул, действительно является наилучшим. Если же какие-то однородные поля выпадают из рассмотрения, то легко может оказаться, что именно они-то и были бы оптимальными для решения поставленной задачи.

Примером может служить интегральная формула Уиттекера [18]

U ( x , y , z ) = j ( x cos t + y sin т + i z ) m h ( t ) d T для однородных гармонических функций с натуральными порядками однородности m = 1,2, ™ Эта формула по факту выводится в предположении о регулярности функций в начале координат, но по предположению автора должна оставаться универсальной формулой, определяющей однородные гармонические функции, также и в более общем случае.

В действительности же формула Уиттекера оказывается универсальной ровно для однородных гармонических функций, регулярных (разложимых в сходящийся ряд) в точке x = y = z = 0 . Точнее, единственные функции, которые можно получить с помощью этой формулы при натуральных m — это однородные гармонические полиномы. В этом можно убедиться, если заменить под интегралом степень суммы на сумму одночленов x^kyz ^{m -}— l cos ^k T sin l т и выполнить интегрирование. Аргументы, использованные в [18], показывают, что однородные полиномы и в самом деле являются единственными однородными функциями, регулярными в начале координат, а любые другие однородные функции, в частности, однородные функции с порядком однородности, не являющимся натуральным числом, в начале координат нерегулярны. (Для доказательства этого факта достаточно представить функцию в окрестности начала координат в виде степеннόго ряда по переменным x , y , z , подставить результат в дифференциальное уравнение Эйлера для однородных функций и сгруппировать вместе одинаковые одночлены. Если исходная функция не является тождественным нулем, то из обращения в ноль множителей при одночленах сразу следует, что порядок однородности обязан быть натуральным числом, а решениями являются полиномы соответствующей степени.)

Но в таком случае при использовании формулы Уиттекера из виду упускаются многочисленные решения с натуральными порядками однородности, отличные от гармонических полиномов и не регулярные в начале координат, которые имеют большой практический смысл (не говоря уже о непредсказуемости результата при использовании формулы Уиттекера для однородных гармонических функций с нецелочисленными порядками однородности). Контрпримеры, не вписывающиеся в формулу Уиттекера, приводятся в [2, 3, 45]. Формулы общего вида для трехмерных гармонических однородных функций с целочисленными порядками однородности, которые не ис- пользуют предположения о регулярности рассматриваемой функции в начале координат, конструируются с помощью методики [17] и исследуются в [9]. Интегральные формулы для трехмерных гармонических однородных функций с нецелочисленными порядками однородности исследуются в [10]. Частные случаи однородных гармонических функций, характеризуемых нецелочисленными порядками однородности, исследуются в [2, 3, 12].

Другим примером является предположение, что у электрических и магнитных полей, однородных по Эйлеру, скалярный потенциал обязательно является функцией, однородной по Эйлеру. Этот тезис, однако, не выполняется для полей с нулевым порядком однородности, для которых кроме однородной по Эйлеру функции нулевого порядка скалярный потенциал может содержать еще и аддитивную логарифмическую добавку [3, 14]. Тем самым, ограничиваясь при синтезе поворотных электростатических систем, которые переводят параллельный пучок на входе в параллельный пучок на выходе, исключительно потенциалами Донкина [21, 22], имеется опасность пропустить полезные электродные конфигурации. Аналогичная проблема возникает и при синтезе электростатических призм [46–48] с помощью электростатических полей, однородных по Эйлеру, если в процессе синтеза ограничиваться потенциалами Донкина [21, 22].

Эта статья была вдохновлена работами Юрия Константиновича Голикова, создателя и бессменного руководителя Лаборатории аналитической корпускулярной оптики при кафедре Физической электроники Ленинградского политехнического института (ныне Санкт-Петербургский политехнический университет Петра Великого). Его вклад в идеологию синтеза спектрографических и отклоняющих электронно- и ионнооптических систем с помощью полей, однородных по Эйлеру, является определяющим, а вклад в математическую и общую культуру его учеников, к которым относятся и авторы этой статьи — бесценным.