Теорема существования обобщенного решения для задачи Дирихле

Рассмотрим следующую теорему существования обобщенного решения для задачи Дирихле.

Теорема.

Пусть  f (x) e L2(Q), Me H1/2(dQ).  Тогда существует единственное обобщенное решение задачи Дирихле, причем выполняется

II u L, ^ Ci\\f IIL +C2IImII 2                         2                              (    )

Доказательство. Напомним, что

H1/2 (dQ) = Me L2 (dQ): 3 Ф e W2 (Q): Ф ^ = m;

IMIH ) = inf ||ф|^.< q .I

ФeW 2 ( Q), Φ_∂Ω = µ

Сначала уберем неоднородность в краевых условиях. Так как M e H (dQ) ^ 3 ф e W2 : ф = M. Продолжение Ф не единственно, однако обобщенное решение не зависит от выбора Ф. Решение задачи будем          искать          в          виде          суммы u = w+ф; u Q M, ф1гп= M, и,ф e W2(Q) ^ w\£fi = 0, we W Подставив выражение u= w+Φв определение обобщенного решения получим

0 (Vw,V^)L(Q) =-

Пусть F(Ф) = F,(P) + F,

как Ф, w e W2 то левую часть последнего равенства можно записать в виде скалярного произведения в W2. Задача нахождения обобщенного решения сводится

к

задаче

нахождения

функции

w∈W01: (w,ϕ)  =F(ϕ) ∀ ϕ∈W1

Для       доказательства

^W2^{1                                    .}

существования обобщенного решения задачи достаточно показать, что правая часть последнего равенства определяет линейный ограниченный функционал в W1.

Ограниченность:

F1(ϕ)=-(∇Φ,∇ϕ)L  → |F1(ϕ)|≤||∇Φ||  ⋅||∇ϕ||

Так как ||Φ||W21=||Φ||2L+||∇Φ||2L  ⇒ ||Φ||2L ≤||Φ||W21

|F1(ϕ)|≤||Φ||_W1⋅||ϕ||0⇒  ||F1||≤||Φ||_W1

2W212

Аналогично

F2 (ϕ) = (f,ϕ)L (Ω) ⇒| F2 (ϕ) |≤|| f ||L ||ϕ||L . По неравенству Фридрихса ||ϕ||L≤C || ∇ϕ||L.                    Таким                    образом

Т,(ф)|<С|цуIv^iIL = С|цц2|ф||о ^ Iif, ||<С|IfIL

W,                              .

Следовательно F(ф) = F,(^) + Р2(ф) - линейный непрерывный функционал в

W,1,  причем I |F| |<|| ф 11,,, + CI If 11L. Так как   W1    - гильбертово пространство, то по теореме Рисса

∃ h∈W₂¹:F(ϕ) = (h,ϕ)  ⇒ (w,ϕ)  =(h,ϕ)  ∀ϕ∈W₂¹

W21               W21

→(w-h,ϕ)   =0 ∀ϕ∈W2¹→ w=h: ||w||  =||h||  =||F||≤||Φ|| 1+C|| f ||

W21                                   W21      W21

Последнее неравенство выполняется для всех ф е W1: Ф |_5п= ц

Следовательно Hw °