Теорема существования обобщенного решения для задачи Дирихле
Автор: Дурдымырадов А.Ш., Инджиева Н.Ю., Манжеева Е.С., Мирзаева А.М., Убушаев Ц.Э.
Журнал: Теория и практика современной науки @modern-j
Рубрика: Основной раздел
Статья в выпуске: 4 (58), 2020 года.
Бесплатный доступ
Пространства функции с производными из , называемые пространствами Соболева, занимают важное место в современном анализе, например, в теории дифференциальных уравнений с частными производными. Начиная с 30-ых годов прошлого века эти функциональные классы интенсивно изучались, и к настоящему времени многие связанные с ними проблемы решены. Пространства Соболева являются удобным и естественным математическим аппаратом в теории УЧП. Они широко используются, например, в теории краевых задач для уравнении эллиптического типа, в частности для уравнения Пуассона.
Краевая задача, пространства соболева, обобщенные решения, задача дирихле
Короткий адрес: https://sciup.org/140275392
IDR: 140275392 | УДК: 517.95
The existence theorem of a generalized solution for the Dirichlet problem
Spaces of functions with derivatives of, called Sobolev spaces, occupy an important place in modern analysis, for example, in the theory of partial differential equations. Since the 30s of the last century, these functional classes have been intensively studied, and by now many of the problems associated with them have been solved. Sobolev spaces are a convenient and natural mathematical apparatus in the theory of Uch. They are widely used, for example, in the theory of boundary value problems for elliptic equations, in particular for the Poisson equation.
Текст научной статьи Теорема существования обобщенного решения для задачи Дирихле
Рассмотрим следующую теорему существования обобщенного решения для задачи Дирихле.
Теорема.
Пусть f (x) e L2(Q), Me H1/2(dQ). Тогда существует единственное обобщенное решение задачи Дирихле, причем выполняется
II u L, ^ Ci\\f IIL +C2IImII 2 2 ( )
Доказательство. Напомним, что
H1/2 (dQ) = Me L2 (dQ): 3 Ф e W2 (Q): Ф ^ = m;
IMIH ) = inf ||ф|^.< q .I
ФeW 2 ( Q), Φ∂Ω = µ
Сначала уберем неоднородность в краевых условиях. Так как M e H (dQ) ^ 3 ф e W2 : ф = M. Продолжение Ф не единственно, однако обобщенное решение не зависит от выбора Ф. Решение задачи будем искать в виде суммы u = w+ф; u Q M, ф1гп= M, и,ф e W2(Q) ^ w\£fi = 0, we W Подставив выражение u= w+Φв определение обобщенного решения получим
0 (Vw,V^)L(Q) =- Пусть F(Ф) = F,(P) + F, как Ф, w e W2 то левую часть последнего равенства можно записать в виде скалярного произведения в W2. Задача нахождения обобщенного решения сводится к задаче нахождения функции w∈W01: (w,ϕ) =F(ϕ) ∀ ϕ∈W1 Для доказательства W21 . существования обобщенного решения задачи достаточно показать, что правая часть последнего равенства определяет линейный ограниченный функционал в W1. Ограниченность: F1(ϕ)=-(∇Φ,∇ϕ)L → |F1(ϕ)|≤||∇Φ|| ⋅||∇ϕ|| Так как ||Φ||W21=||Φ||2L+||∇Φ||2L ⇒ ||Φ||2L ≤||Φ||W21 |F1(ϕ)|≤||Φ||W1⋅||ϕ||0⇒ ||F1||≤||Φ||W1 2W212 Аналогично F2 (ϕ) = (f,ϕ)L (Ω) ⇒| F2 (ϕ) |≤|| f ||L ||ϕ||L . По неравенству Фридрихса ||ϕ||L≤C || ∇ϕ||L. Таким образом Т,(ф)|<С|цуIv^iIL = С|цц2|ф||о ^ Iif, ||<С|IfIL W, . Следовательно F(ф) = F,(^) + Р2(ф) - линейный непрерывный функционал в W,1, причем I |F| |<|| ф 11,,, + CI If 11L. Так как W1 - гильбертово пространство, то по теореме Рисса ∃ h∈W21:F(ϕ) = (h,ϕ) ⇒ (w,ϕ) =(h,ϕ) ∀ϕ∈W21 W21 W21 →(w-h,ϕ) =0 ∀ϕ∈W21→ w=h: ||w|| =||h|| =||F||≤||Φ|| 1+C|| f || W21 W21 W21 Последнее неравенство выполняется для всех ф е W1: Ф |5п= ц Следовательно Hw °
Список литературы Теорема существования обобщенного решения для задачи Дирихле
- Мазья В.Г. Пространства С.Л. Соболева. Л.: Изд-во ЛГУ, 1985. - 416 с.
- Владимиров В.С. Уравнения математической физики. Учебник для физич. и механико-математ. спец. вузов. - 4-е изд., испр. и доп. - М.: Наука, 1981. - 512 с.
- Гельфанд И.М., Шилов Г.Е. Обобщенные функции и действия над ними. Обобщенные функции, выпуск 1. - М.: Гос. изд-во физико-мат. лит-ры, 1959. - 470 с.
- Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. 7-е изд. - М.: Физматлит, 2004. - 572 с.
