Теоремы в школьном курсе математики. Методика изучения теорем в школьном курсе математики

Теоремой называется математическое  предложение, истинность которого установлена с помощью доказательства.

Каждая теорема содержит в себе условие и заключение. «Вертикальные углы равны». Здесь «вертикальные углы» – условие, а «равны» – заключение теоремы.

Формулировке этой теоремы можно придать и условную форму, для которой характерно использование слов «если…, то…»

Формулировку теоремы, не использующую слов «если…, то…», называют категорической.

С точки зрения логики теорема представляет собой высказывание, часто в форме импликации или эквиваленции.

Среди теорем, представимых в виде импликации, выделяют такие частные виды, как «следствие» (доказывается с помощью одной теоремы), «лемма» (важна как ступень к доказательству другой теоремы), необходимое условие, достаточное условие. Среди теорем, представимых в виде эквиваленции, — необходимое и достаточное условие (истинны и прямое, и обратное утверждения).

В курсе геометрии наиболее распространены теоремы, логическая структура которых представлена в виде импликации или эквиваленции. Заключение и условие могут состоять из одного простого высказывания, тогда утверждение называют простым , если же условие или заключение состоят из нескольких простых высказываний, то утверждение называют сложным . Работа с такими теоремами предполагает выполнение учителем логико-математического анализа (ЛМА).

Логико-математический анализ теоремы включает:

• •    логический анализ , который предусматривает раскрытие логической структуры предложения и способа его конструирования, т.е. выделение простых высказываний, из которых сконструировано данное, вида суждения и выделение логических связок, с помощью которых оно образовано, и их последовательности. (Наиболее часто используемые логические связки: «не», «и», «или», «если, то», «тогда и только тогда», «существует» и т.д.);

• •    математический анализ , который раскрывает математическое содержание выделенных элементов структуры.

Теоремы школьного курса формулируются в основном в импликативной (условной, с использованием слов «если..., то...») и категоричной (утвердительной) формах. Для выделения структуры (условия, заключения...) целесообразно формулировать теорему в импликативной форме.

Перевод в импликативную форму облегчает учащимся выделение структуры теоремы, в частности условия и заключения.

Формулирование утверждений, обратных и противоположных данному, позволяет уточнить разъяснительную часть.

Профессиональный этап осуществляет учитель сам.

На этом этапе выполняется ЛМА теоремы, который позволит на уроке дать формулировку теоремы в символьной форме, если ученики готовы к этому. Во всяком случае, включение раздела «Элементы логики» в курс математики, а также ознакомление с ним в процессе изучения информатики, согласно образовательным стандартам, предполагает овладение учащимися старшей школы символьными записями утверждений.

Также на этом этапе учитель отбирает актуализируемые знания и умения для введения как формулировки теоремы, так и доказательства, выделяет идею (идеи) доказательства.

Подготовительный этап включает следующие подэтапы :

• •    актуализация знаний и умений, выделенных на профессиональном этапе;

• •    мотивация необходимости изучения факта;

• •    подведение к теоретическому факту.

Эти три подэтапа часто осуществляются на уроке одновременно. Как и при работе с понятием, они могут быть реализованы через демонстрацию использования факта в окружающем мире.

Также может быть предложена предметная проблемная ситуация через возможность решения какой-либо задачи, если было бы истинно утверждение (теорема).

Конечно, возможны и другие приемы мотивации (формирования УУД «смыслообразование») и подведения к теоретическому факту.

Основной этап :

• •    формулировка теоремы. Работа с формулировкой, как и с определением понятия. На этом этапе также целесообразно обсудить с учащимися, к каким видам теорем относится утверждение, если ученики с ними знакомы. Так, для теоремы о сумме смежных углов условие «углы смежные» является достаточным условием (признаком) для условия. А условие «сумма углов равна 180°» является необходимым (свойством) для условия «углы смежные». (Подробнее о необходимых и достаточных

условиях, признаках и свойствах, ознакомлении с ними учащихся будет рассмотрено в теме об элементах логики);

• •    перевод из категорической формы в импликативную, если необходимо;

• •    выделение условия и заключения;

• •    мотивация необходимости доказательства. Например, при введении суммы углов треугольников после выполнения практической работы на подготовительном этапе учитель сообщает, что мы узнали про сумму углов только для нескольких треугольников, а их бесконечно много. Кроме того, могут быть и другие погрешности, поэтому следует обосновать строго для всех треугольников, а это возможно, только применяя доказательство;

• •    анализ условия и заключения;

• •    поиск способа доказательства. Составление схемы доказательства или образца доказательства.

Поиск способа доказательства может быть организован по-разному. Он может быть осуществлен уже на подготовительном этапе при подведении к теоретическому факту.