Теоретический анализ уравнения Франка-Озеена для неполярных жидких кристаллов

В теоретических и экспериментальных исследованиях частично упорядоченных сред приходится так или иначе сталкиваться с проблемой определения деформаций поля параметра порядка среды. Для жидких кристаллов параметром порядка является поле директора — направлений преимущественной ориентации молекул среды. Основные результаты теории упругости жидких кристаллов получены в классических работах Озеена [1] и Франка [2]. Согласно результатам этих работ упругие свойства нематиков определяются следующими типами деформаций: растяжением, скручиванием, изгибом, а также деформацией седловидного изгиба. Вклад каждой из этих деформаций в свободную энергию Франка выражается через соответствующие упругие моды. Вкладом моды, соответствующей седловидному изгибу, часто пренебрегают, поскольку ее рассматривают как поверхностную деформацию, которую в подавляющем большинстве экспе- риментов можно зафиксировать граничными условиями. Помимо этих деформаций выделяют также деформацию смешанного продольно-поперечного изгиба, которую также интерпретируют как поверхностную деформацию [3]. Сам Франк в своей работе указывал на то, что связанной с этой деформацией упругой модой можно пренебречь в связи с отсутствием полярности у большинства жидких кристаллов (у нематиков как одного из самых распространенных материалов в различных исследованиях полярность отсутствует).

Несмотря на большое количество разнообразной литературы и учебников по жидким кристаллам, в том числе отечественных [4], следует отметить, что непосредственно сам вывод формулы Франка-Озеена для свободной энергии освещен достаточно слабо. Авторы зачастую ссылаются на очевидность свойств симметрии жидкого кристалла, из которых выводится упругая энергия Франка-Озеена. Следует отметить, что существует несколько подходов при анализе упругих свойств жидкого кристалла. В работе [5] помимо молекулярного (микроскопического) подхода, используемого Франком, применяется феноменологический (макроскопический) подход с введением комплексных дифференциальных операторов деформации. Этот подход весьма схож с вычислениями, описанными в учебном пособии Ландау и Лифшица, для компонент тензора упругости ромбоэдрических и гексагональных кристаллических систем [6]. В другой относительно недавней работе [7] приводится теоретический формализм, который позволяет интерпретировать седловидный изгиб как объемную деформацию, а не поверхностную, как в предыдущих работах. И хотя автор отмечает, что такой формализм с математической точки зрения не противоречит результатам классических работ, факт существования различных интерпретаций упругих мод в выражении для свободной энергии означает актуальность дальнейших теоретических исследований проблемы упругости жидкого кристалла.

Настоящая работа посвящена обсуждению классических подходов — микроскопического и макроскопического — в определении упругих свойств жидкого кристалла при малых деформациях поля директора. Рассматривая свойства упругости, мы отталкиваемся от свойств симметрии C ∞ относительно направления директора.

Основные положения теории Франка-Озеена

Упругая свободная энергия, связанная с деформациями, пропорциональна градиентам поля директора. Поэтому предполагаем, что во всем объёме жидкого кристалла задано непрерывное вместе со своими производными поле директора n(r) . Все деформации предполагаются малыми относительно характерных размеров молекул.

Очевидно, что свободная энергия F должна представлять из себя истинный скаляр, поскольку должна быть инвариантной относительно любых вращений, а также смены ориентации базиса с правого на левый и наоборот. Если мы рассматриваем неполярные жидкие кристаллы (состояния с n и — n не отличимы друг от друга), то следует предположить, что энергия F должна быть четна по n . Из этих двух предположений следует, что F не будет содержать члены линейных относительно градиентов [8]. В принципе этих предположений уже достаточно, чтобы привести вид свободной энергии к классическому виду [9]. Однако руководствуясь целями настоящей работы, рассмотрим общий вид свободной энергии и дальнейшие преобразования симметрии, которые позволят воссоздать уже из- 14

вестный результат. Плотность свободной энергии с учетом вышесказанного вы- глядит так:

^f = 2^Kijki^di n j d k n i ,

я      dnJ v где dni = d£, Kji

— тензор упругости. Этот тензор обладает следующими свой- ствами симметрии:

^Kijkl = ^Kjlkl > ^Kljkl = K ijlk ,                            (2)

K ijkl = ^Kkllj -                                      (3)

Такая симметрия позволяет сократить общее количество независимых компонентов с 81 до 21. В таблице 1 представлены все возможные пары индексов i-j и k-l тензора K ijkl .

Таблица 1

i-j	1-1	1-2	1-3	2-2	2-3	3-3
k-l	1-1, 1-2, 1 3, 2-2, 2-3, 3-3	1-2, 1-3, 2-2, 2-3, 3-3	1-3, 2-2, 2-3, 3-3	2-2, 2-3, 3-3	2-3, 3-3	3-3

Следуя нотации Франка для элементарных деформаций, запишем:

a ', _B2=    , a ', a_t=-¥- «5 = ^. Ч=¥-        (4)

¹ dx ² dy’ ³ dz ^ dx ³ dy’ ⁶ dz              ^{v 7}

Здесь подразумевается, что n_z ≈1 и все производные от этой компоненты равны нулю (другими словами, a 7,8,9 =0). Деформации a 1 , a 4 соответствуют поперечному изгибу поля директора, a₂, a₄ — кручению, a₃, a₆ — продольному изгибу. Тогда выражение (1) примет вид:

^f ^ K qp d q d p .                               (5)

Преобразования симметрии

Поворот вокруг Oz

Введем локальную декратовую систему координат с осью Oz, направленной вдоль текущего директора. Совершим поворот вокруг этой оси по следующему правилу:

( X = у

\y ' = -X                                    ⁽⁶⁾

zr = z

Тогда элементарные деформации преобразуются следующим образом:

a l = a ^ ; a'₂ = a ^ ; a'₃ = a₆ ; a ^ = a₂ ; a $ = a₁ ; a'₆ = -a₃.         (7)

Теперь рассмотрим, как преобразуются элементы симметричной матрицы A:

	7 a1a1 ..	a1a2	a1a3	-a1a4	a1a5	a i a6 x a 2 a6 '
		a2a2	a2a3	-a2a4	a2a5
A = a i a j =	..	..	a3a3	-a 3 a4	a3a5	a3a6
	..	..	..	a4a4	-a4a3	-a4a6
	.. ..	.. ..	.. ..	.. ..	a5a5 ..	a5a6 . a6a6 /

Следует помнить, что деформация a 4 взята со знаком «–», поэтому 4-я строка и столбец взяты с обратным знаком (за исключением диагонального элемента). Поэтому все матричные элементы при преобразовании, содержащие a 4 ʹ и a 4 , необходимо брать со знаком «–».

Первая строка:

a [ a 1 = a5a5, —a l a '2 = -a5a4, a 1a' 3 = a5a6, —a 1 a 4 = —a5a2, a 1 a 5 = a5a1, a 1 a 6 = —a 5 a3.                                 (9)

Поскольку свободная энергия (5) должна быть инвариантна при таком преобразовании, то, опуская штрихи в (9), для компонентов тензора Kqp можно запи-

сать:

« 11 = ^ 55 , —« 12 = « 45 , « 13 — « 56 , ^ 14 = — « 25 , « 15 = « 51 , « 16 = —« 35 -                             (10)

Аналогично по другим строкам матриц.

Вторая строка:	a 2 a 2 — a 4 a 4 ^ « 22 — « 44 , a2a3 — a4a6 ^« 23 — — « 46 , —a 2 a 4 — —a 4 a 2 ^ « 24 — « 42 , a 2 a 6 — —a 4 a 3 ^ « 26 — « 34 -                     (11)
Третья строка:	a3a3 — a6a6 ^« 33 — « 66 , — a3a4 — —a6a2 ^ « 34 — — « 26 — 0, a3a5 — a6a1 ^ « 35 — « 16 — 0, a 3 a 6 — —a 6 a 3 ^ « 36 — —« 63 — 0-                  (12)
Четвертая строка:	—a 4 a 5 — —a 2 a 1 ^ « 45 — —« 12 , —a 4 a 6 — a2a3 ^ «46 — «23 — 0-                   (13)

Пятая строка:

^a5^a6 ^{— -Й}1^Й3 ^ « 56 = ^— « 13 = 0-#( ¹⁴ )

В 2–5-х строках некоторые компоненты обнуляются из-за соотношений (10) и

(11). В результате тензор упругости выглядит следующим образом:

	/ «11 « 12	« 12	0	« 14	« 15	00
		« 22	0	« 24	— « 14
«и —	0 « 14	0 « 24	« 33 0	0 « 22	0 — « 12	0
	( «15 \ «16	« 14	— « 16	« 12	« 11
		0	0	0	0

Поворот вокруг оси Oz на π/4

Свяжем теперь оставшиеся компоненты K14, поворота в этом случае примет следующий вид:

K15, K24, K11, K22, K33. Матрица

(^^ n\

2      2\

- У£ У2 о

00 1/

Тогда компоненты тензора упругости преобразуются при повороте по следующему закону:

Kijkn = UMUjfiUkYUn6Ka[i}'6-(17)

Так как K 14 =K xxyx и K 15 =K xxyy , то есть смысл рассмотреть преобразование каждой из этих компонент по отдельности.

Kx'x'y'x' Ux'a.'Ux'$Uy'YUx'8Koi$Y8i(18)

Kx'x'y'y'    Ux'a.'Ux'$Uy'Y'Uy'8Ka$Y8-(19)

С учетом того, что K 11 =K xxxx , K 12 =K xxxy , K 22 =K xyxy , K 24 =K xyyx , а также с учетом свойств симметрии (2) и (3) и соотношений (10)-(15), после суммирования по всем индексам выражения (24) и (25) дадут:

K14 = -^12,

^15=^11-^22—^24-

Обращение оси Oz

Для того чтобы проверить инвариантность свободной энергии неполярного жидкого кристалла относительно преобразования n → — n, обратим ось Oz от- носительно директора (с сохранением правой ориентации базиса):

( x' = y

]y' = x(22)

z^r = —z

Элементарные деформации преобразуются теперь так:

a1 = a5; a'2 = —a4; a'3 = —a6; a4 = —a2; «5 = a1; a'6 = —a3(23)

В этом случае для компоненты K 12 получим с учетом соотношения (10):

a1a'2 = —a5a4 ^ K12 = K45 = 0,(24)

	/ K11 0	0	0	0	K15	00
		K22	0	K24	0
Kij =	00	0 K24	K33 0	0 K22	0 0	0
	, K15 0	0	0	0	K11	K°J
		0	0	0	0

Таким образом, в тензоре упругости остаются четыре независимые компоненты, а уравнение (5) для плотности свободной энергии теперь примет следующий вид:

f = 2K11(a1 + a5)2 + 2K22(a2 + «a)2 + 2K33(.a2 + a6)--(K22 + K24)(.a1a5 + a2a4).                                                                           (26)

Преобразования симметрии в комплексных координатах

Свободная энергия любой упругой системы является функцией от тензора деформации u ij и температуры [10]. При изотермическом процессе разложение свободной энергии в ряд Тейлора по отношению к естественному недеформируемо-му состоянию u ij = 0 выглядит следующим образом:

F(_Uij) = F(0) +^_Uij + l/^u_ijUkl + ■■■,            (27)

v 4'              duij 4 2 duy dukl     kl                         к / где опущены слагаемые высших порядков. Поскольку первая производная от F по тензору деформации есть тензор напряжений, то связанное с ним слагаемое обнуляется, поскольку в естественном состоянии напряжение отсутствует. Тогда та часть плотности свободной энергии, которая связана с деформацией в (27), преобразуется к виду:

f^ ijki U ij Uu,                               (28)

d2f где Aiikl~dU^dUu

Коэффициенты λ несут, очевидно, тот же смысл, что и исследуемые ранее компоненты тензора упругости K с теми же свойствами симметрии и той же 21 независимой компонентой в общем виде. Для выяснения количества независимых компонентов тензора λijkl для жидкокристаллической системы можно ввести комплексные координаты:

^ — x + iy, n — x — iy, z — z.                         (29)

При повороте такой системы вокруг оси Oz на произвольный угол φ координаты преобразуются по следующему закону:

% = \е^,п ' =ne-^ -                             (30)

Это означает, что для инвариантности энергии при повороте координат компоненты тензора λ_i j _kl будут содержать равное количество индексов ξ и η. С учетом свойств симметрии (2) и (3) остается пять независимых компонент:

Kzzzz> ^ 5^5^^, ^ 55^^^, ^ 5^zz , ^ 5zr\z

Что касается тензоров u_i j в (28), то в случае деформаций поля директора жидкого кристалла он представляет из себя симметричный тензор:

1 дП : dnj\

^Un-2\^j ⁺ l^-                      ⁽³¹⁾

Наконец, для получения окончательного вида плотности свободной энергии в выражении (28) необходимо произвести суммирование по всем индексам и осуществить переход к декартовым координатам. Поскольку рассматриваемые комплексные координаты не являются ортогональными, то тензоры λ ijkl и u ij преобразуются каждый по своему правилу: тензор λ_i j _kl по контравариантному, а u_i j (строго говоря u^ij) по ковариантному правилу. Не вдаваясь в подробности, для плотности свободной энергии (28) запишем (подробный вывод в учебном посо-

бии [6, §10]):

f — 2 ^ ZZZZ^UZZ + ^ xxzz ( ^Uxx + ^Uyy ^ ^UZZ + ² ^ xzxz ( ^Uxz + ^Uyz ) + 2 ^ xxxx C ^Uxx

^Uyy ) + (A xxxx

-

С учетом того, что

’^■xxyy )( ^Uxy

^Uxx^Uyy )

+

Uxx

_— 1 ( ^дпх + ^dnx \ _{— a} 2\dx dx / ^Q1'

“-—Кдг+дтн'

^уу 2 \ ду ду / 1(дп_х дп_у\

“^{ху —} 2 ⁽ ду ⁺ дх ) ^— 2 ⁽ «² «^{4 )} ,

1 /ди_х дил ^{U yz —} мИ + и) = ^—з^^+г]— ^у 2 у 'z ду /

1 2«^{3 ,} 1 2«^{6 ,}

^ZZ — 0, а также λxzxz = λ33, λxxxx = λ11, λxxyy = λ15 уравнение (32) запишется:

/ ^{— 2—}33 (“T ⁺ “Г') ⁺ У^А11 (« 1 ⁺ « 5^{)2 +}

\ 4    4 у 2

+(А11

Теперь с учетом равенства:

^{- А}15 ) Q ⁽ « 2 ^- « 4^{) 2 -} « 1 « s )

4 (« 2

«4)² - «1«5 — - («2 + «4)² + («2«4 - «1«5), 4

уравнение (34) перепишется:

/ ^— й^- 11 (« 1 + «₅ ^{) 2} + -(А_П ^- А 15⁾⁽ « 2 + « 4^{) 2} +

⁺ 2^А3з («^{2 +} « 6 ) ^{- (А}11 ^-

^ 15^)(a2^a4 ^- « 1 « 5 )-

Так как тензор λ при любых поворотах координат преобразуется точно так же, как и тензор K, то воспользовавшись (21) с заменой K на λ с теми же индексами, перепишем уравнение (36):

/ = 2Л1⁽ « 1 + « 5^{) 2} + 4⁽ Л 22 + А 24⁾⁽ « 2 + « 4^{) 2} + ⁺ 2 ^ 33 ⁽ «^{2 +} «^{2 )} “ 0-22 ^{+ А}24⁾⁽ « 2 « 4 “ « 1 « 5 )

Как видно, уравнения (37) и (26) практически совпадают, за исключением коэффициентов во втором слагаемом, содержащем моду (a 2 + a 4 )².

Обсуждение

В соотношениях (26) и (37), выраженных через элементарные деформации, присутствуют четыре моды. Первые три моды соответствуют деформациям поперечного изгиба, кручения и продольного изгиба. Эти моды можно привести к векторной форме, как это делается в [4]:

^^х ^^ У

^(V,и) = div и = — + -^у = « 1 + «₅,

(и, [V, и]) = и • rot и =

-И_Ж« 6 + И у « з

n_z(a, 2 + « 4 ) -

(« 2 + « 4 ),

[и, [V, и]] — и х rot и — - ^ ех

dnv

~^^еу = -« з е_х-« б е_у

Для седловидного изгиба рассчитывают следующее выражение:

V [и(V, и) + [и, [V, и]] — V[и(V, и) - (и, V)и]], где учтено, что

[и, [V, и]] — V(ии)- (иV)и — —(иV)и.

Тогда в символьной записи можно переписать

V[n(V,n) - (n,V)n] = dk[nk(dini)+(nidi)nk],(43)

V[n(V, n) + [n, [V, n]] = div(n • div n + nx rot n) = 2(a1a5 + a2d4).

С учетом всех вышеприведенных соотношений (38) — (44) свободная энергия (26) запишется:

1             , 1, 1

/ = 2K₁₁(div n)² +^K₂₂(n • rotn)² + ^K₃₃(n x rotn)² —

• -2(K22 + K24)div(n • divn + nx rotn).(45)

В то время как (38) запишется:

/ = 2 X ii⁽ divn⁾² + 4 (^ 22 + ^ 24⁾⁽ n • rot n ^{) 2} + 2 x₃₃ ⁽ nxrotn ^{) 2} -

• -2(^22 +X24)div(n • div n + nx rot n).(46)

Уравнения (45) и (46), содержащие четыре упругие моды в векторной форме, представляют из себя формулу Франка-Озеена для свободной энергии упругой деформации жидкого кристалла. Как видно, все моды представлены в виде истинных скаляров. Действительно псевдоскаляры можно получить после преобразований векторного поля, связанных с тензорами Леви-Чивита, и такие преобразования в (34) представлены в виде ротора и векторного произведения, но все моды четны по комбинациям этих операторов, а следовательно, являются скалярными.

Последний четвертый член в (45) и (46), входящий с дивергенцией, связан с упомянутой выше деформацией седловидного изгиба. Поскольку оба выражения представляют из себя плотность энергии, то для того, чтобы получить полную свободную энергию, необходимо взять объёмный интеграл. Вследствие теоремы Остроградского-Гаусса такой интеграл сведется к поверхностному, по этим причинам эту моду рассматривают как поверхностную упругость.

Вследствие практически идентичности уравнений (45) и (46) встает вопрос о соотношении компонент тензоров λ и K. Если мы предположим их равенство, то отсюда сразу вытекает, что K 22 =K 24 , но это противоречит экспериментальным наблюдениям. С другой стороны, соотношение (46) получено для частного случая, когда тензор градиента директора представлен в симметричной форме тензора малых деформаций (31). Поэтому знак равенства между компонентами тензоров λ и K ставить нельзя.

Заключение

В данной статье проведен анализ свойств симметрии неполярного жидкого кристалла, на основе которого выводится энергия Франка-Озеена. При этом используются два разных подхода: вращение вокруг оси директора в действительных координатах, а также вращение в комплексных координатах. Оба подхода дают качественно схожий результат: свободная энергия неполярного жидкого кристалла состоит из четырех упругих мод, каждая из которых соответствует деформациям поперечного и продольного изгиба, деформации вращения, а также деформации седловидного изгиба.