Теоретический расчет давления в емкостях, заполненных дискретной средой
Автор: Федосеев Владимир Борисович, Гордеева Анастасия Борисовна, Зацаринная Ирина Александровна
Журнал: Вестник Донского государственного технического университета @vestnik-donstu
Рубрика: Технические науки
Статья в выпуске: 2 (53) т.11, 2011 года.
Бесплатный доступ
Дан анализ распределения по вертикали и горизонтали составляющих давления сыпучего материала. Показано наличие области максимального давления в центральной части бункера. На основе анализа условия равновесия получено выражение для бокового коэффициента.
Сыпучий материал, бункер, коэффициент внешнего трения, боковой коэффициент
Короткий адрес: https://sciup.org/14249532
IDR: 14249532
Текст научной статьи Теоретический расчет давления в емкостях, заполненных дискретной средой
Ведение. В теории взаимодействия сыпучих материалов со стенками емкости важное место отводится определению величины давления материала на стенки емкости. Известно, сыпучий материал обладает и свойствами жидкости, и свойствами твердого тела. Модель идеального сыпучего материала предполагает наличие силы сухого трения в местах контакта частиц между собой и стенками емкости. От величины давления в горизонтальном и вертикальном направлениях зависит выбор емкости для хранения. Интересным представляется вопрос определения параметров, отвечающих за величину давления.
Теоретический расчет давления в емкостях. В сыпучем материале вертикальное P z и горизонтальное Р y давление связаны соотношением:
P y = k • P z ,
где k – так называемый боковой коэффициент. Это соотношение используется, в частности, и для расчета давления на стены элеваторов. Однако, несмотря на то, что соотношение (1) известно давно [1], аналитического выражения для этого коэффициента до сих пор не получено.
В данной работе делается попытка на основании аналитического исследования давления сыпучего материала в щелевом бункере получить в общем виде выражение для бокового коэффициента k.
Рассмотрим бесконечно длинную, вдоль оси ОХ, емкость с сужающимися книзу стенами, т.е. щелевой бункер, с углом наклона стенки к z yY вертикали α (рис. 1).
Система уравнений для определения дав-
HW ления в сыпучем материале имеет вид [2]:
Y- g = ( 1 + ц 2 ) ^d PL, о z
, dPz _ dPz к--= Ц i--, dy dz
объем
Z
Рис. 1. Щелевой бункер и оси координат
Py = к • Pz, где цi - коэффициент внутреннего трения; у - объемная плотность сыпучего материала.
Проинтегрируем первое уравнение в системе (2) по координате у: от -W d до +W d (см. рис. 1), т.е. перейдем от элементарного объема к элементарному горизонтальному слою толщиной dz:
Y • g • dz • 2 • W d = ( 1 + ц^ У-P^ • dz • 2 • W d + C . о z
Константа интегрирования С по физическому смыслу будет представлять собой вертикальную компоненту силы, действующей на боковые поверхности элементарного слоя. Рассмотрим контакт элементарного, горизонтального слоя с боковой поверхностью щелевого бункера (рис. 2). Как видно из рис. 2, к основному элементарному слою ABCD необходимо еще добавить два (по одному на каждую сторону бункера) треугольных слоя – BEC . Если вместо сыпучего материала в бункере находилась бы идеальная жидкость, то вертикальная компонента силы реакции стенки бункера в точности уравновесила силу тяжести этих элементарных треугольных слоев. В первом приближении распространим этот вывод и на случай сыпучего материала.

Рис. 2. Контакт элементарного слоя с боковой поверхностью бункера
Следовательно, из сил, действующих на боковые стороны элементарного слоя, осталась лишь вертикальная компонента силы трения. Силу трения определим как силу сухого трения FTP = μe N, где μе – коэффициент внешнего трения. Очевидно, что сила реакция стенки N будет определяться давлением, действующим на боковую стенку. В этом случае константа интегрирования С имеет следующее выражение:
dz
C = 2 ■ це ■ N ■ cos a = 2 ■ це ■ P ■ d^ ■ cos a = 2 ■ це ■ P ---cos a .
cos α
Далее, обобщим соотношение (1):
P(в) = Pz-[1 -(1 -k)• sin в], где Р – давление в сыпучей среде по некоторому произвольному направлению; β – угол между этим направлением и осью OZ.
Множитель перед квадратной скобкой – вертикальное давление. Это естественно, так как мы рассматриваем движение сыпучего материала под действием сил гравитации. Следовательно, вертикальное давление будет основным, ведущим фактором, под действием которого формируется все поле давления в сыпучем материале. В этом случае, если направление совпадает с осью OZ, то угол β = 0 и P(0) = Pz = Pz. Если направление совпадает с осью OY, то угол β = π/2 и P(π/2) = Py = k Pz . Очевидно, что этот коэффициент должен зависеть от свойств са- мого сыпучего материала.
Подставив в (4) выражение (5), получим:
C = 2 ■ це ■ P ■ dz = 2 ■ це ■ dz ■ Pz ■ [ 1 - ( 1 - k ) ■ cos a ] .
N и
Здесь использовано то обстоятельство, что угол между направлением силы реакции осью OZ равен π/2 – α . С учетом (6) уравнение (3) преобразуется следующим образом:
-
Y ■ g ■ dz ■ 2 ■ Wd = ( 1 + ц 2 L^ z ■ dz ■ 2 ■ Wd + 2 ■ ц ■ dz ■ Pz ■ [ l - ( 1 - k ) ■ cos a ] .
d 5 z d e z
Приведем это уравнение к стандартному виду:
d P z + Ц е • P z •[ ! -( 1 - k ) ■ cos a ] - Y ■ g = 0 5 z ( 1 + Ц2 y(W - z ■ tga ) 1 + ц2
Здесь использовано соотношение:
W d = W - z ■ tga .
Решение уравнения (7) имеет вид: A
P = c ■(- w + b■ z) b---(- W + b■ z), z v ’ A - b v ’ где для сокращения записи введены следующие обозначения:
■ cos a ]
b = tga B = Y g 2 A =
1 + Ц-
1 + ц
На поверхности бункера давление должно равняться нулю. Из этого условия получим выражение для константы интегрирования:
C = —— • ( - W ) 1- A .
A - b v 7
При этом уравнение (9) преобразуем к виду:
P z =
B - ( W - b • z
A - 1
A - b
.
Из выражения (10) следует, что при ц е ^ о , А ^ о . При этом Pz ^ Y g z , что со- 1 + ц;
ответствует физическому смыслу исследуемой задачи.
Рассмотрим теперь предел выражения (11) при стремлении стенки щелевого бункера к вертикали ( α → 0, b → 0 ):
lim P„ = lim b ^ о z b ^ о
B - ( W - b • z
A
A - b
B • W
•
A
1 - lim b ^ о
V
A
W - b • z I b
W J
.
Таким образом, мы имеем дело с неопределенностью типа 1 ” . Для ее раскрытия найдем сначала предел логарифма этой неопределенности:
lim b ^ о
A
, IW - b • z | b lnl---------------I
V w 7
г A 1 I и z = lim — ln I 1 - b —
b ^ о b
W
.
I z I
Для этого разложим логарифм в ряд по степеням I b • — I :
г A 1 h A z lim — ln I 1 - b —
b ^ 0 b
W
= lim b ^ о
A b
\
—
V
b - — - W
—
.
.
.
—
A • —.
W
Отсюда вытекает, что:
lim b ^ о
A
W - b • z | b w 7
I z I
= exp - A — .
V w J
Следовательно, вертикальное давление (при b → 0 ) будет стремиться к пределу:
n B-W 1
lim P7 =--1 - exp b ^ о z A p
—
A • —
W
.
Подставляя в это выражение значения В и А , получаем:
lim P = b ^ о z
Y • g • W
Ц е • к
• 1 - exp
-
Ц е • k z
•
V 1 + Ц W 7
.
Данное выражение совпадает с хорошо известным решением для прямоугольного силоса [3]. При выводе последнего уравнения учтено, что lim A = b ^ о
Ц е • к
1 + Ц-
. Таким образом, дока-
зана преемственность решений для прямоугольного силоса и щелевого бункера.
Введем теперь в решение (11) зависимость от координаты у . Аналогично [2] эту зависимость представим в виде:
BW - b • [ z - ( W - y ) • tgX ] L ( W - b • [ z - ( w - y ) • tgx l ) A - 1 1 - I I
A - b I W )
где x - угол естественного откоса.
Потребуем теперь, чтобы решение (12) удовлетворяло второму уравнению системы (2). Найдя первые производные от (12) по у и z, и подставив их в (1), получаем:
k _ M i _ tg^
.
tgχ tgχ
Таким образом, получено аналитическое выражение бокового коэффициента для сыпуче-
го материала, находящегося
в

пространства щелевого бункера на области
щелевом бункере. Уравнение (13) совпадает с выражением, полученным в [2] для сыпучего материала, находящегося в насыпи. Тем самым подтверждается предположение о том, что боковой коэффициент зависит от свойств самого сыпучего материала и не зависит от вида емкости, в которой он находится.
Однако решение в форме (12) не удовлетворяет нулевому граничному условию на поверхности бункера. Для выполнения этого условия, все пространство щелевого бункера разобьем на две области (рис. 3).
Решение в области I представим в виде [2]:
Решение в области
II
p i = Y - g P z
1 + ^i будем искать в виде:
- z .
P zII
_ B - { W - b - [ z - ( W - y ) - tg x D
A - b
1 - ( W - b -[ z - ( w - y )- tg x ] I A - 1
W
+ Jlg . W - y ) - tg x . (15)
1 + Ц 2
На линии z = 0, y = W решение (15) обращается в нуль. На границе областей, определяемой уравнением y _ Wb; z _ ( W - Wb ) - tgx (см. рис. 3), первое слагаемое решения (15) обращается в нуль, а второе слагаемое переходит в P z I . Таким образом, выполнено граничное условие на поверхности бункера. При μ е → 0 решение (14) преобразуем к виду:
P I _ V" g 2^ - [ z -( W - у )- tgX ] + Tg 2^ -( W - у )- tgX ,
1 + M i 1 + M i
Yg или, преобразовав, получим: P _ ——- z, что соответствует физическому смыслу задачи.
-
1 + M i
Итак, мы видим, что решения (14) и (15) удовлетворяют граничным условиям и предельному переходу к идеальной жидкости.
График зависимости давления, рассчитанного по формулам (14), (15), от координаты z , при α = 300, у = 0 и y = W = 3,5 м , представлен на рис. 4. Как видно из рисунка, давление с ростом z растет, достигает экстремума, а затем падает до некоторого минимума. Относительное положение максимума давления зависит от параметров бункера.
Таким образом, для идеального сыпучего материала в щелевом бункере найдено вертикальное давление (15). Горизонтальное давление определяем с использованием третьего уравнения системы (2), выражений (13) и (15).
Кроме того, исходя из экспериментально измеряемых параметров сыпучего материала, получено выражение (13) для коэффициента k, связывающего вертикальное и горизонтальное давление, так называемого бокового коэффициента [1]. Этот коэффициент определяется только параметрами самого сыпучего материала (углом внутреннего трения ψ и углом естественного откоса χ). В предельном случае, при стремлении к нулю коэффициента внутреннего трения (идеальная жидкость), этот коэффициент стремится к единице, так как в этом случае к нулю будет стремиться и угол естественного откоса. При этом идеальный сыпучий материал переходит в идеальную жидкость.

Рис. 4. Вертикальное давление в щелевом бункере вдоль осевой и образующей боковую поверхность линий при различных углах наклона стенки бункера α: γ = 800 кг / м3; ψ = 160; φ = 200; χ = 300; W = 3,5 м
До настоящего времени для определения численного значения бокового коэффициента используют эмпирические или полуэмпирические соотношения. Так, например, при инженерных расчетах для вычисления этого коэффициента используют следующую эмпирическую формулу:
k = V—, (16)
-
1 - v
где ν – коэффициент поперечной деформации. Однако само измерение этого коэффициента для сыпучих материалов вызывает большие трудности. К тому же по этой зависимости трудно установить предел, к которому стремится боковой коэффициент при переходе от сыпучего материала к идеальной жидкости.
В работе [4] приводятся опытные значения коэффициента бокового давления, в частности, для пшеницы k = 0,3 – 0,6 , что соответствует приведенным выше расчетам по формуле (13).
На практике для расчета давления на стены элеваторов используют следующую эмпирическую формулу для бокового коэффициента:
k = tg 2 f 45 0 - ^ ) . (17)
Это более реальное выражение для бокового коэффициента. Из этого выражения, в частности, следует, что при переходе к идеальной жидкости (при ψ → 0 ) боковой коэффициент стремится к единице в соответствие с законом Паскаля. Для зерна рекомендуется принимать коэффициент k = 0,44 . Однако в этом случае из (17) вытекает, что угол внутреннего трения должен быть равным ψ = 230 , что расходится с экспериментальными данными. Выражение (17) нельзя считать универсальным из-за отсутствия в нем важнейшей характеристики сыпучего материала – угла естественного откоса. В [3] приводится следующее выражение для бокового коэффициента:
k = tg 2 e ,
-
2 + tg^ - tge
где β – угол укладки частиц сыпучего материала. Эта формула получена на основании представлений о дискретной модели сыпучего материала. При этом сыпучий материал моделируется абсолютно упругими шарами одинакового диаметра, имеющими правильную геометрическую упа- 167
ковку. Для пирамидальной укладки зерновой пшеницы угол укладки равен β = 430 . В (18) угол φ – угол внешнего трения. Таким образом, в выражение для бокового коэффициента не входят обычно измеряемые параметры самого сыпучего материала: угол внутреннего трения, угол естественного откоса. Свойства самого сыпучего материала здесь представлены только теоретически введенным углом β , который экспериментально не измеряется. Поэтому по (18) невозможно определить предельное значение бокового коэффициента при переходе идеального сыпучего тела в идеальную жидкость. При φ = 200 коэффициент k, рассчитанный по (18), получается равным k = 0,37 , что несколько меньше, используемого на практике значения.
Выводы. Таким образом, можно считать, что расчеты бокового коэффициента дают хорошее согласие с экспериментом. Формула (13) отражает физический смысл исследуемого параметра, удовлетворяет условиям перехода сыпучего материала к идеальной жидкости.
Список литературы Теоретический расчет давления в емкостях, заполненных дискретной средой
- Jansen H. Versuche uber Getreidedruck in Silozellen/H. Jansen. -Berlin, 1895. -S. 1045-1049.
- Федосеев В.Б. Боковой коэффициент и давление в насыпи сыпучего материала//Изв. вузов. Северо-Кавк. регион. Сер. Естеств.науки. -2010. -№2. -С. 58-60.
- Гячев Л.В. Основы теории бункеров/Л.В. Гячев. -Новосибирск: Изд-во Новосибир. ун-та, 1992. -312 с.
- Хранение зерна/под ред. Н.П. Козминой; пер. с англ. -М.: Колос, 1975.