Теоретический вывод закона Кулона

Как известно, закон Кулона (1785), описывающий взаимодействие двух электрических зарядов, имеет чисто экспериментальное происхождение [1]. Тем больший интерес представляет вывод этого закона из общефизических принципов, не опираясь на представление о «потоке напряженности электрического поля» Е , не имеющее отношения к скорости чего-либо. Это можно сделать на основании энергодинамики как единой теории реальных процессов переноса и преобразования любых форм энергии [2]. Эта теория учитывает неравномерность распределения в пространстве материального носителя какой-либо формы энергии, в том числе электрического заряда Θ_е. Наиболее кратко влияние этой неравновесности можно выявить, учитывая отклонение локальной плотности заряда ρ _е ( r , t ) как функции пространственных координат (радиус-вектора точки поля r ) и времени t от ее средней величины р e ( t ) . Используя известное выражение для нахождения центра r i какой-либо экстенсивной величины r i = © i 'Jp i ( r , t ) r dV = © i ^-1J р i ( t ) r dV , отклонение рассматриваемой системы от внутренне равновесного (однородного) состояния характеризуется возникновением некоторого «момента распределения»

Z е =^[p е ( Г , t ) — P e ( t ) ] r dV                                         (1)

где Δ r _е = r _е – r _ео – вектор смещения центра величины Θ_е при отклонении распределения заряда от однородного. Отсюда следует, что в единице объема проводника момент распределения Z _е V =

ρ_е Δ r _е , т.е. плотность свободного заряда в нем выражается дивергенцией момента его распределения:

ρ е = ∇⋅ Z е V .

Нетрудно заметить, что это выражение соответствует известному из электродинамики соотношению ρ_е = ∇⋅ D , где D = ε_о Е – вектор индукции (электрического смещения), пропорциональный напряженности электрического поля Е . Отсюда следует, что закон (теорема) Гаусса ρ_е = ε_о ∇⋅ Е , выражающий связь между абстрактным понятием «потока напряжённости» электрического поля сквозь замкнутую поверхность и зарядом Θ_е в объёме, ограниченном этой поверхностью, является прямым следствием неоднородного распределения в пространстве свободного заряда. Заменяя на этом основании Z _е V в (2) на ε_о Е , имеем:

Θ е = ∫ρ е dV = ε о ∫ ∇⋅ Е dV .

Переходя в этом выражении на основании теоремы Гаусса от интеграла по объему к интегралу по произвольной замкнутой поверхностности f и полагая эту поверхность сферической f = 4π r ² с радиусом r , имеем:

Θ_е = ε_о ∫div Е dV = 4πε_о ∫ Е _е dr ².

Отсюда непосредственно следует, что модуль Е вектора напряженности электрического поля Е выражается соотношением:

Е = Θ_е/4πε_о r ².

Учитывая, что в стационарных условиях Е ≡ – ∇ φ = – d φ/ d r , электрический потенциал φ = φ( r ) в любой точке сферы с радиусом r ≥ r _с может быть найден интегрированием (5) в пределах от r _с до r путем разделения переменных φ и r :

φ( r ) – φ ( r с ) = (Θ е /4πε о )(1/ r с – 1/ r ). ( r ≥ r с )

При этом модуль F _е силы взаимодействия F _е = Θ_е΄ Е между пробным Θ_е ' и «полеобразующим» зарядом Θ_е, соответствует экспериментальному закону Кулона:

F е = | F е | = Θ е Θ е ' /4πε о r ² .

Таким образом, закон Кулона является прямым следствием неоднородного распределения заряда в системе «полеобразующих» тел, поскольку любая совокупность взаимодействующих зарядов, разделенная в пространстве, уже представляет собой неоднородную систему. Справедливость этого положения становится совершенно очевидной, если в законе Кулона (7) положить пробный заряд Θ_е ' равным нулю. Тогда поле F _е изчезнет независимо от величины заряда Θ_е. Это обстоятельство еще раз подчеркивает справедливость основного вывода энергодинамики, согласно которому силовые поля (и в том числе гравитационного поле) создается не массами, зарядами и токами самими по себе, а их неравномерным распределением в пространстве.

Обсуждение результатов

Из (7) непосредственно следует, что область справедливости закона Кулона ограничена тем минимальным расстоянием, на которое могут быть сближены любые два заряженных тела. Это вполне соответствует условиям эксперимента Кулона с крутильными весами, в которых использовались хоть и малые, однако имеющие конечные размеры заряженные шарики. Следовательно, такое ограничение на область применимости закона Кулона не могло быть обнаружено экспериментально.

В качестве начала отсчета потенциала φ( r ) естественно принять минимальное расстояние r – r _с = 0, на которое могут быть сближены заряды Θ_е и Θ_е ' , при котором φ ( r _с) = 0. Однако выражение (5) остается справедливым и в том случае, когда заряженные тела могут проникать друг в друга. Действительно, когда две совокупности зарядов расположены концентрически одна внутри другой (так, что r = r _с = 0), то потенциал тела, находящегося в центре заряженной сферы, и сила его взаимодействия равны нулю независимо от величины самих зарядов (Р. Фейнман и др., 1976).

Далее, из выражения (6) следует, что при r = rс ни потенциал φ, ни энергия электростатического поля не обращаются в бесконечность, поскольку в телах с конечной плотностью электрического заряда ρе при rс→ 0 и Θе→ 0. Тем самым открывается новый взгляд на «проблему расходимостей», которая порождена, как выясняется, лишением материальных частиц их неотъемлемого свойства – протяженности в пространстве.

Наконец, теоретически найденный закон (6) дает естественное начало отсчета электростатической энергии ( r = r _с), делая это начало не зависимым от знака зарядов. Это исключает возможность применения в классической и квантовой электродинамике «калибровок» различного типа и делает решение задач электростатики единственным.