Теоретико-игровая модель, характеризующая взаимодействие врача и пациента

Цель исследования – построение теоретико-игровой модели, характеризующей взаимодействие лечащего врача и его пациента, анализ оптимального решения соответствующей антагонистической игры и разработка мер по достижению истинной цели здравоохранения Российской Федерации, т. е. по обеспечению максимально возможного качества медицинской помощи.

Исследование требует знания основ теории игр, приведенных в основополагающих публикациях по теории игр, например, в таких, как статьи Дж. фон Неймана (Neumann, 1928), Э. Бореля (Borel, 1921, 1924, 1927), монография Дж. фон Неймана и О. Моргенштерна (Neumann, Morgenstern, 1944), ее русскоязычный перевод (Нейман, Моргенштерн, 1970), монография

Д. Блекуэлла и М.А. Гиршика (Blackwell, Girshick, 1954), ее русскоязычный перевод (Блекуэлл, Гиршик, 1958), учебники Н.Н. Воробьева1, а также сведений о неоклассических антагонистических играх, представленных, например, в наших публикациях – статье (Сигал, Блыщик, 2005) и учебном пособии2.

Посещение в качестве пациента отечественных учреждений здравоохранения зачастую приводит к мнению, что качество оказания медицинской помощи оставляет желать лучшего, а российское здравоохранение, являющееся наиболее важной и ресурсоемкой социально значимой отраслью экономики страны, характеризуется наличием проблем и недостаточностью уровня качества функционирования. Встает вопрос о том, какие меры следует принять для того, чтобы достичь истинных целей здравоохранения России.

В процессе, когда пациент поступает в учреждение здравоохранения, имеются две стороны, вступающие во взаимодействие: первая сторона – это медицинские работники, которые должны оказать медицинскую помощь пациенту, вторая – пациент, нуждающийся в медицинской помощи. При этом ключевой участник – врач, так как именно он является главной фигурой, оказывающей медицинскую помощь.

Особенности, характеризующие взаимодействие врача и пациента, могут быть проанализированы за счет рассмотрения моделей этого взаимодействия. Рассмотрим простейшую модель «врач – пациент» , которая представляет собой неоклассическую антагонистическую игру, а именно игру с нулевой суммой, заданную частично известной платежной матрицей размерности 2 х 2.

Антагонистической игрой (АИ) будем называть конечную игру r R ={ I , J , R ) двух лиц (игроков) с нулевой суммой, где I ={1; 2;.; i;...; k } - множество всех чистых стратегий первого игрока (игрока 1);

J ={1; 2;.; j;.; n } - множество всех чистых стратегий второго игрока (игрока 2);

R = R k х n = ( r ij ) - полностью или частично известная платежная матрица игры r R ;

r ij – выигрыш первого игрока в ситуации ( i ; j ), т. е. в случае, когда в партии игры он применил свою чистую стратегию i , а второй игрок – свою чистую стратегию j .

Итак, простейшую модель «врач – пациент» задают следующие элементы:

• 1.    L = {1; 2} - множество игроков, где игрок 1 - врач, игрок 2 - пациент;

• 2.    S 1 = {1; 2} - множество чистых стратегий первого игрока, где первая стратегия ( i = 1) означает, что врач обладает высоким уровнем квалификации (т. е. профессиональной компетентности); вторая стратегия ( i =2) - врач обладает недостаточным уровнем квалификации; S 2 = {1; 2} -множество чистых стратегий второго игрока, где первая стратегия ( j = 1) означает, что пациент характеризуется высокой степенью доверия к врачу, вторая стратегия ( j = 2) - пациент характеризуется низкой степенью доверия к врачу;

• 3.    оба игрока стремятся максимизировать значение вероятности достижения успеха (т. е. своевременного полного выздоровления пациента);

• 4.    r ij – вероятность достижения успеха в ситуации ( i ; j );

• 5.    врач назначает пациенту лечение, а пациент или полностью придерживается лечения, назначенного врачом, если характеризуется высокой степенью доверия к врачу, или не придерживается назначения врача, если характеризуется низкой степенью доверия.

Подчеркнем, применение неправильного лечения приводит к нежелательным последствиям: пациенту не удается своевременно полностью выздороветь, возможно проявление последующих осложнений и т. д.

В общем случае платежная матрица этой АИ имеет следующий вид:

R = R 2X2 = ( г , ) =Q   “) ,                              (1)

где параметры обязаны удовлетворять соотношениям

0< a <  b < 1.                                      (2)

Здесь использовались следующие естественные предположения, которые назовем базовыми предпосылками простейшей модели «врач – пациент» :

• 1.    если врач обладает высоким уровнем квалификации, а пациент характеризуется высокой степенью доверия к врачу, то вероятность достижения успеха равна Г 11 = 1;

• 2.    если врач обладает высоким уровнем квалификации, а пациент характеризуется низкой степенью доверия к врачу, то вероятность достижения успеха равна Г 12 = а;

• 3.    если врач обладает низким уровнем квалификации, а пациент характеризуется высокой степенью доверия к врачу, то вероятность достижения успеха равна Г 21 = a;

• 4.    если врач обладает низким уровнем квалификации, а пациент характеризуется низкой степенью доверия к врачу, то вероятность достижения успеха равна r 22 = b, при этом справедливы соотношения (2).

Заданная АИ, согласно классификации информационных ситуаций относительно неизвестных значений элементов платежной матрицы1, представляет собой неоклассическую АИ2, заданную в поле второй информационной ситуации, когда неизвестные значения элементов платежной матрицы выступают как заданные функции одной или нескольких переменных, в данном случае параметров a, b.

Найдем оптимальное решение АИ, заданной платежной матрицей (1), для чего необходимо выполнить следующие этапы.

Шаг 1. Вычисление нижней чистой цены игры а = max а, = max min ru: i                     i а1 = min r1;- = min{1; a} = a, а2 = min r2j = min{a; b} = a, а = max а, = max{a; a} = a.

j        j                                                  j        ji

Шаг 2. Вычисление верхней чистой цены игры В = min В,- = min max ri;-: j      j         j       i'

B1 = max гг1 = max{1; a} = 1, B2 = max ri2 = max (a; 6} = b, В = miaB, = mia{1; 6} = b. j                                                       ji

Шаг 3 . Проверка наличия седловой точки.

Если выполнилось равенство α= β, то такая АИ является игрой с седловой точкой и имеет решение в чистых стратегиях. Если справедливо строгое неравенство α < β, то такая игра не имеет решения в чистых стратегиях, при этом необходимо продолжить решение заданной игры без седловой точки, т. е. найти решение заданной АИ в смешанных стратегиях игроков.

Очевидно, с учетом справедливости соотношений (2) для рассматриваемой простейшей модели «врач – пациент» справедливы соотношения α = a < b = β. Следовательно, простейшая модель «врач – пациент» представляет собой игру без седловой точки.

Шаг 4 . Вычисление цены рассматриваемой АИ, а также вычисление значений компонент

оптимальных смешанных стратегий игроков.

Воспользуемся хорошо известными формулами поиска оптимального решения игры с

двумя стратегиями. Согласно этим формулам, оптимальное решение АИ, заданной платежной

матрицей (1), имеет следующий вид:

,„    Г11Т22 -Г 12Т21      1-b-a-a     b-a²

V = ---------- = ------ = -----, rii-ri2—r2i+r22   1-a-a+b   1-2-a+b

р* = ---Г22-^--- =  b-a , p« = 1-p« = 1-  b — a r 1   ^11-^12-^21+^22   1-2-a+b r2        r 1        1-2-a+b

9 * = ---Г 22-12--- =   ^b-a , 9 * = 1 - 9 * = 1 -   ^b-a

¹¹    ^ 11 -^ 12 -^ 21 +^ 22     1-2-a+b ^{Z2          Z1}         1-2-a+b

1-a

1-2-a+b , 1-a

1-2-a+b ,

где V R

b-a2...

: —--цена АИ, P = (Pi; р2) =( q = № 92) =(-^

1-a

1-2-a+b,

- оптимальная смешанная стратегия игрока

1,

1-a

1-2-a+b

– оптимальная смешанная стратегия игрока 2.

Найденному оптимальному решению можно дать следующую интерпретацию: b-a²

V R =     _a+b - это оценка значения доли успешных случаев;

р * = Ь^-°_+ь - оценка значения доли высококвалифицированных врачей;

9 1 = 1-2-а+ь — оценка значения доли пациентов, характеризующихся высокой степенью дове-

рия к врачу.

С учетом справедливости соотношений (2) и свойств оптимальных решений АИ справедливы следующие соотношения:

ao0;

р * = 9 * = ^b-a  <   ^1-a  = р * = q * ^ 0 < р * = q * < 0,5, 0,5 < р * = 9 * < 1.

1   41   1-2-a+b   1-2-a+b r2   42        ri 41              Г2   42

В таблице 1 приведены примеры значений величин для нескольких пар значений параметров a, b, когда эти значения отличаются друг от друга несущественно: V * = _гД-^2_ь .р * = q * = _г_b-” _ь , р * = 1-a

⁹2 = 1-2-a+b

В таблице 2 – примеры значений этих величин для нескольких пар параметров a, b, когда эти значения различаются существенно.

Таблица 1 - Примеры значений величин V R , р * = q * , р * = q * , когда значения параметров a, b различаются несущественно

Table 1 - Examples of Values of the Quantities V R , p * = q * , p * = q * , When the Values of Parameters a, b Differ Insignificantly

a	b	V r	p i = q *	P i. = q *
0,3	0,4	31/80 = 0,3875	1/8 = 0,125	7/8 = 0,875
0,4	0,5	17/35 » 0,4857	1/7 « 0,1429	6/7 « 0,8571
0,5	0,6	7/12 « 0,5833	1/6 « 0,1667	5/6 « 0,8333
0,6	0,7	17/25 = 0,68	1/5 = 0,2	4/5 = 0,8
0,7	0,8	31/40 = 0,775	1/4 = 0,25	3/4 = 0,75
0,8	0,9	13/15 « 0,8667	1/3 « 0,3333	2/3 « 0,6667

Таблица 2 – Примеры значений величин ^VR , ^p1 = ^q1 , ^p2 = ^q2 , когда значения параметров a, b различаются существенно Table 2 - Examples of Values of V R , p * = q * , p * = q * , When the Values of Parameters a, b Differ Significantly

a	b	v r	p i = q *	P * = q *
0,3	0,6	0,51	0,3	0,7
0,4	0,7	0,6	1/3 « 0,3333	2/3 « 0,6667
0,5	0,8	11/16 = 0,6875	3/8=0,375	5/8 = 0,625
0,6	0,9	27/35 « 0,7714	3/7 « 0,4286	4/7 « 0,5714

Рассмотренная простейшая модель «врач – пациент» и анализ решения соответствующей АИ позволяют прийти, в частности, к следующим выводам.

• 1.    Доля успешных случаев (когда удалось добиться своевременного полного выздоровления пациента) зависит от значений двух параметров: первый - значение r 12 = a вероятности достижения успеха в случае, когда врач обладает высоким уровнем квалификации, а пациент характеризуется низкой степенью доверия к врачу, которое совпадает со значением r 21 = a ; второй параметр - значение r 22 = b вероятности достижения успеха в случае, когда врач обладает низким уровнем квалификации, а пациент характеризуется низкой степенью доверия к врачу.

• 2.    Значения параметров должны удовлетворять соотношениям 0< a <  b < 1 .

• 3.    Значение р * = т—ддд доли высококвалифицированных врачей и значение q * = ^—^ доли

• 4.    Значение vr = J^-"^ оценки среднего значения доли успешных случаев всегда удовлетворяет неравенствам а <  v_r < ь .

• 5.    Увеличение значения одного из параметров a , b при неизменности значения другого из них влечет увеличение значения V R .

• 6.    Увеличение значения р * = Д^-" , т. е. повышение уровня квалификации врачей, влечет возрастание значения vr. Аналогично - увеличение значения q * = Д^-" , т. е. повышение степени доверия пациентов к врачам, влечет возрастание значения vr.

• 7.    У пациентов имеются не только права, но и обязанности, прежде всего по соблюдению назначений лечащего врача.

пациентов, характеризующихся высокой степенью доверия к врачу, всегда меньше 0,5.

Хотя полученные выводы в существенной мере являются следствиями базовых предпосылок простейшей модели «врач – пациент», их суть не противоречит ни здравому смыслу, ни фактическому положению дел.

Заметим, рассмотренная АИ, характеризующая взаимодействие лечащего врача и его пациента, не является непосредственной моделью соответствующего процесса, так как в этом случае отсутствует конфликт интересов: и врач, и пациент стремятся добиться своевременного полного выздоровления пациента. Однако во многих случаях проявляется конфликт поведения врача и пациента.

Исследование позволяет прийти к следующим выводам.

• 1.    Повышение уровня квалификации врачей влечет увеличение доли успешных случаев взаимодействия врача и пациента, т. е. случаев, когда удалось добиться своевременного полного выздоровления пациента.

• 2.    Повышение степени доверия пациентов к врачам влечет увеличение доли успешных случаев взаимодействия врача и пациента.

• 3.    Необходима работа общества и государства, направленная на повышение уважения к сотрудникам учреждений здравоохранения, увеличение общественной значимости их труда. Возможно, с этой целью целесообразно выработать государственную программу.

• 4.    Необходимы существенные изменения в подготовке будущих кадров для здравоохранения (прежде всего врачей). По сути, требуются значимые изменения во всей отечественной системе образования, в частности медицинского.

Реализация предлагаемых мер обязательна для достижения истинных целей функционирования здравоохранения.