Testovi ranga

Vrsta rada: Pregledni rad

Primljen: 08.08.2017; Prihvaćen: 15.12.2017

Rezime : Testovi ranga su najvažniji metodi neparametarske statistike. U uvodnom delu bilo je diskusije o parametarskim i neparametarskim metodama i ustanovljeno je da testovi ranga predstavljaju jedne od najvažnijih neparametarskih metoda. Zatim su u glavnom delu opisani Man Vitnijev U test, Kraskal Volisov test i Frimenov test, koji predstavljaju najpoznatije i najćešće korišćene testove ranga. Objašnjen je postupak testiranja pomoću navedenih testova i kroz primere je pokazana široka primena ovih testova, posebno u medicini, psihologiji, itd.

Ključne reči : metode, testovi, rang, hipoteze, uzorak.

1.    Uvod

Na početku ćemo navesti osnovne pojmove statistike koji su neo-phodni za dalji rad: populacija ili osnovni skup Ω je skup svih pojedinačnih objekata na kojima se izvesna pojava posmatra; elementi ili jedinice populacije ω su poje-dinačni slučajevi posmatrane mase; obeležje X je karakteristika svakog elementa koji se posmatra [Stojanović, 2012, 135-136]; uzorak je deo populacije i na njemu posmatramo izvesnu pojavu [Petrović, 2006, 14-15].

Poznato je u ranijim statističkim istraživanjima da mnoge pojave prate najčešće normalnu raspo-delu.1 Za ispitivanje ovih pojava koriste se parametarske metode. Kod ovih metoda podatke koje ispi- tujemo su kvantitativno merljivi. Primena parametarskih metoda zahteva ispunjenje niza striktnih uslova, jedan od tih uslova je i poznavanje tipa funkcije raspodele [Petrović, 2006, 50-51]. Međutim, mnoge pojave u sferi društvenih nauka nisu kvantitaivno merljivi, podatke koje ispitujemo javljaju se u obliku nominalne ili ordinalne merne skale2 i ne prate normalnu raspodelu. Za ispitivanje ovih pojava koristimo neparametarske metode.

U strukturi neparametarskih metoda najvažnije mesto zauzimaju neparametarski testovi, a u okviru njih testovi ranga. U daljem radu biće reči o testovima ranga, urađena su istraživanja u okviru primera. Najpre će biti objašnjeni postupci testiranja pomoću testova ranga.

Pokazano je da neparametarski testovi, tj. testovi ranga imaju široku primenu posebno u medicini, biologiji, psihologiji, itd.

2.    Testovi ranga

Testovi ranga su najpoznatiji testovi za testiranje podataka koji nisu kvantitativno merljivi. Kod ovih testova podaci se prvo rangiraju pa se analiza fokusira na rangovima. Testiranje se vrši u pet koraka [LaMorte, 2017, 3-4].

Sastavljamo hipoteze, najpre nultu hipotezu H 0 , i ona je hipoteza o nepostojanju razlika, zatim sasta-vljamo alternativnu hipotezu H 1 i ona je suprotna nultoj hipotezi [Petrović, 2006, 30-31].

Kritična vrednost C predstavlja skup tačaka za koje se hipoteza H 0 odbacuje [Popović, 2009, 25-26].

Nivo značajnosti, prag značajnosti, greška prve vrste α predstavlja verovatnoću odbacivanja nulte hipoteze u slučaju da je tačna [Merkle, 2002, 54-55].

Postupak provere nulte hipoteze naziva se statistika test [Stojanović, 2012, 186-187].

• 2.1.    Man Vitnijev U test

Ukoliko se u nekom istražvanju dobijaju podaci koji znatno odstu-paju od normalnog rasporeda ili su dati opisno, ali se mogu rangirati i ukoliko su uzorci mali, za dato istraživanje najbolje je primentiti jedan od najjačih i najjedno-stavnijih neparametarskih testova - Man Vitnijev U test. Man Vitnijev U test koristimo za testiranje da li dva nezavisna uzorka potiču iz iste populacije [LaMorte, 2017, 4-5].

U prvom primeru za testiranje novog leka koristićemo Man Vitnijev U test. Testiraju se dva nezavisna uzorka.3

Primer 1 . Razmotrimo kliničko ispitivanje dizajnirano da istraži efikasnost novog leka za smanjenje simptoma astme kod dece. Ukupno n=10 učesnika su nasumično primali novi lek ili neki već probani lek. Učesnici su zamoljeni da zabeleže broj epizoda kratkog daha u periodu jedne nedelje nakon primanja terapije. Podaci su prikazani tabelom:

Probani lek	7	5	6	4	12
Novi lek	3	6	4	2	1

Da li postoji razlika u broju epizoda kratkog daha učesnika koji su pri-mili lek i učesnika koji su primili već probani lek?

U ovom primeru, podaci u uzorku ne prate normalnu raspodelu. Osim toga veličina uzorka je mala ( n 1 =n 2 =5 ) tako da je Man Vitnijev U test odgovarajući za ovo ispi-tivanje. Za ovo testiranje uzimamo nivo značajnosti α =0.05.

U prvom koraku postavimo hipoteze. Prag značajnosti smo već izabrali i on iznosi α =0.05.

H 0 : Broj epizoda kratkog uzdaha učesnika je jednak,

H 1 : Broj epizoda kratkog uzdaha učesnika nije jednak.

U drugom koraku odabiramo test statistiku i rangiramo podatke.

Rekli smo da je uzorak mali i da ne prati normalnu raspodelu i za opis datih podatka najbolji je Man Vitnijev U test. Najpre formirajmo tabelu sa rangovima.

		Objedinjeni uzorci		Rangovi
Probani lek	Novi lek	Probani lek	Novi lek	Probani lek	Novi lek
7	3		1		1
5	6		2		2
6	4		3		3
4	2	4	4	4.5	4.5
12	1	5		6
		6	6	7.5	7.5
		7		9
		12		10

U prve dve kolone nalaze se dati podaci, u druge dve kolone nalaze se podaci poređani od najmanjeg do najvećeg i u poslednje dve kolone nalaze se rangovi za odgovarajuće podatke. Kao što vidimo najma-njem podatku 1 dodeljen je naj-manji rang 1, sledećem najmanjem podatku 2 dodeljen je rang 2 i tako dalje. Primetimo da se na 4-om i 5-om mestu nalaze jednake vred-nosti, ovim podacima dodeljena je sredina brojeva 4 i 5, tj. dodeljen je rang 4.5. Isto tako važi i za 7-mo i 8-mo mesto. I najvećem podatku 12 dodeljen je najveći rang 10. Suma ranga u grupi probani lek je R 1 = 37 , a u grupi novi lek je R 2 =18 i primetimo da je R 1 +R 2 =37+18=55 , tj. da je suma oba ranga uvek jednaka sa:

n ( n + 1) _ 10(10 + 1) _ 10 - 11 _ 55

• 2 = 2 = 2 =

U trećem koraku određujemo kritičnu oblast. Na osnovu datih podataka n i =5 i n 2 =5 i a=0.05 odredjujemo iz tablice kritičnu oblast. U ovom slučaju kritična vrednost je 2. Test statistiku kod Man Vinijevog U testa označavamo sa U. Nultu hipotezu odbacujemo ako je U < 2.

U četvrtom koraku računamo test statistiku. Test statistika Man Vintijevog U testa, rekli smo da se označava sa U, je statistika U 1 ili U 2 , u zavisnosti od toga da li je manja vrednost statistike U 1 ili U 2 . U 1 i U 2 dati su sledećim formu-lama:

n • ( n + 1)

U 1 - n i n 2 +---- 2 R 1

n • ( n + 1)

U 2 — n 1 n 2 + —²— 2 2 R 2

gde je R 1 suma rangova za prvu grupu, a R 2 suma rangova za drugu grupu.

Za ovaj primer je,

U. — 5 • 5 +--37 — 3

U, — 5 • 5 + 5-6 - 18 — 22

U našem primeru U=3 (jer je U 1 2 ).

I peti korak je zaključak. Kako nultu hipotezu odbacujemo u korist nenulte hipoteze ako je U<2, u našem slučaju je U=3>2 to ne odbacujemo nultu hipotezu. Dakle, broj epizoda kratkog uzdaha učesnika je jednak.

• 2.2.    Kraskal Volisov test

  Popularan neparametarski test za poređenje među više od dva nezavisna uzorka je Kraskal Volisov test. Test se koristi za ispitivanje nulte hipoteze da k(k>2) nezavisnih uzoraka pripadaju istom osnovnom skupu [LaMorte, 2017, 5-6].

U drugom primeru za testiranje anaerobnog praga koristićemo Kraskal Volisov test. Testira se više nezavisnih uzoraka.

Primer 2 . Trener je zainteresovan za poređenje anaerobnog praga kod vrhunskih sportista. Anaerobni prag je najveći intezitet rada, između produkcije i eliminacija lak-tata (soli mlečne kiseline). Sledeći podaci su anaerobni prag za atleti-čara, biciklistu, plivača i skijaša.

Atletičar	Biciklista	Plivač	Skijaš
185	190	166	201
179	209	159	195
192	182	170	180
165	178	183	187
174	181	160	215

Da li postoji razlika u anaerobnim pragovima različitih grupa sportista?

Rešenje:

Korak 1 : Postavimo hipoteze uz nivo znacajnosti a=0.05:

H 0 : Ne postoji razlika u ana-erobnim pragovima između grupa sportista;

H 1 : Postoji razlika u anaerobnim pragovima između grupa sportista.

Korak 2 : Formiramo tabelu sa rangovima. Podatke poređamo od najmanjeg do najvećeg, pa zatim tako raspoređenim podacima dode-ljujemo odgovarajući rang.

				Obedinjeni uzorci				Rangovi
A	B	P	S	A	B	P	S	A	B	P	S
185	190	166	201			159				1
179	209	159	195			160				2
192	182	170	180	165				3
165	178	183	187			166				4
174	181	160	215			170				5
				174				6
					178				7
				179				8
							180				9
					181				10
					182				11
						183				12
				185				13
							187				14
					190				15
				192				16
							195				17
							201				18
					209				19
							215				20

Suma svih rangova će uvek biti jednaka n • (n + 1)

Korak 3 : Kritičnu vrednost nala-zimo u tablici kritičnih vrednosti za

X2 raspodelu4 za df = k -1 = 4-1 = 3 i a=0.05.

Kritična vrednost je 7.81 i konačna odluka je odbiti H 0 ako je H ≥ 7.81.

Korak 4 : Računamo test statistiku:

R , + R ₂ + R 3 + R 4 = 46 + 62 + 24 + 78 = 210

H =

n • ( n + 1 )

k ²

Z R j l - 3 • ( n + 1 ) = j =1 n j J

20 • 21

( 46 2 62 2 24 2 78 2

•I — + — + — + —

- 3 • 21 = 9.11

Korak 5 : Zaključak. Odbacujemo H 0 zbog toga što je 9.11 > 7.81. Dakle, postoji razlika u anaerobnim prago-vima između grupa sportista.

2.1. Fridmenov test

Ukoliko posmatramo problem ana-lize više zavisnih uzoraka⁵, a poda-ci se mogu meriti na ordinalnoj mernoj skali, možemo koristiti Fridmenov test radi ispitivanja nulte hipoteze da k uzoraka pripadaju istom osnovnom skupu [Žižić, Lovrić, & Pavličić, 2003, 110111].

Postupak Fridmenovog testa sastoji se u tome da se rezultati najpre razvrstaju u tablici sa n redova i k kolona. Redovi odgovaraju poje-dinim ispitanicima (ili grupama ispitanika), a kolone predstavljaju eksperimentalne ishode [Žižić, Lovrić, & Pavličić, 2003, 110-111].

Primer 3: Osmoro ispitanika ispiti-vana su u 4 eksperimentalne situacije: ispitivana je količina upamćenog materijala nakon četiri različite duge pauze. Rezultati su dole prikazani (broj u tabeli

označava količinu upamćenog materijala).

Ispitanici	A	B	C	D
1	4	5	9	3
2	8	9	14	7
3	7	13	14	6
4	16	12	14	10
5	2	4	7	6
6	1	4	5	3
7	2	6	7	9
8	5	7	8	9

Postoji li statistički značajna razlika između količine upamćenog materijala u te 4 eksperimentalne situacije? Upotrebite Fridmenov test.

Rešenje:

Korak 1 . Najpre postavljamo hipo-teze uz nivo znacajnosti a =0.05: H 0 : Četiri uzoraka potiču iz istog osnovnog skupa;

H 1 : Četiri uzoraka ne potiču iz istog osnovnog skupa.

Korak 2 . Test statistika je Fridmenov test. Formiramo tabelu rangova:

Ispitanici Količina upamćenog materijala A B C D E 1 2 3 4 1 2 2 3 4 1 3 2 3 4 1 4 4 2 3 1 5 1 2 4 3 6 1 3 4 2 7 1 2 3 4 8 1 2 3 4 Suma rangova Ri 14 20 29 17 Ri2 196 400 841 289 1726 važan segment savremenih statis-tičkih tehnika.