Тип систем дифференциальных уравнений, содержащих конечные соотношения

ТИП СИСТЕМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ, СОДЕРЖАЩИХ КОНЕЧНЫЕ СООТНОШЕНИЯ

Рассмотрена система изт- s квазилинейных дифференциальных уравнений первого порядка, которая имеет s конечных соотношений на т функции и n переменных. Найдены характеристики этой системы. Приведены примеры квазилинейных систем уравнений пластичности, содержащих конечные соотношения; и найдены их

характеристики.

Во многих работах, например [1. С. 193], определяется тип систем квазилинейных дифференциальных уравнений, но ничего не говорится об определении типа систем дифференциальных уравнений, содержащих конечные соотношения между искомыми функциями, которые часто встречаются, например, в теории пластичности. В данной статье мы восполняем этот пробел и приводим методику определения типа таких систем уравнений.

1. Рассмотрим систему из m - s квазилинейных дифференциальных уравнений и s конечных соотношений на функции u i ( x 1 ,...,x_n ), i = 1,2,... m

Я

XXa^     = bj,    (j = 1,...,m-5)

i=1 k=1

f a(u1,..., um ) = 0, (a = 1,..., 5)

где a j ⁾ и b j - функции от u 1 ,...,u_m и x 1 ,...,x n , f ^a -некоторые гладкие функции. Поскольку эта система есть система первого порядка, то задача Коши сводится к заданию начальных значений функций u 1 ,..., u_{m — 5} на некоторой поверхности щ 1 ( x 1 ,..., x n ) = 0 .

Введем новые независимые переменные по формулам x ' k = щ ^k ( Х 1 ,..., X n ) , ( k = 1,..., n ) ,            (3)

где функции щ ² ,..., to ⁿ выбраны таким образом, чтобы формулы (3) можно было разрешить относительно x 1 ,..., x_n . Выражая производные по старым переменным

X f ^^ i =1 д x \ д x_t

t = 1,..., n ; a = 1,..., 5 . (5)

В системе (4), (5) последние s(n - 1) уравнений есть линейная комбинация предыдущих, поэтому их можно исключить. В результате получим систему т уравнений

на т функций —^L, i = 1,..., m . Эта система дифферен- d x ' 1

циальных уравнений разрешена тогда и только тогда, ког

да определитель где

I ^c ij\ = ⁰

через производные по новым переменным, получим

d u i -А д u i dto ¹ д x_k      д x ' _t д x_k

Подставим эти соотношения в уравнения (1) и выпи

шем только те выражения, которые содержат производные dui дx '1 :

mn

XX

i =1 k =1

,( k )

д ui dto1 ---------------- а --------------- дx '1 дxk

= b j ,

j = 1,..., m — 5 .  (4)

Теперь продифференцируем уравнения (2) по переменным x 1 ,..., x_n и выпишем только те выражения, кото- д u i рые содержат производные -— :

d x '1

c ij

n

X a j ⁾ k =1

dto ¹

d x_k ’

( i = 1,

m ;

y, f a dto ¹

X i , i =1         d x t

— 5 + a

j = 1,..., m — 5 )

( t = 1,..., n ; a = 1,

Характеристическая поверхность системы квазилинейных дифференциальных уравнений (1), (2) определяется по уравнению (6).

2. В качестве первого примера определим тип системы дифференциальных уравнений, содержащих одно конечное соотношение. Рассмотрим двумерные уравнения теории пластичности с общим условием текучести:

дох дт . дт до

- + = 0,      + —- = 0.

d x d у d x d у

f ( о x , о y , т ) = 0 ⁽⁸⁾ где о _x , о _y , т - компоненты тензора напряжений; f- некоторая гладкая функция, остальные ее свойства несущественны для определения типа системы (7), (8).

Цля системы (7), (8) поставим задачу Коши, которая сводится к заданию функций о _x , о _у на некоторой кривой

Щ 1 ( x , У ) = 0 .                     (9)

Введем новые переменные x ' = to ¹ ( x , у ) , у = to ² ( x , у ) , где функция щ ² выбрана так, чтобы формулу (9) можно было разрешить относительно x , у .

Найдем производные по новым переменным: д д дю ¹    д дю ²

---- = ----л--+--л ------- , дx дx' дx ду' дx д д дю1   д дю2

—1 .

д у д x ' д у   д у ' д у

Подставим эти соотношения в уравнения (7). В ре зультате получим

доx дю1 + доx дю2 + дx' д x   ду' дx дт дю1 дт дю2

+1

д x' ду ду' ду дт дю1 дт дю2

-------л--+--Л ----------- дx' дx ду' дx доу дю1 доу дю2 „

+        +— дx' ду    ду' ду

Теперь продифференцируем уравнение (8) по х и у:

„ f до дю ¹ до дю ² '

f . I x++

| дx' дx   ду' дx f доу дю1 доу дю2 ^

+ f 21

| дx' дx ду' дx f дт дю1 дт дю2 ^ ,

+ f 31--+

|д x ' д x д у ' д x

„ f до дю ¹ до дю ² ^

f ₁ I + x +

| дx' ду   ду' ду f до дю1 до дю2 )

+ f 2 1    ^у + ^у----

| д x' д у    д у' д у

„ f дт дю ¹ дт дю ² ^

+ f о I---1---—

I дx' ду ду' ду где f '1

К _f ^д _f 'Л , f 2           ’ f 3         .

до до дт xy

Задача Коши для системы (7), (8) разрешима

в том

случае, если по уравнениям (10), (11), (12) мы сможем однозначно выразить производные

до

x дт' ’

^, Ж .Эта д x' д x '

система имеет вид дог дю1 дог дю2 дт дю1 дт дю2 x+ x++ дx' дx ду' дx   дx' ду ду' ду дт дю1 дт дю2 до, дю1 до, дю2 +       + у + у дx дx ду’ дx   дx’ ду   ду’ ду

„ f до, дю ¹ до, дю ² ^

f 1 "xrx "3—+ -z-^-—— +

I д x" д x    д у' д x I

.. f до дю ¹ до дю ² )

+ f ₂\ — ’ --+ — --- +

I д x' д x    д у' д x I

₊ f , | дт дю ¹ + дт дю ² ) о

³ 1 д x ' д x д у ' д x I

„ f до, дю ¹ до, дю ² ^

f'      ---1

ф дx ’ ду   ду ’ ду J f до дю1 до дю2 )

+ f 2\   у++

| дx" ду   ду" ду J f дт дю1 дт дю2 ^

+ f 3\--+—

I д x" д у д у д у ₂

По виду системы (13) очевидно, что одно из двух последних уравнений может быть отброшено. Окончательно получаем; что задача Коши не может быть решена, если определитель д системы (13) равен нулю:

(Ю)

	дю 1        0       дю 1
	д x              д у
	0       дю 1      дю 1
д —		— 0
	д у      д x	,
	дю 1       дю 1      дю 1
	J 1         J 2         J 3 д x      д x      д x
дю 1 дю 1      дю 1 дю 1		дю 1 дю 1 „
или Д — f л-	----j\----f	2----— — 0
3	д x д у     1 д у д у	д x д x

Это условие определяет характеристики системы (7), (8).

Поскольку ^^—ду_ — - dy , то получим уравнения дx дю1 dx характеристик в традиционной форме:

f '₃ dxdy + f \( dx ) ² + f ' ₂ ( dy ) ² — 0 .

3. В качестве второго примера рассмотрим трехмерные статически определенные уравнения идеальной пластичности [2. С. 18]:

Эо, + д^-y + »т, — о, дx   ду    дz дт до дт x^ +   у + ^ — 0, дx   ду    дz axxz+*, + ао = 0. д x   ду   дz f 1 (о x , о у , о z , т - , т xz , т yz )— 0, f 2 (оx , оу , оz , т- , тxz , тyz ) — 0, f 3 (о x , о у , о z , т x, , т xz , т yz )— 0. где оx, оу, оz, тxy, тxz, т>z - компоненты тензора напряжений, f1, f2, f3 - некоторые гладкие функции. Определим тип этой системы. Для этого, аналогично п. 1, поставим задачу Коши: на поверхности ю1 (x, у, z) — 0 зададим функции оx, тxy, тxz. Введем новые переменные по формулам x'— ю1 (x, у, z), у = ю2( x, у, z),                    (16)

z ' — ю ³ ( x , у , z ).

где поверхности ю ² и ю ³ введены таким образом, чтобы система (16) была разрешима относительно переменных x , у , z . Проделав вычисления, аналогичные вычислениям в п. 2, получим систему (14), (15) в новых переменных:

до^ дю ^{1 дт}уу дю ¹ дт дю¹       „

—x---+ —xy■---+ xz----+... — 0, дx' д x    дx' ду    д x' д z дтxx дю1 доу дю1 дтyz дю1

lx' IT + lx^ Ц + lx^ IT дт дю1 дту2 дю1 дог дю1

xz-----+ —у;--+ —z-----+... — 0, дx' дx    дx' ду    дx' дz f ^ w + f,4 а™1+ dx dxd

+f. aaz м+f, a^y м + dx dxd

+f'" ^ — + f* ^ — +... = 0, 56

dx dxd dax dto1      5oу dto1      da dto1

f i x+ f y+ f+

1                            2

dx dу      dx dуd

+Л dto1 + ^ F.M + f ^ ^ +... = 0. 4                      56

dx dy      dx dyd

Mo м. i a° , м.

dx dzd

+f aoz м+f, аг, м + dx dzd

+ f '5 ^—+ f       + ... = 0.

d x' d z       d x' d z

H_x , H_y - коэффициенты Ламе. Для системы (18), (19) поставим задачу Коши, которая сводится к заданию функций a xx , a уу на некоторой кривой

Щ 1 ( x , у ) = 0 .                    (20)

Введем новые переменные    x' = to ¹ ( x , у ) ,

у = to ² ( x , y ) , где функция to ² выбрана таким образом,

чтобы формулу (20) можно было разрешить относительно x , y . Проделав вычисления, аналогичные вычислениям в п. 2, получим систему (18), (19) в новых переменных:

_H f d ^a xx Эш ^{1 y} ^ d x' d x

da„ Эш ² ^

—xx    + a dy' dx I ( xx

^^^^^B

^a yy

) (

d H_y dto ¹ d H Э® ² ^

---1---+ dx' dx dy dx I

( ^da xy ^dto 4.^da xy ^dto2 L      ( ^{d H}x ^dto 4.^{d H}x ^d ® ² ^

+h         +         + 2a         +         = 0, x I  dx  dy    dy'  dy  I xy I dx  dy    dy'  dy      ,

: i = 1,2,3 ,

d^a„ dto ¹ da 3to ² ^            (d H dto ¹ d H dto ²

yy+ yy + a -a           + dx  dy    dy   dy  I ( yy    xx )I dx  dy    dy'  dy

+H [daxy	dto 1 + da xy	dto 2 ^	[ d Hy dto1 !	d H y dto2 '	)= °,
+ H y I d x	d x    d y'	d x J 2 xy	I d x d x 1	d y' d x
	2 ( a xx -a	у [da- dto1 yy ) I d x d x	da„ dto 2 । xx d y' d x		(21)

( ^da dto ¹ 9° dto ² ^

■² ( a x, ^- a yy l l     yy     ⁺ ^ y      ⁺

I d x d x    d y d x I

где f" \=^—, Г '= ^f, f ‘ = ^f ит.д. 12  3

da x        da y        da _z

По виду этой системы очевидно, что шесть из девяти

последних уравнений могут быть отброшены. Окончательно получаем, что задача Коши не может быть реше

+ 8a„ [^ ^to L + ^da y 9® 1 ^= 0, I d x d x d y d x .

2 ( a -a ) ^[d a xx 5to 1 +da„ dto()

" yy | d x' d y    d y' d y J

на, если определитель системы равен нулю:

dto 1	dto 1	dto 1	0	0      0
d x	d у	d z
0	dto 1	0	dto 1	^  0 d z
	d x		д У
0	0	dto 1	0	dto 1       dto 1
		d x		d у     d z	= 0 (17)
f . 1 dto 1	f . 1 dffl 1	f . 1 dto 1 J 3 d x	f . 1 dto 1 J 4 d x	1 d® 1    1 d® 1 f 5       f 6 d x      d x
1 1 д x	J 2 d x
f -2 ^toL	f ,2 da^	f .2 d® 1	f ,2 d® 1 f 4 d x	2 dto 1     2 dto 1 f 5       f 6 d x      d x
J 1 d x	J 2 d x	J 3 d x
,,з dto1	,,3 dto1	,. 3 dto1 f 3-1	3 dto 1 f 4-x	3 dto 1      3 dto 1 f 5-х f 6-i
f 1Л”	f 2^-

[ ^da dto ¹ d²

-2 a -a     ^y — + — yy--

⁽ xx    ^yy ) | d x d y    d y ' d y

^[da xy ^dto’ 4.^da xy ^dto2 ^

^+8a xy I                          = ^0.

По виду системы (21) очевидно, что одно из двух последних уравнений может быть отброшено. Окончательно получаем, что задача Коши не может быть решена, если определитель д системы (21) равен нулю:

Уравнение (17) определяет характеристическую поверхность для системы (14), (15).

4. В качестве третьего примера рассмотрим систему дифференциальных уравнений пластичности в ортогональной криволинейной системе координат, содержащую одно конечное соотношение:

	н dto 1 Hy aT	0	dto Hx d У
д =	0	H ^to 1 Hx d у	dto 1 H y	= 0
	/           \ dto 1 2(a -a — ( xx yy ) d x	\ dto 1 - 2 a -a — ( xx yy ) d x	dto 1 8a — xy d x
или Д = 8 a xyHxHy dto d x		dto1      /            x (a xx -a yy )	TT г dto 1 dto 1 H ,2---+ x d у d у

^{+ 2} ( ^a xx ^-a yy ) ^Hy ²

dad

^H 17⁺1T ^{( a} -^-a ’ ^{) +}

+H — + 2a F- = 0, x dy da   dHx ,

H —yy- + —x a -a + x dy     dy ( yy xx )

dad

+Hy—xy + 2a= dxd

(a -a )² + 4 a ² = 4 k ² xx yy xy s

dto' dto1 --- dx dx

здесь ^a xx , ^a yy , ^a . - компоненты тензора напряжений;

Это условие определяет характеристики системы (18), (19).

_    _    dto ¹ d y     dy  

Поскольку---^- =  — , то получим уравнения dx dto1     dx характеристик в традиционной форме:

2(a -а Ан ^{2 [} dy ) -8a HH dy-lAa -a )я²=0.

^xx yy у I dx I xy ^x у dx xx yy ^x

Таким образом, выше приведена методика определения типа систем дифференциальных уравнений, содержащих конечные отношения между искомыми функциями.