Точки устойчивого равновесия

Изучение типов особых точек занимает видное место в теории дифференциальных уравнений. Многие ученые поднимали вопрос о классификации данных точек.

Вместе со всеми характеристиками существует еще одна – устойчивость точки равновесия. Одним из методов нахождения устойчивости точки можно считать прямой метод Ляпунова.

Рассмотрим метод Ляпунова для случая, когда начало координат является особой точкой для систем следующего вида:

дх          ду

= Х⁽х,у⁾,   = Y ⁽ x,y ⁾ (1)

дt          дt с Г-фазовой траекторией. Рассмотрим функцию U=U(x,y), являющуюся непрерывной со своими частными производными в области фазовой плоскости. Пусть точка (x(t),y(t)) движется вдоль кривой Г, тогда функцию U можно рассматривать как функцию t. Скорость изменения рассматриваемой функции определяется равенством

dU _дидх ди ду дt дх дt ду дt

dU

ди

= —X(x,y)+—Y(x,y)(2). дх        ду

Формула (2) играет существенную роль в реализации прямого метода Ляпунова. Так же для практической реализации этого метода важны такие понятия как определенно положительная (отрицательная) функция, т.е. функция, для которой выполняется неравенство U(x,y)>0(<0) во всех точках области, исключая начало координат, если же в области имеет место нестрогое неравенство U(x,y)>0(<0) , то функцию U(x,y) называют знакоположительной (знакоотрицательной).

Если положительно определенная функция U(x,y) обладает тем свойством, что функция

ди(х,у)         dU(x,y)

W ⁽х, у) = —----X ⁽ х, у) + —---- Y ⁽х, у) (3)

дх             ду является знакоотрицательной, то U называется функцией Ляпунова или энергетической функции для системы (1).

Приведем один из результатов А.М.Ляпунова, который состоит в следующем: если для системы (1) существует энергетическая функция U(x,y), то начало координат, являющееся особой точкой, устойчиво. Если определенно положительная функция такова, что функция W, определяемая равенством (3), определенно отрицательна, то начало координат устойчиво асимптотически [1].

Покажем на примере, как применяется полученный результат. Возьмем уравнение движения тела единичной массы под действием пружины

dtX + CdX + kX = 0(4), dt2     dt

где c>0 характеризует вязкость среды, а k>0 свойства пружины.

Система, соответствующая уравнению (4) примет вид дх    ду

■^ = у'№ = -кх-су(5)'

Начало координат для системы (5) является особой точкой. Тогда энергия движущегося тела равна ^-, а энергия накопленная пружиной

^X         1

I кеде = -кх².

о           2

Тогда полная энергия системы

и(х,у) = |у2 +|кх2 (6).

Очевидно, что U определенно положительна. А поскольку

dU

dU

—Х(х,у) + Y(х,y) = кху + у(-кх - су) = дх        ду

-су² < 0,

то U для системы (5) будет энергетической функцией, отсюда, особая точка 0(0,0) устойчива.