Точная и приближенная матрица жесткости и вектор узловых нагрузок балочного конечного элемента с линейным законом изменения жесткости по длине

Введение. Современные тенденции в строительстве, связанные с оптимизацией массы и материалов, требуют точных методов расчёта напряжённо-деформированного состояния, в частности для балок переменной жёсткости. Аналитический расчёт напряжённо-деформированного состояния таких балок сопряжён со значительными трудностями, что ограничивает его практическое применение. Для решения подобных задач широко используются численные методы, в частности метод конечных элементов (МКЭ), при этом закон изменения жёсткости обычно аппроксимируется ступенчатой (дискретной) функцией. Цель настоящей работы — разработать подход на основе кусочно-линейной аппроксимации жёсткости. Линейная аппроксимация жёсткости обеспечивает оптимальное соотношение точности, сложности и вычислительных ресурсов. Предлагаемый подход обеспечивает существенно более высокую точность по сравнению с традиционной дискретной аппроксимацией при сопоставимой вычислительной сложности — это позволяет адекватно моделировать как плавные градиенты жёсткости, так и резкие её изменения. Материалы и методы. В первом приближении матрица жесткости одномерного балочного конечного элемента с линейно изменяющейся изгибной жесткостью получена на основе вариационной формулировки задачи. Точная матрица жесткости — методом непосредственного интегрирования дифференциального уравнения изгиба балки. Точные решения в примерах расчета получены с применением программного комплекса Maple. Численное решение, с использованием метода конечных элементов, реализовано в разработанной автором программе на языке программирования Python. Результаты исследования. В ходе исследования были получены приближенная и точная матрицы жесткости балочного конечного элемента, а также вектор узловых реакций (нагрузок) от распределенных нагрузок. Эффективность предложенного подхода продемонстрирована на примерах численного расчета. При этом результаты, полученные методом конечных элементов, верифицированы посредством аналитических вычислений. По итогам проведённых расчётов были выработаны рекомендации и критерии для использования точной или приближенной матрицы жесткости. Обсуждение. Конечные элементы, учитывающие линейное изменение жесткости по длине, позволяют повысить точность получаемых результатов и снизить степень дискретизации расчетной схемы более чем в два раза. Приближенная матрица демонстрирует хорошую сходимость при плавном изменении жесткости по длине. В подобных случаях также допустимо применять дискретную аппроксимацию. Точная матрица позволяет с малой погрешностью рассчитывать ситуации, в которых жесткость в пределах балки изменяется на несколько порядков. Классическая дискретная аппроксимация в таких случаях не обеспечивает высокой точности результатов расчета. Заключение. В данной работе были получены матрицы жесткости конечных элементов с учетом линейного изменения жесткости по длине. Их вывод осуществлен двумя методами: на основе вариационной постановки задачи и путём непосредственного интегрирования дифференциального уравнения изгиба. Полученные матрицы позволяют выполнять более точный анализ напряжённо-деформированного состояния балок переменной жесткости. Они обладают аналитическим видом, что упрощает их внедрение в существующие программные комплексы. Дальнейшие исследования будут направлены на применение этих матриц к расчёту железобетонных балок с учетом физической нелинейности, а также на решение задач устойчивости и динамики балок переменной жесткости.