Точные решения уравнения для векторной частицы с нулевой массой и калибровочная симметрия для поля со спином 2

Теория массивного и безмассового полей со спином 2, начиная с работ В. Паули и М. Фирца [1, 2], всегда присутствовала в литературе. Большая часть исследований выполнена в рамках формализма уравнений второго порядка Паули-Фирца. Первое систематическое изучение теории частицы со спином 2 в рамках теории релятивистских волновых уравнений первого порядка выполнено Ф.И. Федоровым [3]. Оказалось, что частица со спином 2 требует для своего описания 30-компонентной волновой функции.

Позднее это описание было заново переоткрыто и дополнительно исследовано в работе Т. Редже [4].

В формализме уравнений первого порядка для описания поля используется набор из скаляра, 4-вектора, симметричного тензора второго ранга и тензора третьего ранга, антисимметричного по одной паре индексов. В его основе лежит лагранжев формализм, при этом все свойства симметрии тензоров вместе с условиями связи на них содержатся в исходном лагранжиане. Описания массивной и безмассовой частиц существенно различаются. В частности, в безмассовом случае существует специфическая калибровочная симметрия, которая обобщает калибровочную симметрию в электродинамике Максвелла. Она была установлена еще Паули и Фирцем [1, 2] (см. также недавние работы [5–8]).

Основные калибровочные скалярная и тензорная компоненты, входящие в описание безмассового поля со спином 2, определяются произвольным векторным полем Л _а ( x ) следующими формулами [1, 2]:

Ф = ▽ ^а Л а , Ф ав = ▽ ^а Л в + ▽ ^в Л а - | д ав ( X ) ▽ * Л _а.

Приводим их сразу в общековариантной форме. Калибровочные степени свободы не должны давать вклада в наблюдаемые величины типа тензора энергии-импульса поля. Это приводит к необходимости выделять в безмассовом случае калибровочные решения, оставляя только физически наблюдаемые некалибровочные.

В сферически симметричном случае описание калибровочных степеней свободы для поля со спином 2 требует иметь в явном виде сферически симметричные решения для безмассового поля со спином 1. Построение подобных независимых решений уравнения для безмассовой частицы со спином 1 является задачей данной работы.

1.    Безмассовая векторная частица, сферические волны

Напомним подстановку для волновой функции в без-массовом уравнении Даффина-Кеммера для векторной частицы в базисе сферической тетрады [9, 10]:

ха = (t, r, 9, ф), dS2 = dt2 — dr2 — r2 d92 — r2 dф2, e^) = (1,0,0,0), e^ = (0,0,^2,0), e“2) = (1,0, 0>),    eаз) = (0, 1,0, °),

H = e -imt h ( r ) D ₀ ,

_

H 1 =

= e ^-imt ( h 0 ( r ) D 0 , h 1 ( r ) D - 1 , h 2 ( r ) D 0 , h 3 ( r ) D 1 , ) ^t ,

HI 2 = e -m ( E i ( r ) D - 1 ,E 2 ( r ) D о ,E з ( r ) D 1 ,

B i ( r ) D i ,B 2 ( r ) D о ,B з ( r ) D - 1 ) t ,        (1)

где D а = D - _m , _CT ( ф,9, 0) — функции Вигнера, j = 0 , 1 , 2 ,..., m = —j, — j + 1 ,... ,j — 1 ,j . После разделения переменных в [10, 11] была получена система радиальных уравнений:

„ ‘   2 „ a            ,

• ^{— E} 2 ^— r^E 2 ^— ^ ^{( E} 1 ^{+ E} 3 ) = ^{0 ,}

imEi — B 3 — 1B з + -—^ B 2 = 0, imE 2 — r— (Bi — B 3) = 0,

„    _ ‘ 1 _ a _ imE з + B1 + — Bi— B 2 = 0,

—imh 1 +--— h о = —E1, —imh 2 — ho = —E 2, r2

• — imh 3 + - — 2 h 0 = —E 3 ,

• h 3 +—h 3 +/2h 2 = —B1, rr

aa

• — r—2 h1 + .2 h3 =

• — h1 — -h 1 — 0 = 0, = —B 3,(2)

r где a = лУj(j + 1) и штрих обозначает производную по r. Известно, что на решениях можно диагонализировать оператор пространственной инверсии [10]. В результате возникают два типа состояний с соответствующими ограничениями на радиальные функции

P =( — 1) j ⁺¹ , h 0 = 0 , h 2 = 0 , h 3 = —h 1 ,

E 3 = —E 1 ,  E 2 = 0 ,  B 3 = B 1 ;

P = ^{( — 1)} j ^,  h 3 = h 1 ^,  B 3 = ^—B 1 ^,

B 2 = 0 ,  E 3 = E 1 .              (3)

Отметим, что данная система уравнений должна допускать решения калибровочного типа, т.е. когда E i = 0 , B i = 0 . При этих ограничениях система (2) принимает вид

—imh 1 +--—h о = 0, —imh 2 — h() = 0, r2

a

—i'mh 3 +— — 2 h 0 = 0 ,

h-i +— h 3 + — h 2 — 0 , r r V2

--^h i +-- ^h g = 0 , —h_Y--h i-- -ph-2 = 0 .

r V2     r V2           ¹ r     r V2

Убеждаемся, что при четности P = ( — 1) j ⁺¹ уравнения для чисто калибровочных решений имеют только тривиальное нулевое решение: h ₀ = h ₁ = h ₂ = h ₃ = 0 . В случае другой четности P = ( — 1) j уравнения для калибровочных решений примут вид

P = ( — 1) j ,  —i'mh 1 +— — 2 h 0 = 0 ,

—imh ₂ — h ₀ = 0 ,

h-i +— h 1 + h^h, 2 — 0 . r     r V2

С помощью первого и второго уравнений можно исключить переменные h1 и h2 . В результате приходим к тождеству h 1 = — —2—h 0, h 2 = rmh 0, d ia dr 2rmrm

r 2rmrmh ^{0 +}

1 ia d r 2mm dr

h 0

= 0 ^ 0 = 0 .

Таким образом, функция h о ( r ) может быть любой h 0 ( r ) = Ф( r ) . При этом сопутствующие функции вычисляются по формулам

imdh 0 + ^2 ° ( ^d + ¹ ) h 1 + dr 2 r dr r

h з ( r ) = h 1 ( r ) = —ia— Ф( r ) , h 2 ( r ) = —dr Ф( r ) •

V 2 rm           m dr

Данное свойство указывает на калибровочный характер решений.

Возвратимся к общей системе уравнений (4) и учтем ограничения по четности. В случае P = ( — 1) ^j +¹ имеем четыре уравнения

⁺ ( a 2 ^— m ²) ^h 2 = ⁰ •

С помощью третьего уравнения можно исключить переменную h ₂

h 2 ⁼

imr ²

d

m ² r ² - a ² dr

h 0 +

V 2 ar

m ² r ²

-

d +1) h -a ² dr r

² — B i ¹ + imE i = 0 , E i = imh i , 2 r ¹ r

В результате первое и второе уравнения системы (12) приводят к одному и тому же уравнению, в которое входят переменные h 0 , h ₁

Bi = hi + —, B 2 = — hi •(7)

rr

Исключая из первого уравнения три переменные, находим d2   2 d 2 a2

( dr2 + rdr + m — r) h1 = 0 •(8)

Подстановкой h _i ( r ) = r ^{- 1} / ² F ( r ) уравнение можно привести к бесселеву виду

/ d2    1 d 2    (j + 1 /2)2\

• (*$ ⁺ rdr ⁺ m ^—        Г ⁽ r ^{) = 0} ’

z = mr,   h i( r) = /zJj+1 / 2( z) •(9)

Будем обозначать это решение символом 1:

• 1)    P =( — 1) j ⁺ 1 , h о = h 2 = 0 ,

h 3 = —h 1 = — /zJj + 1 / 2( z)•

В случае четности P = ( — 1) ^j получаем шесть уравнений:

d ² h ₁ dr ²

+ [ m¹²

+

-

⁺ [^{4 —}

2 +

ia

-

r

m

m

-

mr + a

a ²

” +

d ² h ₀

2mmr dr 2

im

V2( mr — a )

m ²

mr -

-1 a + a dr

a ( mr + a )

+

ia 2

2" ⁺ mr ²

-

m2   lh. + a (mr — a )_|

im

V2( mr + a )

ia ³

dh0 ima dr   ^/rr V2mr3

-

Его можно решать, накладывая два условия:

либо h 0 = 0

d ² h ₁ dr ²

+ m ² +

и

+

-

r ²

либо h 1 = 0 и

Г 4

m

m

-

-

r

a ²

+

mr + a

mr - a

m ²

m ²

a ( mr + a )

-

a ( mr

-

h 0 = 0 •

dh ₁

⁺ dr

-

a )

h 1

= 0 ,

„1    ad —     1 „          '   B1—

E 2 + v2 — E i + 2 — E 2 = 0 , B i + — + imE i = 0 ,

— V2 a B1 + imE 2 = 0, e 1 = — a^ + imh 1, r2

E 2 = h 0 + imh 2, B1 =---a- — h 1 — —.(11)

2r

ia d ² h 0

V 2 mr dr ²

im

+

ia 2

---2" + mr2

im

V2( mr + a )

-

-

V2( mr —

dh 0 + a )J dr

ima

_ V 2 r

ia ³

-

2m mr ³ _

h 0 = 0 •

Исключая переменные E 1 , E 2 и B 1 , получаем три уравнения для векторных компонент:

(

d ² 2 d dr ² r dr

-

a_{r 2   h 0}

, • V² a , + im---h 1 +

r

Эти уравнения принадлежат классу общего уравнения Гой-на, т.е. имеют четыре регулярные особые точки.

Вернемся к системе (12) и будем искать такое преобразование переменных, которое избавляет уравнения от мнимой единицы и квадратных корней. Существуют две возможности:

I^ h 0 = V 2( 3 + 1) H 0 , h 1 = iVjH 1 ,

+im (    +   ) h2 = 0, dr r

h 2 = i V 2( 3 + 1) H 2 ,

im 2^- 0 h 0 + ( d ^ + ² d + m 2 ) h 1 + 2 r        dr ²    r dr

(dL ₊ ² d _— A_H dr ²    r dr r ²

-

m ^j H 1 r

-

+

V2 a d 2 r dr

h 2 = 0 ,

— (dr + ²) H 2 = 0 , dr r

m^jj+ H o + ( ^r

d ²      2 d .

dr ²    r dr

- 2) H 1 +

+ m ² - jjT¹ ] H oo = ⁰ -

+ j +1 dH 2 = 0 , r dr

mdH - + Чт + ¹) dr r dr r

H 1 +

+( j^

m 2^ H 2 = 0;

II. h o = i VTj H o , h 1 = _xJ-\H 1 ,

Оба уравнения принадлежат классу общего уравнения Гой-на.

Аналогично рассматриваем случай II . В результате приходим к уравнению (19), в котором множитель ( j + 1) перед функцией H 0 заменен на j . Естественно, что его решения совпадают с (20) и (21).

Ниже будет изложен другой способ анализа, приводящий к возможности построить решения в функциях Бесселя. Для этого нужно будет наложить условие Лоренца.

h 2 = j H 2 ,

2. Условие Лоренца

(

d ² 2 d dr ² r dr

j ^{( j +} 1Л 77 , j ^{+ 1} 77 ,

--5— Ho + m---H i + r2                  r

Условие Лоренца должно быть пересчитано к тетрадному представлению

+ m (t + ~) h 2 = 0 , dr r

V a Ф ^а

= 0 ,

V a e "a )

ф ^a

= 0 ,

( V a e "a ) )Ф ^a + e

α

( a ) » a Ф ^a

= 0 .

-mjH o + r

(

d 2      2 d .

dr ²    r dr

- 2) H 1 +

Здесь предполагается использование декартового базиса.

С учетом известного соотношения

+ jdH 2 = 0 , r dr

V a e aa ) =

∂

Vge (a ("a )

находим

mdH o + dr

j + 1

r

(d + -) H 1 + dr r

V a e o ₀₎

= 0 ,

cos 9

V a e a ) = —-z ’

⁽¹⁾ r sin 9

+ j ¹

m ² H ₂ = 0 .

V a e a 2)

= 0 ,

^V a e aa ) = r

.

Рассмотрим случай I . Подставив выражения для H ₂ в первое и второе уравнения из (12), приходим к уравнению следующего вида

Следовательно, условие Лоренца примет вид

d t Ф o

-

к » .

+

cos 9

sin 9

)

Ф 1

-

d ² H 1 dr ²

⁺ [4 ^-

m ² r ²

2 m ² r     ] dH 1

^- j ⁽ j ^{+ 1)}J ^{dr +}

-

r sin 9

» ф Ф 2

-

(ar +1)

Ф з = 0 .

+ m ² +

2 - j ( j + 1)

r ²

в

m ² r ²

2 m ² r     ]

- j ( j + 1) J

H 1 +

При разделении переменных в уравнении Даффина-

Кеммера использовался циклический базис. Нужное пре-

образование над 4-векторной составляющей H 1 = UH 1

+ ( j + 1) {

1 d ² H ^o + mr dr ²

_x dH o + I’ m dr r

в

2 mr ²

2 m

задается следующей матрицей

в

m ² r ²

j ⁽ j ⁺ 1)

_r 3 _m

в

j ( j ⁺ 1).

] H o} = 0 .

Данное уравнение можно, например, решать так: пусть H o ( r ) = 0 , тогда

d ² H 1 dr ²

⁺ [4 ^-

m ² r ²

2 m ² r     ] dH 1

^- j ⁽ j ⁺ Ш dr ⁺

x

U =

U ^-

-

i

,

\

\

i

-

-

i

-

i

,

+ m ² +

2 - j ( j + 1)

r ²

² m 2 r ----1 H = 0;

m 2 r 2 - j ( j + 1) J

т. е. функции из (23) выражаются через циклические

поненты так:

ком-

пусть H 1 ( r ) = 0 , тогда

Ф o = Ф o ,

Ф 1 =

-

;12^Ф 1

⁺ 7 2^Ф з ’

d ² H 0 dr ²

2 + -

2 m ² r

r

m ² r ²

" dH o ₊ j ( 3 + Ш dr

Ф 2 =

-

л / 2 ^Ф 1

-

i

Фз , 7 2 3 ’

Ф з = Ф з .

При этом условие Лоренца (23) примет вид

Таким образом, приходим к радиальному условию Лоренца

d t Ф о

-

¹ ( а »

+

cos 9

sin 9

)(

-

11 Ф1 +   Фз

72    72

)

-

-imh ₀

-

a

h

V2 r

-

a h3

V2 r

-

(dr + 2) dr r

h 2 — 0 .

-

r sin 9

∂ ϕ

-

i

С 2 ^{Ф 1}

-

i

? 5 ^{Ф з}

) - (^dr + 1)

Ф 2 — 0 .

Учет ограничения по четности дает

P — ( - 1) j + 1 ,

h 0 — h 2 — 0 ,

^h 3 = ^—h 1 ,

Подстановка для векторной части волновой функции в

что приводит к тождеству 0 = 0 . Для P — ( — 1) j и

циклическом базисе имеет вид

h 3 — h 1 уравнение принимает вид

H 1 — e

-

imt

h о ( r ) D о

h i ( r ) D - 1

h 2 ( Г ) D о

h 3 ( r ) D 1

Ф о

Ф 1

Ф 2

Ф 3

.

Для функций Вигнера D выполняются рекуррентные соот-

ношения [11]:

д ф D_ст — imD_CT,

э » D о — ^D - 1

-

a

2 D 1 •

-imh 0

-

2 a

h

V2 r

-

(т + ²) dr r

h ₂ — 0 .

Условие (30) позволяет из системы трех уравнений (12)

исключить переменную h 0

■ к       ² a

-imh о —     h 1 +

2 r

(т + г) dr dr

h 2 ^.

Рассматриваем по отдельности подстановки I (17) и II (18).

Уравнения (17) дополняются условием Лоренца

-m

D о — sin 9

-

a aD

2     ¹

-

a

2 D 1 ,  э » D 1

a

D

2 ^о

-

b_D, 2 ²

-mH о — jH 1 +

r

(I + 2) dr r

H 2 ,

-m

-

cos 9

sin 9

D 1 —

-

a D

2 ^о

-

b_D, 2 ²

а для уравнений (18) условие Лоренца имеет вид

-m

где a

д_в D - 1 — ^D - 2

-

2D 2 •

mH _о —

j + 1

r

H 1 +

(Т + ²) dr r

H 2 .

-

cos 9

sin 9

D - 1 —

-

bD

2     ²

-

a

2 D >  •

В случае I первое и второе уравнения системы (17) по-

сле исключения функции H 2 с помощью третьего уравне-

ния приводят к одному и тому же уравнению, одно из них

— V j ( j + 1) , b — V( j - 1)( j +2) . В

связи с

можем отбросить, например первое. Из условия Лоренца

этим из (26) получаем

(31) выразим переменную H 0 и подставим в третье урав-

-imh о D о +—

2 r

∂ θ D -

1 +

-m + cos 9

sin 9

D - 1

h 1 +

+ 2r2 r

-∂ θ D 1

+

-m

-

cos 9

sin 9

D 1

h 3

-

нение системы (17), в результате получим

( d2 +2 d + mm dr2   r dr -    ■  ) H1 d2    2 d      2 ,dr2 + rdr + m " j (j + *> iff. r2     H2 или в матричной форме

2( j + 1)

r ²

H 2 ,

— 2 j H 1 +4 H 2 , r ²       r ²

-

(^dr ^{+ 2})

h 2 D о — 0 .

Учтем в последнем соотношении рекуррентные формулы из

A

( H 1 L1 f 0

H 2       r ²    j

j +1

^HH ¹2    .

+

(

-

+

-imh о D о +—

2 r

[( 2d- 2

-

a D

2 ^о

)

+

Диагонализируем матрицу смешивания

H — T ₁ H, T ₁ A T ^{- 1} H — T ₁ AT ^{- 1}

H,

-

H — T ₁

¹ H,

2D - 2

-

a D

2 ^о

)]^{h 1+}A r

-

a D

2 ^о

-

2 D 2)

+

T 1 AT ₁ ^-

—

λ 1

λ ₂

—

-j

j +1

,

(

-

a D

2 ^о

-

bD

2 ²

)] h 3 - (a - + r)

h 2 D о — 0 ,

T 1 —

(

-

j +1

j

)

, T 1

2 j + 1

(

j + 1

-j

jj .

откуда после приведения подобных находим

В результате система (33) преобразуется в следующую

-imh 0 D 0

-

тт^{h 1 D о}

-

;aTr^{h 3 D о}

-

(

d ²

2 d

dr ^{2 +} r dr ⁺ m

-

j ( j - 1) \ r ²

H 1 — 0 ,

-

(^{dr + 2})

h 2 D о — 0 .

(

d ²

2 d

dr 2 ⁺ rdr ⁺ m

-

( j +

1Ж+20А r ²

e

H 2 — 0 . (34)

Известия Коми научного центра УрО РАН, серия «Физико-математические науки» № 5 (57), 2022

Простой подстановкой данные уравнения приводятся бесселевому виду

к

_{H 2} ′′

-

j +1 H + j +У H₂. 2 j + 1 ¹ 2 j + 1 ²

H 1 ( r ) = "^^F 1 ( r ) ,

r

Таким образом, в двух ситуациях получаем решения (36) и (37), в которых

d ² dr ²

+

2 d + m r dr

-

^ )A = 0 ,

^H 1 ⁽ r ) = ^Vz^J j- 1 / 2 ⁽ z ) ’ ^H 2 ⁽ r ) = ^Vz^J j +3 / 2 ⁽ z ) .

H 2 ( r ) =

1 -

Tr F2(r)’

(

d ²

2 d

dr ^{2 +} r dr ⁺ m'

-

( j + 3 / 2) 2

r ²

) F 2 = 0 ,

Легко убедиться, что два решения I (36) и II (37) связаны линейным преобразованием

H II = T—1Ti H I =

I.

z = mr,

H 1 ( r )

= _^J j 1 / 2 ⁽ z ) -

=

j +1 2 j +1

j +1

H I =

-

2 j +1

H 2 ( r )

= ^Vz^J j +3 / 2 ⁽ z ) .

=

0 Ш

j

HI.

Исходные функции задаются соотношениями

I. H = ^{j +1} H_Y +

¹     2 j + 1 ¹

j H2 •

H 2 = _

—5— h +

2 j + 1 ¹

j

2 j + 1

H2.

Следовательно, мы можем использовать только один случай: либо I , либо II (для определенности будем использовать вариант I ). Причем, поскольку уравнения для функций H 1 и H 1 не связаны между собой, то два линейно независимых решения можно выбрать так (обозначаем их символами 2 и 3):

Рассмотрим случай II . Первое и второе уравнения системы (32) после исключения функции H ₂ с помощью третьего уравнения приводят к одному и тому же уравнению, одно из них можем отбросить, например первое. Из условия Лоренца выразим переменную H ₀ и подставим в третье уравнение системы (31), в результате получим

⁽ d ²     2 d .

dr2   r dr

-

j ( j + 1)V   ² j_H

---9-- ^H 1 = HH 2 ,

rr

⁽ d ²     2 d .

dr2   r dr

-

j) H, =

	2)	H1 1 = Vf z	J j- 1 / 2 ,	H 1 =	j +1 H, 2 j + 1 1 ’
H 2	-	, 2 j + 1 H 1 ,	H 0 = _ H H 1 -z		( d + 2' dz z
	3)	й 2 = V-z	J j +3 / 2 ,	H 1 =	2 j+H 2 -
H 2	=2 j +1H 2 -		H 0 = --H 1 -z		( d 2 ) dz z

) H 2 ;

Преобразуем эти решения к переменным h i

H2.

²( j + 1)   +

—r 2— ^H 1 ⁺

² H 2

h о = V²⁽ j ⁺ 1) ^H о , h з = h i = iVj^H i ,

У H 2 )=Д

0 j +1

1 ^j

H 1

H 2

.

Диагонализируем матрицу смешивания

(H 2 )= T 2( H 2) ,

T 2 AT ₂

=

λ 1     0

0 λ 2

=

-j

j + 1

,

h 2 = i V 2( j + 1) H 2 .

В результате получаем

j + 1 1 _T

2 j + 1 Vz ^j— ¹ / 2 ’

_ j vjT) 1

^{h 2} = ^-i (2 j + 1) ^VzJ j ^{- 1} / ² ’

h 0

T 2=(

j

^- j +1

) -^T - ¹ -(

j +1 2 j +1

-

j +1 2 j +1

2 _j j ₊ ^j + ₁ 1

2 j +1

.

В результате уравнения примут вид (34). Простой подстановкой они приводятся к уравнениям Бесселя (35). Исходные функции строятся так:

II. H ‘ = j+1- Hy + -^j—H₂, ¹     2 j + 1 ¹ 2 j + 1 ² ’

h 0

= j V2( j + 1) Г £ _ jj (2 j + 1)   [ dz

-

z

j- 1 / 2 ;

-

j

2 j + 1 J +3 / ^{2 -}

_ . j УЛ) 1

^{h 2} = i (2 j + 1) VzJ ⁺3 / ^{2 -}

j V2( j + 1) [ d + dz

(2 j + 1)

j + 21 1 _T √ _z ^J j +3 / 2 ^.

z

3. Градиентное решение

Известно, что должны существовать калибровочные

решения градиентного типа. Найдем их явный вид, исхо-

дя из определения

Будем предполагать, что скалярная функция Л( x ) является решением уравнения Клейна-Фока-Гордона

7 0 7 ^7—дд ^{ав   Л(} x ) = ⁰ ,

Ф _a ( x ) = д_а Л( x ) , Л( x ) = e

-

imt D 0 f ( r ) ,

D 0 = D -

-

m, 0 ( M, 0) .

[ d 2 -

[ dt2

dr12

-

2 d r ∂r

⁺ j l ²] ^{Л( x} ) = ⁰ .

Тетрадное представление этого решения Ф _а ( x )

e ea ) D 0 f ( r ) имеет вид

С учетом подстановки Л( x ) = e ^imt f ( r ) D - _{m 0} ( Ф, 9, 0) имеем радиальное уравнение

^Ф (0) = e ^e 0) ^Ф в =

-ime

-

imt D 0 f,

d ²

2 d

d? ⁺ "rTr ⁺ m

-

j ( j + 1)

r ²

f ( r ) = 0 .     (47)

^Ф (3) = e ^в 3) ^Ф в

= e

-

imt ^df

D 0 , dr

Подстановкой f ( r ) = r ¹ / ² F ( r ) его можно привести к бесселеву типу с переменной z = mr :

^Ф (1) = e ^в 1) ^Ф в = e

-imt fd_y D 0 ,

r

d ²

2 d

У- ⁺ "rdr ⁺ m

2 _—

( j + 1 / 2) ²

r ²

F ( r ) = 0 ,

^Ф (2) = ^{e в} 2) ^Ф в = ^e

-

imt

f im

D 0 . r sin У

Преобразуя вектор Ф ( a ) к циклическим компонентам

f ( r ) = —Z J j + 1 / 2 ( Z ) .

В результате находим четвертое решение

Ф 0 = Ф 0 ,

Ф 1 =

-

;12^Ф 1

⁺ ; 7 2^Ф з ,

4) h 0 =

-

i                         d 1

^zJ j + 1 / 2 ⁽ z ) , ^h 2 = dz —FJ j + 1 / 2 ⁽ z ) ,

Ф 2 =

-

i

^{7 Ф 1}

-

i

7 2 ^Ф з ’

Ф 3 = Ф 2 ,

получаем

.  .   j^) ¹

h 1 = h 3 =--7=--7=

V 2 z^z

^Ф (0) =

-ime

-

imt

D 0 f,

Ф 2

= e

-

imt ^df

D 0 , dr

Ф 1 =

-

e

-

imt ^f ( d₆ + - m z r sin У

D 0 ,

4. Сводка результатов

Найдены четыре решения уравнения для безмассового поля со спином 1. Первое (10) имеет вид

1) P =( — 1) j ^{+ 1} , h 0 = h 2 = 0 ,

1 Ф₃ = —=e ³ 7 2

-

imt f ( d₆ r

-

m

D 0 .

sin У /

^h 3 = ^—h 1 = ZJ ji +1 / 2 ⁽ z ) .

Отсюда находим

Второе (41) можно переписать в форме

Ф 0 =

-ime

-imt _{D 0 f = e}

-

imt h 0 D 0 ,

Ф 2 = e

-

^imt dfD 0 = e ^-imt h 2 D 0 , dr

2) h ₃ = h ₃ = i Vj —

^{} 3     1 VJ}2 j + 1

^—z^{J j}- 1 / /2

A 1 ^—ZJ j- 1 / 2 ’

Ф 1 =

-

в

Ф 3 =

a

e

-

imt

¹ fD - 1 = e ^-

r

imt _{h 1 D}

h 2 = —

-

-

1 ^,

.j V2( J + 7 1 ,     _ д 1 7

i (2 j + 1) ^—zJ j^{- 1} / ² = A ^{2 —}z^J j^{- 1} / ² ’

e

-imt afD 1 = e —

r

imt h ₃ D 1 .

j V j i)         ¹

^{h 0} =( ₂ j ₊ 1) ⁷ZJ +1 / 2 = A ^{0 7}ZJ j + 1 / 2 . ⁽⁵¹⁾

Таким образом, выражения для радиальных компонент ка-

Аналогично для третьего решения (42) имеем

либровочного вектора имеют вид

в

в

df h 0(r ) = — imf (r ), h 2(r ) = drf (r ),

3) h 3 = h 1 = i jj — J j +3 / 2 = A 1 — J j +3 / 2 , 2 j + 1 z              z

в

в

h i ( r ) = h з ( r ) =

-

j ( j + 1) / /2

r

^f ( ^r ) .

_ . j 7Л 1    _  1

^{h 2} = i (2 j + 1) ⁷z J j ⁺³ / ² = A ^{2 77} J j ⁺³ / ² ’

Принимая во внимание ограничения по четности, заклю-

h 0

чаем, что построенное калибровочное решение имеет чет-

j V j i) ¹₇        ¹_T

^— (2 j + 1) ⁷zJ j ⁺¹ / ² = A ^{0 7}zJ j ⁺¹ / ² . ⁽⁵²⁾

ность P = ( — 1) j .

Четвертое решение описывается формулами (49).

Эти решения можно проверить подстановкой в исходную систему (2), исключая в ней переменные E i , B i . Для решения 1 получаем тождества. Для решения 2

2) h0 — 7Z Jj + 1 /2’ h 1 — h3 — -z Jj-1 /2,

-2VJ(J + 1)<2j + 1 (-'-^Zh0 ■

Таким образом, найденная комбинация соответствует второму калибровочному решению

к - B 2 I h 2 = —pJj-1 / /2 z

h S^nge = _^_h (²⁾ + 2 ±1 h (³⁾ —

1        2J + 1 1     2 J + 1 1

получаем

„     ij —2  „

B о —          B1,

Vj ( j +1)

Для решения 3

3) h 0 — —Z Jj+1 / 2,

B 2 — -

J ²   „

—/        = B1.

Vj (j +1)

h 1 ^— h 3 ^— /Z J j +3 / 2 ’

B 2

h 2 = ~Z ^J j +3 / 1

получаем

_ i (j + 1) 72         _ (j + 1) 72

B 0 —  ,     -- B 1 ,  B 2 — —,      — B 1 .

Vj(T+-)          Vj(j+1)

Для решения 4 получаем тождества. В случае 2 убеждаемся, что оба ответа приводят к одному и тому же результату

A

2) A1

B 0

B 1

где

-

VjCj+jy 1 ggauge

-2    z 0    ’

A 2 A

B 2

B 1

— ij У2

Vj(j+1), j -2

-

Vj (j +1)

В случае 3 убеждаемся, что оба ответа также приводят к одному и тому же результату

3) A

B 0

B 1

A 2 A

B 2

B 1

i (j + 1)^2 VjCT+i)’

( j +1) V2

Vj (j +1)

Следует отметить, что из решений типа 2 и 3 можно образовать специальную линейную комбинацию, которая соответствует второму калибровочному решению (согласно общей теории, из четырех решений два должны быть калибровочными, а два — физически интерпретируемыми)

2 j + 1 (2)   2 j + 1 (3)    ,V3

j ₊ I h 1 ⁺ ~~ h 1 ^— i^—

j

— i — (2j + 1) -Jj+1 /2. zz

h0auge — - vjv) j z jj+1 / 2.

Заключение

Построенные четыре независимых решения для без-массовой частицы со спином 1 позволяют найти явные выражения для четырех калибровочных решений системы уравнений Паули-Фирца для безмассовой частицы со спином 2. Причем, в силу свойств функций Бесселя, соответствующие четыре набора 11-компонентных полевых функций для частицы со спином 2 оказываются имеющими схожую структуру: они выражаются с точностью до множителя 1 /—Z через функции Бесселя с индексами p — j - 3 / 2 ,j - 1 / 2 ,j +1 / 2 ,j + 3 / 2 ,j + 5 / 2 . Это позволяет предположить, что все решения основной системы радиальных уравнений, а не только калибровочные, также имеют схожую структуру. Основная система радиальных уравнений имеет вид 11-связанных дифференциальных уравнений 2-го порядка для 11-функций. Диагонализация оператора пространственного отражения позволяет разбить эту сложную систему на две подсистемы: одна из них оказывается простой и легко решаемой в функциях Бесселя, причем отмеченная простая структура решений в терминах функций Бесселля также сохраняется. Вместе с тем легко показать, что данное решение не является калибровочным. Вторая система оказывается намного более сложной, состоящей из восьми связанных уравнений. Однако можно убедиться, что подстановки для отдельных функций с отмеченной выше общей структурой позволяют с использованием свойств функций Бесселя преобразовать систему восьми радиальных уравнений в алгебраическую систему, хотя и довольно громоздкую. Этот дополнительный анализ является предметом отдельной работы.

Отсюда следует

А h + j + 1 1

Далее находим, что j (j +1)

-

J ¹

Jjh (2_Ж j ^{+ 1)} h ^ —