Топологическая транзитивность косых произведений в плоскости с отрицательным шварцианом семейства отображений в слоях

Свойство топологической транзитивности является основополагающим при исследовании динамических систем (см., например, [1] - [3]). В последнее время активно изучается свойство робастной (т.е. сохраняющейся при малых возмущениях в пространстве рассматриваемых систем) транзитивности на. компактных многообразиях без края (см., например, [4]). Изучению некоторых робастных свойств на. инвариантных частично гиперболических множествах С 2-диффеоморфизмов, заданных на многообразиях размерности > 3, посвящена, статья [5].

Существует обширная библиография, посвященная различным аспектам топологической транзитивности динамических систем класса косых произведений (см., например, [2], [3], [7], [8]).

Настоящая работа, является продолжением статей [9] и [10], в которых выделен класс топологически транзитивных косых произведений, заданных на. прямоугольнике, и установлена. взаимосвязь свойства, топологической транзитивности отображения из выделенного класса, с наличием всюду плотного (в фазовом пространстве) множества, периодических точек. В отличие от традиционно рассматриваемых обратимых динамических систем (см. также [1] - [7]) все отображения из класса, выделенного в данной работе, являются эндоморфизмами (т.е. необратимыми отображениями).

Определение 1.1 [6]. Пусть X — топологическое пространство. Отображение р : X ^ X называется топологически транзитивным, если существует такая точка жо G X, что её траектория О^(ж) = pⁿ(x)_nEN плот на в X. При этом точка с плотной траекторией называется транзитивной точкой отображения р.

Напомним, что отображение р : X ^ X топологически транзитивно тогда и только тогда, когда для любых двух непустых открытых подмножеств U,V С X существует такое натуральное число п = n(U, V ), что V П pⁿ(U ) = 0 [6].

В данной статье определено понятие шварциана семейства, отображений в слоях косого произведения отображений интервала, выделен класс косых произведений в плоскости с отрицательным шварцианом семейства отображений в слоях, доказан критерий различения топологически транзитивных косых произведений из выделенного класса, основанный на. использовании свойства, равномерной аппроксимируемости фазового пространства, (прямоугольника) периодическими орбитами. Полученные результаты позволили также построить новый пример косого произведения-эндоморфизма, в замкнутом прямоугольнике, имеющего аттрактор с непустой внутренностью (ср., например, с [И]).

Косым произведением Ғ : І ^ I, где І = Іі х І2, Іі = [аі,Ьі], І2 = [02,^2], называется отображение вида

^{Ғ (ж}, у) = ^{(f (ж)}, дх⁽у'У), где дх⁽у) = д^(ж, у),                           (1)

при этом f : Іі ^ Іі называется фактор-отобраясонном косого произведения Ғ. а отображение д_х : І2 ^ І2 при любом ж € Іі называется отображением, действующим в слое над тонкой ж.

В силу (1) при любом натуральном п справедливо

^{Ғ п(ж}, у) = ^{(f п(ж)}, Ух,4уҮ),  где д_х,п⁽у) = д/п-дх) ° ... ° д/(х) ° дх ⁽у).          (2)

Символом д_х будем обозначать отображение д_х,_п, если ж - периодическая точка f (ж € Per(f )) с (наименьшим) периодом п.

Обозначим через Т ³(І) (Т^о(І)) пространство С ³-гладких (непрерывных) отображений вида (1) с фазовым пространством І, наделённым С ³-нор мой (С⁰- норм ой). В Т ³(І) выделим подмножество отображений, удовлетворяющих следующим условиям:

(С.1) шварциан семейства отображений в слоях, определенный в силу следующего равен ства

S ⁽дх⁽у⁾⁾ =

Цз дх ⁽У) д^ ^дх^(у)

-

з / др дх⁽у) У

2 1м)

отрицателен при всех (ж, у) € І таких, что дд_х (у) = 0;

(С.2) отображение д_х : І₂ ^ І₂ при любом ж € І_і имеет не более одной критической точки в интервале (a₂,b₂), причём эта точка неплоская¹',

(С.3) д_х (Э (І₂)) С Э (І₂) при л юбом ж € Іі, г де д (І₂) — границ а отрезка І₂.

Обозначим через Т3(І ) класс отображений из Т ³(І), удовлетворяющих условиям (С.1) -(С.3).

В настоящей работе построен пример косого произведения из класса Т3(І).

Определим понятие равномерной аппроксимируемости фазового пространства І периодическими орбитами.

Пусть P — произвольное разбиение замкнутого прямоугольника І координатными прямыми на m замкнутых подпрямоугольников J р любые два из которых либо не пересека-m ются, либо имеют общую вершину или общую сторону (при этом І = U Jj).

1=1

Определение 1.2. Будем говорить, что фазовое пространство І отображения Ғ равномерно аппроксимируется периодическими орбитами, если для любого е >  0 и любого разбиения P прямоугольника І с параметром Х(Р ) < е найдётся Ғ-периодическая орбита Orbp (ж;у), пересекающаяся с внутренней частью прямоугольника Jj при каждом 1 <  j < m.

Сформулируем основные результаты работы.

Теорема А. Для отображения Ғ € Т3(І ) следующие утверждения эквивалентны:

(А.1) Ғ топологически транзитивно;

(А.2) фазовое пространство І равномерно аппроксимируется периодическими орбитами косого произведения Ғ.

Определение 1.3. Правосторонним (левосторонним) неустойчивым многообразием периодической точки жо периода п отображения f : Іі ^ Іі называется множество

W+ (жо, f^п) = {ж € Іі | V U ⁺(жо) 3k € N : ж € f ^kn(U ⁺(жо))} ,

(W-(жо,fп) = {ж € Іі | V U-(жо) 3k € N : ж € fkn(U-(жо))}) , где U + (жо) — произвольная правосторонняя окрестность точки жо (U-(жо) — произвольная левосторонняя окрестность точки жо).

Введём дополнительное условие:

(С.4) у отображения Ғ Е T3(I ) сунірствуст точка (жо,уо) Е Per(F ) ( наименьшего) периода п такая, что:

• а)    если жо Е IntI_i, то W+ (жо, / ^k ) = I_i, W - (жо,/ ^k ) = I_i, где k — период точки жо относительно / (k — делитель п), Int0 — внутренность множества;

• Ь)    если жо = a_i (или жо = b_i), тогда W“(жо,/ ^k ) = I_i ( W "(жо,/ ^k ) = I_i).

Теорема В. Пусть Ғ Е T3(I ) удовлетворяет дополнительному условию (С.4). Тогда каждое из условий (М.1) и (М.2) эквивалентно условию:

• (В.1)    мпооісестоо Per(F) периодически.!: точек отображения Ғ всюду плотно в I.

2.    Предварительные сведения

Сформулированные теоремы проясняют природу топологической транзитивности отображений из T3(I): топологическая транзитивность здесь равносильна возможности равномерно аппроксимировать фазовое пространство рассматриваемой динамической системы её периодическими орбитами с любой наперёд заданной степенью точности.

Статья построена следующим образом. Во втором разделе приведены вспомогательные сведения, использующиеся в работе. Третий раздел посвящён доказательству основных теорем А и В; здесь приведён пример, показывающий, что условие (С.4) в теореме В опустить нельзя. В четвёртой части работы построен пример косого произведения в замкнутом прямоугольнике, имеющего глобальный аттрактор с непустой внутренностью.

Приведём ряд утверждений, устанавливающих взаимосвязь свойства топологической транзитивности отображения из класса T3(I ) со свойствами его фактор-отображения и отображений в слоях.

Заметим, что фактор-отображение произвольного непрерывного топологически транзитивного косого произведения на отрезке Ii сюръективно, топологически транзитивно и имеет плотное множество периодических точек.

Лемма 2.1. Пусть Ғ Е T3(I) удовлетворяет условию (М.1). Тогда при любом ж Е Ii отображение д _ж (у) унимодально по у².

Доказательство. В силу условий (С.2) — (С.3) возможны следующие случаи:

• (а)    каково бы ни было ж Е Ii, д_ж (у) не содержит критических точек как функция переменной у;

• (Ь)    существует ж Е Ii такое, что д_ж(у) содержит критическую точку как функция переменной у.

В случае (а) имеем: каково бы ни было ж Е Ii, д_ж(у) не содержит критической точки как функция переменной у. Тогда при любом ж Е Ii д_ж(у) как функция переменной у. является строго монотонной, причем характер монотонности не зависит от ж. Следовательно, для любой точки (ж; у) Е I при условии, что у Е д (I2), выполнены неравенства д_ж(у) < дж, 2 (у) < ... < д_ж,„(у) < ... или д_ж(у) > дж, 2 (у) > ... > д_ж,„(у) > ... Поэтому найдется уо Е I2 (уо = уо(ж)) такое, что уо = lim д_ж,п(у). Последнее противоречит топологической транзитивности F. Следовательно, реализуется случай (Ь).

Тогда найдется ж’ Е Ii такое, что дж‘ (у) как функция переменной у содержит критическую точку сж’ Е (а2, 62). В этом случае при у < сж‘ верно неравенство ддж‘(у) > 0, а при у > сж‘ - неравенство !^дж‘(у) < 0. Следовательно, дж‘(у) унимодально по у, и в силу условия (С.3)

9х‘ («2) = 9х‘ (Ы = «2.                                     (3)

Так как функции 9_х(«2) и 9^(62) непрерьшны по ж € /1, то из равенств (3) и условия (С.3) следует, что 9_х(«2) = 9_х(Ь2) = «2 при всех ж € /1. Тогда, используя классическую теорему Ролля и условие (С.2) теоремы, получаем, что при каждом ж € /1 существует единственная критическая точка с_х по переменной у отображения 9_х(у) при чем с_х - точка возврата 9_х(у) и 9_х(12) = [«2, 9_х(с_х )]• Лемма 2.1 доказана.

Отметим, что операция композиции (использующаяся при переходе к итерациям отображения Ғ) выводит из класса унимодальных отображений в слоях, приводя к мультимодальным отображениям. При этом знак шварциана отображений в слоях при переходе к их композициям сохраняется (см. [12, гл. 4, § 1]).

Лемма 2.2. Пусть Ғ € Т 0(/) топологически транзитивно. Тогда отображение Ғ — сюрвекуия слоя {ж} х /₂ на слой {/(ж)} х /₂, при любом ж € 11.

Напомним определение топологической эквивалентности отображений, которое нам потребуется в дальнейшем.

Определение 2.3 [6, ч. 1, гл. 2, § 2.1, п. 2.1а]. Говорят, что отображения 91 : М ^ М и 92 : N ^ N (М и N — произвольные отрезки числовой прямой) топологически эквивалентны, если существует гомеоморфизм һ : М ^ N, что 91 = һ^-1 о 92 о Н.

Важную роль в теории унимодальных (мультимодальных) отображений отрезка играет понятие комбинаторной эквивалентности, выделяющее унимодальные (мультимодальные) отображения, всевозможные (соответствующие) итерации которых имеют «одинаковую схему складок».

Определение 2.4 [14, гл. 6, п. 6.1.3]. Говорят, что мультимодальные (унимодальные) отображения 91,92 : /2 ^ /2 с множествами точек возврата С (91) и С (92) соответственно³ комбинаторно-эквивалентны, если существует сохраняющая ориентацию биекция һ : U 91 (С(91)) ^ U 92 (С(92)) такая, что һ о 91(2) = 92 о h(z) при всех 2 € U 91 (С(91)) nEZ             nEZ                                                        nEZ

И һ(С(91)) = С (92). здось Z - множество целых чисел.

Предложение 2.5 [9]. Пусть Ғ € Т3(/ ) удовлетворяет условию (А1). Тогда при всех ж € /1 и п > 1 отображение 9_х,_п(у) : /₂ ^ /₂ комбинаторно-эквивалентно отображению 92 ^{: /}2 ^ ^/2, г Де 9а ⁽у) = ^А(у — «2⁾⁽Ь2 ^- у⁾⁴ при А = (^2—22Д-

Предложение 2.5 показывает, что в рассматриваемом классе косых произведений существует единственное отображение (9д(у)), произвольные итерации которого определяют «схему складок» всех отображений в слоях произвольных соответствующих итераций косого произведения Ғ .

Необходимо отметить, что комбинаторная эквивалентность унимодальных (мультимодальных) отображений отрезка является более слабым свойством, чем топологическая эквивалентность. Из комбинаторной эквивалентности совсем не следует топологическая эквивалентность. Таким образом, комбинаторно-эквивалентными могут быть два унимодальных (мультимодальных) не являющиеся топологически эквивалентными отображения, одно из которых содержит периодические аттракторы, а другое - нет.

Далее будет приведено утверждение (предложений 2.8), указывающее на взаимосвязь комбинаторной эквивалентности с топологической. В начале приведем два вспомогательных определения.

Определение 2.6 [14, гл. 6, п. 6.1.3]. Пусть отображение отрезка / в себя 9 : / ^ / имеет периодическую точку у* (наименьшего) периода п. Периодическая орбита ОтЬ_д(у* = {у*,9(у*),...,9^п-1(у*)} называется периодическим аттрактором периода п. если множество

В (у*) = |ж : 9к (ж) ^ ОтЬд (у*), к ^ +то} содержит окрестность (возможно, одностороннюю) орбиты ОгЬд (у*). Множество В (у*) называют областью притяжения орбиты ОгЬд(у*)

Определение 2.7 [14, гл. 6, п. 6.1.3]. Рассмотрим отображение отрезка I в себя g : I ^ I. Тогда интервал J С I называется блуждающим интервалом, если все его итерации J,g(J),g²(J ),... попарно не пересекаются и последовательность {gⁿ(J )}_п>о не стремится к периодической орбите.

Предложение 2.8 [14, гл. 6, п. 6.1.3]. Пусть gi, g2 : I2 ^ I2 — унимодальные (мультимодальные) отображения. Если gi и g2 комбинаторно-эквивалентны и не имеют блуждающих интервалов и периодических аттракторов, то gi и g2 топологически эквивалентны.

Лемма 2.9 [15, гл. 4]. Пусть отображение g Е С ² (I2) имеет неплоскую критическую точку. Тогда g не имеет блуждающих интервалов.

3.    Доказательство основных теорем А и В

Доказательство теоремы А разобьем на ряд шагов, проделанных в леммах 3.1 и 3.5. Для доказательства теоремы В, кроме того, необходимы леммы 3.2, 3.3, 3.4 и 3.6.

Используя критерий топологической транзитивности (см. введение), докажем, что свойство равномерной аппроксимируемости фазового пространства косого произведения его периодическими орбитами влечет за собой топологическую транзитивность косого произведения.

Лемма 3.1. Пусть F Е T3(I ) удовлетворяет (А.2) Тогда косое произведение F топологически транзитивно.

Действительно, возьмём в I два произвольных открытых непустых подмножества U и V. Воспользуемся свойством равномерной аппроксимируемости прямоугольника. I периодическими орбитами отображения F Е T3(I). Найдётся некоторое разбиение Р‘ прямоуголь-к пика I па. к 'замкнутых подирямоуго.тышков (I = U Ij) 11 натуральные числа. 0 < q,р < к г=1

такие, что U D I_g. V D I_p. При этом существует F — перво динеская топка (х*,у*) такая, что F^Т (х* ,у*) Е U. a F ^/(х*,у*) Е V. Для определённости будем считать, что г < I. Тогда F^l-r(U ) П V = 0. Таким образом, лемма 3.1 справедлива.

Из определения 1.2 непосредственно следует

Лемма 3.2. Пусть F Е T3(I ) удовлетворяет (А.2). Тогда косое произведение F имеет плотное множество периодических точек.

Далее покажем, что свойство топологической транзитивности влечёт за собой равномерную аппроксимируемость фазового пространства, периодическими орбитами динамической системы рассматриваемого класса. Для этого сначала убедимся в том, что топологическая транзитивность косого произведения из класса T3(I ) влечёт плотность множества его периодических точек.

Лемма 3.3. Пусть F Е T3(I ) удовлетворяет условию (А.1). Тогда для любого х Е Ii отображение g_x(у) не имеет блуждающих интервалов.

Доказательство. В силу условия (С.2) и леммы 2.9 отображение g_x (у) не имеет блуждающих интервалов при всех х Е Ii.

Лемма 3.4. Пусть F Е T3(I ) удовлетворяет условию (А.1). Тогда для любого х Е Ii отображение g_x(у) не имеет аттракторов.

Доказательство. Допустим, существует точка х* Е Ii такая, что отображение g_x* (у) имеет периодический аттрактор у* (наименьшего) периода п. В силу свойства (С.2), леммы 2.1 и леммы 2.2 g_x*,2(c_x*) = 02. Таким образ ом, ни точка с_х*, ни один из её прообразов не принадлежат области притяжения периодического аттрактора у*.

Заметим, что точка у* имеет максимальную окрестность U, не содержащую саму точку с_х* и всевозможные её прообразы (U не пусто, так как содержит область непосредственного притяжения точки у*). Тогда dU состоит из некоторых прообразов критической точки с_х* — с/ и с_г порядков I и г соответственно.

• 1)    Пусть I = г = 1. Тогда точка с_х* принадлежит множеству U. Последнее противоречит выбору интервала U .

• 2)    Положим I = г > 2. Тогда точка с_х* принадлежит интервалу ^^д*ф 1(сі), д^1- 1(с_г)). Следовательно, на интервале (сі,с_т ) существует прообраз точки с_х*. Последнее противоречит выбору интервала U.

• 3)    Пусть теперь I = г. Для определённости будем считать, что I < г. Тогда справедливы следующие равенства:

дХ+ 1(с_і ) = b₂ и дХ* (с) = 02 при всех k >  I + 2, дХ+ 1(с_г) = Ь2 и дХ* (с_г ) = 02 при всех s > г + 2.

Получаем, что дХ* 1([сі, с_г ]) = [a₂,b₂] то есть множество U = [сі, с_г ] содержит прообразы точки с_х* . Последнее также противоречит выбору U. Таким образом, при всех ж Е І1 отображение д_х(д) не имеет аттракторов. Лемма 3.4 доказана.

Тогда в силу предложения 2.8 всякое отображение д_х,_п при любом ж Е І1 и п > 1 топологически эквивалентно некоторой итерации логистического отображения вида дП : І₂ ^ І₂ при А = (ъ™2Д2! ^а значит, топологически транзитивно и обладает плотным множеством периодических точек. Последнее вместе с равенством Рег(! ) = І1 влечет за собой существование плотного множества периодических точек у рассматриваемого топологически транзитивного косого произведения.

Таким образом, доказано, что в рассматриваемом классе косых произведений условие (А.1) влечёт за, собой выполнение условия (В.1).

Лемма 3.5. Пусть Ғ Е Т3(І ) удовлетворяет условию (А.1). Тогда косое произведение Ғ удовлетвор.яст условию (А.2)

Доказательство. Как показано выше, множество периодических точек отображения Ғ плотно в прямоугольнике І. Возьмём произвольно и зафиксируем действительное число Ф >  0 и построим по нему разбиение Р прямоугольника І на т открытых подпрямоугольников Ji, 1 <  г < т, с параметром разбиения А(Р) <  Ф. Рассмотрим произвольную транзитивную точку (ж* , у*) отображения Ғ. Введём следующие обозначения:

п1 = min { k| Ғ^fc(ж*, у*) Е J1}, п₂ = min {к|Ғ ^k(ж*,у*) Е J2 }, ..., п_т = min {k|F ^k (ж* , у*) Е Jm} .

Положим по = max {пД. Обозначим через р метрику в І, например, согласованную с то-

Кг<т

пологией произведения в І. Тогда р(ҒПі(ж*, у*), dJi) — это расстояние между щ-й итерацией точки (ж*, у*) и границей прямоугольника Ji, пусть d' =mіп{р(Ғп*(ж*, у*),дJi), 1 < г < т} — минимальное из таких расстояний. Обозначим е = min {е', d'}. В силу равномерной непрерывности косого произведения Ғ по числу е укажем число 5 > 0 такое, что max р (Ғ п(ж* ,у*),Ғ п(ж,у)) <Ф V (ж,у) ЕU ((ж*, у*), 5),

О<п<по                             2

где U ((ж*, у*), 5) — окрестность точки (ж*, у*) радііуса 5.

Тогда произвольная точка (жо,уо) Е Рег(Ғ )QU((ж*,у*),5) за первые по итераций попадёт во внутренность каждого из открытых подпрямоугольников разбиения Р, то есть орбита точки (жо,уо) аппроксимирует прямоугольник І с точностью до е. Лемма Зю дока-зяня.

Далее показано, что при добавлении условия (С.4) плотность периодических точек косого произведения из выделенного класса влечёт как топологическую транзитивность, так и равномерную аппроксимируемость фазового пространства, периодическими орбитами.

Лемма 3.6. Пусть Ғ Е Т'3(І ) удовлетворяет условиям (С.4) и (В.1). Тогда косое произведение Ғ удовлетворяет каэіедому из условий (А.1) и (А.2).

Доказательство. Пусть (жо, уо) — внутренняя периодическая точка отображения Ғ, удовлетворяющая условию (С.4). Тогда жо — внутренняя /-периодическая точка (обозначим через п её период), правостороннее и левостороннее неустойчивые многообразия которой равны всему отрезку Ii. Покажем, что какую бы периодическую точку (ж, у) € Рет (Ғ € Т3(I )) мы ни взяли, она удовлетворяет условию (С.4).

Предположим противное. Пусть существует (ж, у) € Рет(Ғ) такая, что ж € Рет(/) и имеет период к. Пусть для определённости ІП^ж,/к) = р. Тогда ІП^ж,/к) = J , где J — вполне инвариантный относительно /к интервал, отличный от Ii. Тогда J не содержит точку ж*. Пусть Orbf (J) = J|J/(J)U •••U/k-i(J) — вполне инвариантное относительно отображения / множество. Множество Orbf(J) не содержит точку ж*, следовательно, существует правосторонняя окрестность U + (ж*) такая, что U + (ж*) QOrbf(J) = 0. Кроме того, в силу условия (С.4) сущеетвует I € N такое, что /lnU + (ж*) = Ii. Значит, в U + (ж*) существует некоторый прообраз отрезка J. Обозначим его через J- С U + (ж*). Тогда существует по € N такое, что при любом п > по /п (J-) € Orbf (J). то есть J- — блуждающий отпосителыю / интервал (J_ состоит из блуждающих точек). Следовательно, в J- не существует периодических точек, что противоречит условию (В.1). Таким образом, в условиях теоремы В любая периодическая точка фактор-отображения / имеет правостороннее неустойчивое многообразие, совпадающее со всем отрезком Ii. Аналогичным образом это свойство доказывается и для левосторонних неустойчивых многообразий /-периодических точек.

Рассмотрим два произвольных открытых множества U, V С Ii. Тогда в U существует некая периодическая точка жо, обозначим её период через п. Возьмём произвольную правостороннюю окрестность U +(жо) С U. Тогда в силу условия (С.4) существует натуральное число s такое, что /^sn (U + (жо)) = Ii D V. Последнее означает, что отображение / топологически транзитивно (см. критерий топологической транзитивности).

В силу условий (С.2), (С.3) и плотности множества периодических точек косого произведения отображение д_х(у) при каждом ж € Ii является сюръективным унимодальным отображением, не обладающим ни аттракторами, ни блуждающими интервалами. Следовательно, д_х(у) при каждом ж € Ii топологически эквивалентно некоторой итерации логистического отображения вида у = 4ж(1 - ж), т.е. д_х(у) топологически транзитивно. Таким образом, периодические орбиты отображения д_х(у) равномерно аппроксимируют отрезок I2 [16]. Последнее вместе с равіюмеріюй аппроксимируемостью отрезка. I_i периодическими орбитами / влечёт за собой равномерную аппроксимируемость прямоугольника I периодическими орбитами Ғ. Тогда в силу леммы 3.1 отображение Ғ топологически транзитивно. Лемма. 3.6 доказана.

Теоремы А и В доказаны.

Отметим, что дополнительное условие (С.4) опустить нельзя. Одно лишь свойство плотности множества периодических точек отображения Ғ рассматриваемого класса не влечет за. собой топологическую транзитивность.

Примером обладающего плотным множеством периодических точек, но не топологически транзитивного косого произведения из T3(I ) может служить отображение Ғ₁(ж,у) : [0,1]² ^ [0,1]² с фактором

Рис. 1

/ (ж)=- у^3+1бж2 - 136ж+2

(см. рис. 1) и отображениями в слоях д_х(у) при любых (ж, у) € I, определённые так, как это сделано для отображения Ғ (см. раздел 4). Тогда Рет(Ғ₁) = [0,1]². но Ғ₁ не является топологически транзитивным, поскольку фактор-отображеіше / имеет два. ішварпаіиных промежутка. [0, 2) ^{11 (} 2, 1L

4.    Пример косого произведения, имеющего аттрактор с непустой внутренностью

Докажем теорему существования косого произведения из класса 1'3(1 ).

Теорема 4.1. Существует топологически транзитивное косое произведение F G 1^1 ).

Доказательство. Определим косое произведение F : [0,1]² ^ [0,1]² в силу следующих равенств:

F(ж,у) = (4ж(1 — ж), дх(у)),                                (4)

где

у дх⁽у( = j

а(ж( (г — Ь(ж)) (г — с(ж)) (г — d(ж)') dz,

а(ж), Ь(ж), с(ж) и d(ж) — С ³-гладкие на отрезке [0,1] функции действительного переменного.

Равенство (5) может быть записано следующим образом:

д_ж(у( = оо(ж)у⁴ + щ(ж)у³ + О2(ж')у‘² + О3(ж)у,

где оо(ж) = щщ;

Й1(ж) =

а(х)(Ь(х)+с(х)+(х)) .

3                 :

02(ж) =

a^^b^d^+b^c^+c^d^x)) 2

оз(ж) = —o(ж)b(ж)с(ж)d(ж).

Найдём функции о(ж), Ь(ж), с(ж) и d(ж), исходя из следующих условий:

• д.(1) = 0;

• ^gx⁽tx( = ^1;

Эд^ ⁽у) I       _ -|.

Эу |У=⁰ = 1;

Эд^^у)

Эу vy=tx = 0

где при каждом ж G [0,1] t_x = ^ + отображения д_х(у) по перемешюй у. Имеем

: [0,1] ^ [0.5, 0.6] — абсцисса критической точки

o(tx) =

-

^4(t2 ^— 2t^{2 +} 4tx — ²⁾ '2 ( 'х — 1)^{2       ;}

c(tx) =

2tX — t3 — 4t2 +11tx — 6  V 4t2 — 20t7 + 49t2 — 92tX + 162tX — 204t3 + 201t2 — 132tx + 36

St3 — 16t2 + 32tx — 16 +                     St3 — 16t2 + 32tx — 16

b(tx)

.     2t4 — t3 — 4t2 + 11Д — 6

^c(t2) ⁺ 4(t 2 — 2- + 4t . — 2) ;

^d(t2 )    ' x .

Отметим, что функции o(t_x), b(t_x ), c(t_x ) и d(t_x ) корректно определены при всех ж G [0,1].

На рис. 2 приведён график функции д₂ (у) : [0,1]² ^ [0,1]. На рис. 3 приведён график функции у = дх (у) при ж = 0.5.

В силу (4) фактор-отображение построенного косого произведения есть унимодальная С ³-гладкая сюръекция отрезка [0, 1]; функция д(ж, у) есть С ³-гладкая по совокупности переменных ж и у сюръекция квадрата [0, 1]² на от резок [0, 1], причем при каждом ж G [0,1] отображение в слое д_х(у( является унимодальной сюръекцией отрезка [0, 1] такой, что на [0, 1Хо + 2 ] д₂ ( у ) гтрого воз растает по у. а на, (120 + 2, 1] д_х (у) строго убывает по у. причём

Рис. 2

Рис. 3

при любом ж € [0, 1] справедливо д_ж(0) = д_ж (1) = 0 и д_ж(у) имеет неплоскую критическую точку tж = ^ + 2.

Покажем, что шварциан построенного косого произведения отрицателен. Для этого нам потребуется следующее утверждение.

Предложение 4.2. [12, гл. 4, §2] Если f(ж) — полином степени > 2 и все корни f‘(ж) = 0 действительны, то S f (ж) < 0 всюду, где f‘(ж) = 0.

Производная ^дуГ) = а(ж)(у — Ь(ж))(у — с(ж))(у — Дж)) имеет три действительных корня при каждом ж € [0,1]. Таким образом, в силу предложения 4.2 S (д_ж(у)) < 0.

Покажем, что построенное косое произведение топологически транзитивно.

Действительно, в силу своего задания д_ж,_п(у) ^не имеет блуждающих интервалов (см. лемму 2.9) при всех ж € [0, 1] и п > 2. Кроме того, д_ж,_п(у) не имеет периодических аттракторов, так как в этом случае в область притяжения периодического аттрактора попала бы критическая точка или один из её прообразов, что невозможно, так как д_ж,_п(1) = 0 при всех ж € [0, 1] и п > 2. Тогда в силу предложения 2.8 д_ж,_п(у) топологически сопряжено с п-й итерацией фактор-отображения f (ж) = 4ж(1 —ж) (см. предложение 2.8). и вместе с f (ж) отображение д_ж,_п топологически транзитивно (см., например, [14, гл. 6, п. 6.1.1]).

Топологическая транзитивность f (ж) означает, что существует точка ж* € [0,1] такая, что ш(ж*, f) = [0, 1],                                               (8)

где ш(ж*, f ) — ш- предельное множество /-траектории тонки ж*. Отображение f (ж) обладает также следующими свойствами:

• 1)    f (ж) имеет периодические точки любого периода;

• 2)    [0, 1] = Per(f) [14. гл. 6. п. 6.1.1]).

Из равенства (8) и свойства 2) следует возможность аппроксимации отрезка [0, 1] f- периодической орбитой с произвольной наперед заданной степенью точности [20], [16]. Последнее означает, что для любого е >  0 и произвольного разбиения Р_ж отрезка [0, 1] с параметром разбиения А(Р_ж) < е найдется f-периодическая орбита Of такая, что внутренность каждого отрезка разбиения Р_ж содержит хотя бы одну точку орбиты Of.

Возьмем произвольно и зафиксируем е € (0, 1). Построим разбиение Р_ж отрезка [0, 1] оси абсцисс на ([-] +1) равных отрезков. Тогда А(Р_ж) < е. Укажем f-периодическую орбиту Of (ж⁰) так, что внутри каждого отрезка разбиения Р_ж содержится хотя бы одна точка орбиты Of (ж⁰) (при этом точка ж⁰ принадлежит внутренности первого по порядку отрезка разбиения Р_ж). Обозначим через т(ж⁰) (наименьший) период периодической орбиты

Of (ж⁰) = {ж⁰, / (ж⁰),..., / ^т(х0^)-1(ж⁰)}, где т(ж° ) > [ 1 ] + 1 (существование орбиты с таким периодом вытекает из свойства 1)).

Пусть е' = 2 Х(Р_х). Построим разбиение Р_у отрезка [0, 1] оси ординат на ([ 1 ] + 1) равных отрезков Jo Р J1 Р ... Р Jk-p где к = [ф] + 1, и J_T Р J_r+1 в том и только том случае, если для любых различных ж' G J_r, ж'' G J_r+1 выполнено ж' < ж''. Имеем Х(Р_у ) < е' < 2е.

Так как при всех 0 <  г < т(ж⁰) — 1 отображение gj і (_х0) (у) топологически транзитивно, то непрерывность Ғ вместе с равенством (2) влекут за собой топологическую транзитивность сужения Е^ (_х0)_х[0,1]- Пусть для определенности у⁰ - некоторая транзитивная точка отображения д_хо (у). лежащая во внутренности отрезка, J0 разбиения Р_у. Тогда траектория {Ғ ^г(ж⁰, у⁰)}_г>0 всюду плотна во множестве Of (ж⁰) х [0, 1]. Обозначим через гр_Т, где 0 <  j < т(ж⁰) — 1, 0 <  г <  к — 1, наименьшие неотрицательные значения дискретного времени г такие, что

Ғ^(ж0, у0) G {/j(ж0)} х гниг, здесь гntJr - внутренность отрезка JT. Так как множество указанных неотрицательных целых чисел конечно, то корректно определено натуральное число

г* = max     {г^ _Т }.

0<^<т(ж0)-1   ’

0

Отметим, что г* > кт(ж0). Используя равномерную непрерывность отображения дх,г* (у) в квадрате [0, 1]2. по нис.ту е' указкем 5 > 0 так. чтобы при всех у G [0, 1] таких, что |у — у0| < 5, выполнялось неравенство max фх0, г (у) — дж0,г(у0)| < е',                                   (9)

0<г<г*

каково бы ни было ж0 G Рег(/).

Топологическая сопряженность отображений ухо (у) и ут(х ) (ж) позволяет указать точку у0 G Рег(дхо) так. что (наименьший) период т(у0) тотikii у0 отпоентс.тыю дхо удовлетворяет неравенству т(у0) > к (то есть период Ғ-перііодическоп тонки (ж0; у0) - равньш т(ж0)т(у0). не меньше, чем кт(ж0)); |у0 — у0| < 5, и в силу (9) верно max |дх0,г(у0) — дхо,г(у0)| < е.

0<г<г*

Последнее вместе с выбором чисел е' и гр_г означает, что внутренность каждого из ([|] +1)² квадратов, сторонами которых служат отрезки разбиений Р_х и Р^, где разбиение Р^ получено делением отрезка [0, 1] оси ординат на ([¹ ] + 1) равных частей, содержит хотя бы одну точку периодической орбиты Ор ((ж⁰; у0))- Таким образом, квадрат [0, 1]² с произвольной, наперед заданной степенью точности можно аппроксимировать периодическими орбитами отображения Ғ. Отсюда в силу леммы 3.1 следует, что построенное косое произведение Ғ топологически транзитивно. Теорема. 4.1. доказана.

Следствие 4.3. Косое произведение Ғ : [0,1]² ^ [0,1]², построенное в теореме 4.1 допускает свое естественное расширение Ғ* : [0,1] х [—0.25,1.05] ^ [0,1] х [—0.25,1.05].

На рис. 4 приведён график функции дх(у) : [0,1] х [—0.25,1.05] ^ [—0.25,1.05], на рис. 5 — график функции у = дх(у) при ж = 0.5.

Введём понятие аттрактора, динамической системы.

Определение 4.4 [6, ч. 1, гл. 3, § 3.3]. Компактное множество А С I называется аттрактором косого произведения Ғ : I ^ I, если существует такая окрестность U множества А II такое натуральное число п. что Ғ^п(и) С U и А = Q Ғ^(U).

k>0

Теорема 4.5. Косое произведение Ғ* : [0,1] х [—0.25,1.05] ^ [0,1] х [—0.25,1.05], определённое равенствами (4), (5), имеет аттрактор А = [0,1]².

Доказательство. Для доказательства, данной теоремы воспользуемся определением 4.4. Возьмём U = [0,1] х [—0.25,1.05]. Из определения Ғ* следует, что при любом натуральном п ^(U) С U.

Рис. 4

Рис. 5

Покажем, что А = Q F* (U). Действительно, для каждого ж € [0,1] поло жим А_х рав-к>0

ным наименьшему корню отображения д_х на от резке [-0.25,1.05] (см. рис. 5).

Тогда при любом ж € [0,1] имеем

• 1)    д_ж([0,1]) С [0,1];

• 2)    дД[-0.25,А_ж]) С [0,1];

• 3)    д_х([1,1.05]) С [-0.25, А_ж];

• 4)    отрезок [А_ж, 0] под действием отображений в слоях стягивается к точке 0, так как точка 0 является притягиватотцей слева, неподвижпой точкой каждого отображения д_х.

• 4.5 доказана.

Таким образом, А = Q F*(U), а следовательно, множество А — аттрактор F*. Теорема к>0