Топология сходимости по мере на JBW- алгебрах

В этом статье мы рассмотрим основные свойства топологии сходимости по мере на JBW - алгебрах и докажем, что пополнение алгебры относительно топологии сходимости по мере является отделимой топологической Йордановой алгеброй.

Пусть А ^- JBW - алгебра, ^V - множество идемпотентов А , m -субаддитивная мера на A [2].

Рассмотрим множество вида:

N ( е , 3 ) = { a е A :| \U_pa\\

< е, m ( p ¹) <  3, для некоторого p eV }

,

для

е,3 > 0

Теорема 1. Множество ^{N (£},³ ) обладает следующими свойствами:

N (е 3 + N (^ ,3₂ ) c N ^ + е 3 + 3₂) ¹¹           2-  ^{2           1     2  1}     2, ;

ЛN(s,3)cN(|Ле,3), ЛеR ;

( -Л, Л ) x c N ( ^|x|\s,3 )

• 4)

• 5)

• 6)

N2 (f,5) g N(f2,25)     N2 (f,5) = {a2,a e N(f,5)} xN (f,^ N(||x|| ,з5)

;

если f < 1, тоN0,5) П V = {ee V,m(e) <5};

e,5 > 0П N (s,5) = {0}.

0 <  y <  x e N(f , 5)    y e N(s,5

если                    ,, то          ,   , т.е. все

множества

N (f,5)

заполнены.

Доказательство. 1) Пусть ^{x e} N ^{( f 1, 5} 1 ) , y ^{e N(f} 2^{, 5} 2 )

т.е. существуют

na^V          U_px < f , Ux < f , m(p Л< 5    ^m(q ^±)< 5

p’ qev такие, что p     1 q     2           1, и           2. Положим e p Л q, тогда e 1 p л q p v q и по свойству m имеем m(e±) = m(p±vq^

субаддитивной меры

_e^_D   Ux = Ux = UUx

Далее, так как e ^p, то ^e     ep     ^{e p} .

В силу положительности оператора ^Ue и из неравенства

-f 1 < U_px< f 1

имеем  ^f11< UeUpx< ^f 1¹, т.е. 11 ^Ue^xl I < ^f1. Аналогично 11 UeyH < ^f2.

Следовательно, Ue⁽x⁺y)l< ।U-x⁺1Uy< ^f' ^{+ f} , т.е.

х + у e N(f + f ,5 + 5)•

2) Очевидно.

элемента

x e A, in < Л

Пусть     ,

^x. Тогда для Л > I|^x||

те

x = j Ade^

-”    - спектральное разложение e,=e 1 = 0       e = e,vef имеем -ал    и если   -Л   а , то

m ( e ) = 0 < 5

для любого ⁵ > ⁰ и

|| ^Ue ' x|| <1 Ixll

. Далее, для любого

П < л

II Upxll <^f

||^UeЛ^x)||< M|^е¹x|| < ^1 xll

Пусть ^{x e}N^(f,5), т.е. существует идемпотент

peV; m ( p¹)< d,

. Если

x = xr + xl + x0

– пирсовское разложение элемента x по

идемпотенту p , то

^x1 = ^Up^x

,

x, = 2U

p, p

x x = U x

⁰     p

,                           .

g = s ^x1                                x1               _      _±

Пусть      ^ 2 ^ - носитель компоненты 2. Положим q =p Л g , тогда q - g ,

т.е. q^eJо (g)

.

( к g = ^{s x} i

= s

Поэтому

(

Uq ( x 2 ) = Uq xl

Так как qx 2 = 0

к 2 7

( x i к 2 7

,

то

.

^{x2 e}Ji ( g )

2 .

Отсюда

2  2   22

+ x_l + x₀ + 2x_l (x_l

) = ^Uqx1 + ^Uqx²

= UX

В самом деле, так как

^U_q (Jo⁽p)) = Uq^(J1 ⁽P )) = {0}

2          . Так как

, то

.

Uq = Uqp = UqUp

x = U»x

^{1 p} , т.е.

II ^x1l^{- £}, то

II Uqx²II = IIUq^x2ll -11x2 II = 11x1112

- £²

.

и значит

( к

/ A /±    \           g = s xi m (q ) = m Ip v g)                 I I

Причем                   . Так как     ^{к 2 7}

^xi ^еJi (P) = J-(P¹) и ^{2     2          2}

то по следствию леммы 2.3 из [i] g Pi + p2, где Pi и p2 ортогональные идемпотенты, эквивалентные через симметрию, причем Pi - p . Значит m ( q ') = m ( P1 v Pi v P 2 ) = m ( P1 v P 2 )- m ( P ") + m ( P 2 )

= m (p¹) + m (p_r) - 2m (p¹) - 28

„_ x² e N(£\28)

.

Следовательно, такой что

m (P¹)^{- 8}, ||^Upy||^{- £}

пирсовские

( к e₁ = s x₁   e₂

к 2 7 ^,

разложения элементов

( к

= ^s y i       11

к 2 7 q = P A ei A e 2

ei = е1 ^{+ е}1, e2 = е2 ⁺е2, где eiei = ⁰, ei

x = xi + xi + xo, y = yi + yi + yо Пусть   22– x и y по идемпотенту p . Положим

В силу следствия леммы 2.3 из [1]

e ’i и i эквивалентны через симметрию и

ei^-P¹(i = ⁱ,²)

. Следовательно

m

( q¹) = m (p¹

v e_Y v e₂) = m (p¹v e’v e"1) - m ( p¹) + m (e[) + m ( el,1) - 3m ( p¹)

^Uq ( W ) = ^Uq^Up xiу-⁺xi у i ⁺x0у0 ⁺xi ( у0 ⁺у- ) ⁺(x0 ⁺xi ) у i

. Далее,                ^к

(           к

= ^Uq^Up xi У1 ⁺x 1 У1

= ^Uq

к

2  2 7

(к xi У1 + x 1У1

к          22

.

2 7

Ho

1 q^-ei

(  к¹

= s x₁

к 2 7

,

следовательно,

qx_r = 0

т.е.

^x i ^eJ0 (q)

y 1 e J0 ( q)              x1 y 1 ^eJ₀( q )

.Аналогично, 2         и, значит, 22,

^Uq⁽xy) = ^Uq⁽x1 y1 ) .     Но     1x1 У11| < ||x11| ||У111 < ||x|| ^£ .

m (q')< 3^d      xy^eN (||x||^£,3d)

, т.е..

6) Если e eV, m(e)< д, то для p т.е. e e N£,д) для любого £ > 0.

(     ^

Uq x1У1 1 = ⁰

т.е. ^ ²²'   . Поэтому

Итак,   Uq⁽xy )Hx^,

m(P') = m(e)< д  U_pe = 0

Обратно, пусть ^{e e N}(^{£,д), £}<¹

.    m(q')< д, UA такой, что              q

Тогда существует идемпотент q^e^

.

Пусть р е^Лq, тогда ^Uqe^{> UqP  P}. Если ^p ^ ⁰,

||Uqe|| >1 |P| = ¹ > ^£

P = 1

то        и значит р =0. Так как

что невозможно. Следовательно, идемпотенты    q q и       q    эквивалентны через симметрию, то

m^(e ) = m^(e V q - ^q )<< m (1 - q) > S             .            Следовательно,

N⁽£,^d)n{e eV, m (e )< ^d}       < 1

• р.

x e P| N(£,d), x ^ 0                       x e P| N(£,d)

• 7)    Пусть       ^£,^д>⁰                , тогда в силу (4).    ^£,^s>0         .

Существует число ⁿ > ⁰и идемпотент ^{e eV}, ^e ^ x , ^e ^ ⁰ такие, что ^x > ⁿe

. Пусть ^д< ^{m (e}),

^£< ⁿ произвольны. Так как x^{e N}(^£,d), то существует

p eV

m(p')< д U x²< £                                 U

, ^p      . В силу положительности оператора ^p имеем

0 < U (ne)< U_px      ПUe< £        Ue< £ / П< 1

pp , т.е.    p    . Значит, p         . Отсюда, как и в рле = 0     m(e) < m (1 - p)

Это противоречит выбору

(6), вытекает, что ^р е , т.е.

(6). Следовательно, ^x = ⁰.

• 8)    Пусть x^{e N(£}, ), и & < ^У< ^x, т.е. существует ^{p eV}, такой что

  IIUpxll<^£m(pJ<^s.  _Тогда IWI<ИМ<^£,

  y e N (z,

  . Теорема доказана.

  
  

  и отсюда следует, что

  
  

Определение 2. Топологией сходимости по мере m на JBW – алгебре назовем топологию, в которой базис окрестностей нуля образуют множества N (£,д )

Обозначим топологию сходимости по мере через t. Положение A по t обозначим через A . Тогда

(A, t)

– топологическое пространство. Из

теоремы 1 вытекает следующий результат.

Следствие 1. Алгебра Aˆ относительно топологии t сходимости по мере m является отделимой топологической йордановой алгеброй, т.е. операции сложения      и умножения элементов непрерывны по совокупности переменных.

По аналогии со случаем следа [1], A^ˆназовем алгеброй измеримых элементов относительно субаддитивной меры ^m .