Традиция арифметических задач: попытка реконструкции

Некоторые арифметические задачи «на сообразительность» в наших школьных учебниках имеют очень долгую историю. Мы зачастую даже не догадываемся, насколько долгой она является. Мы можем сказать: по виду это задача из старинного задачника по арифметике, такие задачи решали еще в XIX, а может быть и в XVIII веке. Но мы сильно удивимся, если узнаем, что эту же задачу решали много веков назад в средневековых школах, а до этого — в древней Греции или даже в древнем Египте.

Трудно найти человека, который бы не знал задачу про волка, козу и капусту. Однако многим неожиданно будет узнать, что она, наряду с тремя ΣΧΟΛΗ Vol. 10. 1 (2016) © А. И. Щетников, 2016 другими популярными задачами на переправу через реку, содержалась в сборнике Propositiones ad acuendos juvenes (Предложения для изощрения юношества), составленном во время каролингского возрождения; возможно, что составителем этого сборника был Алкуин (735–804), выдающийся ученый при дворе Карла Великого.

В этом же сборнике имеется несколько арифметических задач с зачином условия «на 100 монет купили 100 животных», в которых предлагается решить в натуральных числах систему из двух уравнений с тремя неизвестными. Эта же задача содержится в других средневековых сборниках, в том числе — индийских и арабских, что не выглядит удивительным, тем более что и в одной из задач Алкуина речь идет о торговце с востока, который на 100 денариев покупает 100 верблюдов, ослов и овец. Однако задача с условием «на 100 цяней купили 100 птиц» имеется также в китайском сборнике V века, и это заставляет задуматься как о наличии общего источника традиции, так и о путях, которыми эта традиция была передана в столь далекие друг от друга страны.

Как неоднократно подчеркивал в своих работах датский историк математики Йенс Хойруп (см., например, H0yrup 1990), занимательные задачи придумывались и передавались в кругу людей, практика которых была связана с измерениями и вычислениями. Человек, способный решить трудную задачу, демонстрирует свой навык и сообразительность; приемы решения таких задач запоминаются и ценятся как средства демонстрации этой сообразительности.

В работах Хойрупа обсуждается и механизм передачи занимательных задач между географически удаленными культурами. Передатчиками традиции здесь могут выступать караванные торговцы — люди сообразительные, любознательные, знающие несколько языков. Уже к концу II в. до н. э. на Евразийском континенте складывается протяженная сквозная сеть караванных путей, соединившая все великие цивилизации Старого Света, и известная как Великий шелковый путь. Занимательные задачи могли передаваться вдоль караванных путей — вместе с шелком и другими предметами роскоши. Хойруп даже называет их «задачами караванных стоянок» (camp fire riddles).

Другая сторона дела, которую я хочу обсудить в этой статье, связана с устными приемами, которыми решаются многие из этих задач. Я склонен предполагать, что многие задачи этого круга были придуманы сразу же вместе с красивыми приемами их решения, — а потом эти приемы забывались из-за прерывания устной традиции и замещались более громоздкими арифметическими или алгебраическими техниками. Было бы странно, если бы задача на сообразительность с самого начала подразумевала длинное письменное решение — ведь тогда у нее просто не было бы шанса удержаться в устной традиции, сохраняющей лишь отборный материал.