Учет законов сохранения при нейросетевом подходе к численному решению нелинейного уравнения Шредингера

В работе рассматривается один из возможных вариантов модификации нейросетевого подхода к численному решению нелинейных уравнений в частных производных, у которых благодаря физическим свойствам описываемых явлений имеются интегралы движения. Представленный метод подразумевает учет и непосредственное использование соответствующих законов сохранения при построении и обучении нейронных сетей, аппроксимирующих решения такого класса задач, что позволяет улучшить характеристики и качество получаемых нелинейных регрессионных моделей. Более точное выполнение консервативных свойств физических систем для аппроксиматора обеспечивается регуляризацией функции потерь: добавлением невязки сохраняющейся величины нейросетевого решения. Данная концепция рассмотрена и апробирована на примере нелинейного уравнения Шредингера и двух его интегралов движения, отвечающих законам сохранения числа квантов и энергии. Для вычисления невязки этих сохраняющихся величин и реализации консервативной регуляризации функции потерь был использован метод плоскостей непрерывности (вычисление величин в фиксированные моменты времени). Полученные результаты показывают улучшение консервативных свойств, а также в некоторых случаях точности нейросетевого решения по сравнению с регрессионной моделью, построенной с помощью глубокого обучения без учета предложенной в работе модификации.