Удивительные свойства первой четверки простых чисел

Ч. Узерелл утверждал, что всякий, кто изучает простые числа, бывае т очарован и одновременно ощущает собственное бессилие. Определение простых чисел так просто и очевидно; найти очередное простое число так    легко,    разложение    на    простые    сомножители    — такое естественное действие. Почему же простые числа столь упорно с опротивляются попыткам постичь порядок и закономерности их располо жения? Может быть, в них вообще нет порядка, или же мы так слепы, что не видим его? [5].

В рамках теоретико числовых исследований, связанных с всеобъемлющей ролью простых чис ел в математике и философии, позволивших автору открыть пять удиви тельных совокупностей квадратных трехчленов, доказать теорему о част ичной периодизации и получить ряд не менее значимых результатов [2], обратимся к более подробному исследованию первых четырех простых чисел 2,3,4,5.

Какие же закономерности, неизвестные доселе, открывает, казалось б ы, тривиальная числовая последовательность?

Рассмотрим подмножества (1):

p*q + 22n-1,

p*q + r*22n-1, p + q*22n-1, p + r*22n-1, q+p*22n-1, q+r*22n-1, r + p*22n-1, r +p*22n-1, r + q*22n-1, где:         n=1,2,3,         а         p,         q,         r         — попарно различные числа из множества {3,5,7}.

Исследование подмножеств (1) показало, что каждое из этих подмно жеств состоит из трех простых чисел.

Действительно, числа

3*5 + 2

2n-1

3*7 + 2

2n-1

5*7		+	22n-1,
3*5		+	7*22n-1,
3*7		+	5*22n-1,
5*7		+	3*22n-1,
3	+	5*22n-1,
5	+	3*2 2n-1
7	+	3*22n-1,
3	+	2*2 2n-1
5	+	2*2 2n-1
7	+	5*22n-1,

при n= 1,2,3 являются различными подмножествами простых чисел:

{17, 23, 47};

{23, 29, 53};

{37, 43, 67};

{29, 71, 239};

{31, 61, 181};

{41, 59, 131};

{13, 43,163};

{11, 29, 101};

{13, 31,103};

{17, 59, 227};

{19, 61, 229};

{17, 47, 167}.

Рассмотрим следующие подмножества, образованные посредством исс ледуемой четверки простых чисел:

3 + 5 + 7 + 2n (n= 1, 2,3,4,5, 6 ) ;

3*5*7 + 2n (n= 1, 2,3)

Оказывается, что они также состоят из простых чисел: {17,19, 23, 31, 47, 79};

{107, 109, 113}.

Порожденные удивительной четверкой первых простых чисел подмно жества:

3 + 2n (n= 1, 2, 3, 4) ;

2 + 3n (n= 0, 1, 2, 3, 4);

2*3 + 2n + 3n (n= 1, 2, 3, 4, 5);

2*5 + 5n (n= 0, 1, 2, 3, 4);

2n + 5n(n=0, 1, 2);

5 + 2*3n (n= 0, 1, 2, 3, 4, 5);

5 + 2*7n (n= 0, 1, 2,3);

3* 5n + 2n (n= 1, 2, 3);

3* 5 + 2n (n= 1, 2, 3, 4, 5, 6);

3 + 2*5n (n= 0, 1,2);

3 + 2*7n (n= 0, 1,2);

3*5 + 22n (n= 0, 1, 2, 3, 4, 5)

также являются последовательностями простых чисел: {5, 7, 11,19};

{3, 5, 11, 29, 83};

{11, 19, 41, 103,281};

{11, 13, 19,37};

{17, 23,41};

{11, 17, 59, 353, 2401};

{7, 11, 31, 131, 631};

{2, 7, 29};

{7, 11, 23, 59,167, 491};

{7, 19, 103, 691};

{17, 79, 383};

{17, 19, 23, 31, 47};

{17, 19, 31, 271, 65551, 4294967311}.

Из изложенного вытекает, что одним из наиболее значимых и особе нно удивительных свойств исследуемых простых чисел {3,5,7} является их взаимозаменяемость в формулах (1).