Удовлетворяет ли релятивистское преобразование импульса принципу соответствия?

Показано, что вопреки устоявшемуся общепринятому представлению релятивистское преобразование импульса при малых скоростях не переходит плавно в классическое преобразование импульса.

Как известно, компоненты импульса ( p x , P y , p z ) и ( p '_x, p y , p z ) пробной частицы в системах отсчета 5 (покоящейся) и 5 (движущейся со скоростью в = V / c относительно системы отсчета 5 ) в СТО связаны преобразованием:

p x = y⁽ P x -Р E / c ) , p У = P y , p Z = P z ,

где у = 1/ 4 1 -в ² , E - энергия частицы. Принцип соответствия требует, чтобы релятивистское преобразование импульса (1) при в <<  1 плавно переходило в классическое преобразование импульса и для того чтобы определить это нужно найти преобразование импульса в классической физике.

В классической механике, как известно, предполагается существование абсолютного пространства и абсолютного времени. Систему отсчета, покоящуюся относительно абсолютного пространства, очевидно, обозначить через 5 , а систему отсчета, движущуюся со скоростью V относительно абсолютного пространства (предполагается, что V <<  c ), обозначить через 5 ' . Координаты события ( x, y, z, t ) и ( x', y ' , z ' , t ' ) в системах отсчета 5 и 5' связаны преобразованием Галилея:

X' = X - Vt, y' = y, z' = z, t ' = t, обратное преобразование от которого, как известно, имеет вид:

X = x ' + Vt ', y = y ' , z = z ' , t = t' . (2)

Предположим, что интересующая нас пробная частица движется относительно системы отсчета 5 со скоростью v . Тогда для квадрата элемента интервала ds ² пробной частицы в системе отсчета 5 имеем:

ds ² = c ² dt ² - dx ² - dy ² - dz ² = c ² dt ² 1 1

^^^^^^^»

v ²)

^c 7

,

где v ²

dx ² + dy ² + dz ²

dt ²

. Так как мы рассматриваем случай v <<  c ,

для интервала приближением:

ds = cdt 1

I

ds

достаточно ограничиться первым его

^^^^^^^»

1 v ²

2 c ²

.

Квадрат интервала ds'2 пробной частицы в системе отсчета 5', очевидно, равен:

ds ' ² = ds ² = c ² dt ² - dx ² - dy ² - dz ² .

Подставляя в это выражение преобразование (2) получаем:

ds' ² = c ² dt' ² - 2Vdx'dtV ² dt' ² - dx' ² - dy' ² - dz' ² = c ² dt '2 1 - ⁽^ ⁺ v ) | ,

I c ² 7

где v - скорость частицы в системе отсчета 5 . Так как мы рассматриваем случай V + v '| << c , то для интервала ds' достаточно ограничиться первым его приближением:

ds ' = cdt 'f l -¹ ( V ⁺ v ‘ ) .

( 2     c ²     7

Таким образом, для функции Лагранжа L пробной частицы в

системе отсчета S получаем:

L = - mc ²

m v ²

⁺ ^T ’

а в системе отсчета 5 :

L ' = - mc ²

m ( V + v ') ²

+    2

Отсюда для импульса пробной частицы в системе отсчета S получаем:

5L p =   = mv, av а в системе отсчета 5 :

d L p ’= — = m (V + v'), av где (V + v') = v . Следовательно,

P' = P, или

P X = P x , P У = P y , P Z = P z •                             (3)

Таким образом, в классической механике импульс пробной частицы при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой не меняется.

Теперь разложим релятивистское преобразование импульса (1) в ряд по степеням в :

E . 1

P x = P x -^в — + 2 P x ^в - •••, P У = P y , P z = P z .       ⁽⁴⁾

Мы видим однако, что при в <<  1 ( V <<  c ), т.е. если ограничиться членами первого порядка малости по в , релятивистский ряд (4) не переходит плавно в классическое преобразование импульса (3), а переходит в принципиально новое преобразование:

E

P x * P x -Р — , P У = P y , P z = P z .

c

Так вместо классического предельного перехода рx * px получается

E

P x * P x -P— . c

Если преобразование импульса и

должно отличаться от классического преобразования импульса (3), оно не должно содержать члены первого порядка малости по в , с тем, чтобы не входить в противоречие с принципом соответствия. Этому требованию удовлетворяет, например, преобразование импульса

P x =Y^{- 1} P x , P У = P y , P z = P z .                        ⁽⁵)

Преобразование (5) связывает компоненты импульса ( P_x, P_y, P z ) и ( p '_x, p '_y, p z ) пробной частицы в системах отсчета 5 (покоящейся относительно эфира) и 5 (движущейся со скоростью в = V / c относительно эфира) в теории неподвижного светоносного эфира [1]. В этом можно убедиться, если преобразование (5) разложить в ряд по степеням в :

P x = P x - ¹ P x Р ^{2 - 1} P x Р ^{4 -} •••, P у = P y , P z = P z .     ⁽⁶⁾

2        8

Видно, что, если ограничится членами первого порядка малости по в, ряд (6), как и положено, перейдет в обычное классическое преобразование импульса (3), что и требовалось доказать. Т.е., таким образом, мы видим, что предпочтение должно быть отдано преобразованию (5), которое принципу соответствия удовлетворяет, а не преобразованию (1), которое принципу соответствия не удовлетворяет.