Umumlashlgan funksiyalarning Laplas almashtirishi

Umumlashgan funksiyalarni Q sohada ko'rib chiqamiz, bu yerda Q - o’q yoki yarim o’q. Q sohaning chetki chegaralarida ma’lum xulqqa ega bo’lgan va Q sohaning ichida cheksiz differensiallanuvchi asosiy funksiyalarni qaraymiz. Funksional sifatida  f umumlashlgan  funksiyaning ^  asosiy funksiyadagi qiymati (f, ^) kabi belgilanadi . Agar barcha ^(x)  asosiy funksiyalar uchun jf (x)^(x)dx integlani mavjudligini ta’minlovchi local Q jamlanuvchi f(x) funksiya topilsa, u holda bunday umumlashgan funksiya regulyar deb ataladi va u

^{( f} , ^ ) = J ^{f (} x ) ^ ⁽ x ) ^dx              (1)

Q ko’rinishda belgilanadi. Qolgan barcha umumlashgan funksiyalar singulyar umumlashgan funksiya deb ataladi.

X = X ( Q )   asosiy funksiyalar sinfida topologiya (yaqinlashish)

aniqlangan deb faraz qilamiz. X ' = X '( Q ) orqali X asosiy funksiyalar fazosiga qo’shma bo’lgan umumlashgan funksiylar fazosini belgilaymiz.

Oddiy f ( t ) funksiyalar uchun Laplas integrali

+да

F(p)= J f (t)e-ptdt ko’rinishda aniqlanadi. Agar t < 0 uchun f (t) = 0 tenglikdan foydalansak ushbu да

J f ( t ) e - ^pt dt = ( f ( t ) , e - ^pt )

-да tenglikka ega bo’lamiz. Buni biz e pt asosiy funksiya bo'yicha f (t) regulyar umumlashgan funksiyasining qiymati deb qaramoqchimiz.

Ammo e ^{- pt} asosiy funksiyalarning X = D ( R ) fazosiga tegishli emas, shuning uchun biz asosiy funksiyalar fazosini aniqlashning boshqacha usuldan, ya’ni umumlashlgan funksiyalarning Furye almashtirishidagi kabi usuldan foydalanamiz.

Laplas almashtirishi nazariyasida t >  0 yarim o’qda asosiy funksiyalar hisobga olingan bo'lsa, unda asosiy funksiyalarning t ^ -да dagi xulqiga hech qanday cheklovlar qo'ymaymiz. Biroq, buni t ^ +да da talab qilamiz, ya’ni asosiy funktsiyalar va ularning barcha hosilalari har qanday t ^{- 1} darajadan tezroq nolga intiladi deb faraz qilamiz.

Shunday qilib, asosiy funktsiyalarning yangi S klassi ham barcha

^ : R ^ C asosiy funktsiyalardan iborat bo’lib, ular quiydagi shartlarni qanoatlantiradi:

• 1)    ^ - bu R da cheksiz differensiallanuvchi funksiya,

• 2)    har qanday manfiy bo'lmagan l va k butun sonlar uchun: lim t¹^- k ) ( t ) = 0.

t ^+да

Bu fazoni “ t ^ +да da tez kamayuvchi funksiyalar fazosi” deb atashimiz mumkin.

Biz buni S bilan belgilaymiz.

S fazodagi yaqinlashish quyidagicha aniqlanadi.

Ta'rif. F: S ^ C chiziqli va uzluksiz funktsional  S+  fazodagi umumlashgan funksiya deyiladi va bu funksiyalar fazosi S ‘ kabi belgilanadi.

D ( R ) c S ₊ qismfazoligi aniq . Shuning uchun S ‘ c D '( R ) .

• D '( R ) dan umumlashgan funksiyalarning barcha xossalari S ‘ fazoda ham o’rinli bo’ladi.

t >  0 yarim o’qida aniqlangan umumlashgan F funktsiya, agar s ₀ e R haqiqiy soni mavjud bo'lsa, umumlashgan original bo'lib, hamma s >  s ₀ uchun e ^{- st} F ( t ) umumlashgan funktsiya S ‘ fazosiga tegishli bo'ladi.

Bunday asl nusxaning tasviri F (p) = (F (t),e-pt) qoida bilan berilgan p = s + ia kompleks o'zgaruvchining funksiyasi bo;lib, u Rep > s0 yarim tekislikda aniqlangan deb tushuniladi. Re p = s > s0 bo'lgan tayinlangan p e C uchun s, s0 < Sj < s son tanlanadi. U holda

( F ( t ) , e - ^pt ) = ( e - ^S 1 t F ( t ) , e - ( ^p - ^S 1 ) t )

bo’ladi.

Qisqartirish uchun odatda "original" va "Laplas almashtirishi" so'zlari, odatda, qanday funksiyalar muhokama qilinayotgani aniq bo'lsa, umumlashgan original va Laplasning umumlashgan funksiyalari so'zlari o'rniga ishlatiladi.

Izoh . Har qanday "oddiy" f ( t ) funksiya ham umumlashgan asl nusxadir, chunki S j >  a ( f ) uchun e - s ¹ t f ( t ) oraliq integral funksiya bo'lib, ular uchun

+x

( e - stf (t), e-p -S1) ' )=f f (t) e - pdt ya'ni, u Laplas integraliga to'g'ri keladi.

Misol. Dirakning δ-funksiyasini Laplas almashtirishi quyidagi formula bo'yicha topish mumkin: ( 3 ( t ) , e - ^pt ) = e - ^pt |_/=0 = 1 . Shuningdek

(3'( t), e -pt) = -(3 (t),-pe-pt) = (3 (t), pe -pt) = p va umuman (3(n)(t), e-pt) = pn. Bu yerda umumlashgan funksiyalarni differensiallash qoidasi ishlatilgan.

Umumlashgan funksiyalarning Laplas almashtirishi ko'plab oddiy funksiyalarning Laplas almashtirishi xususiyatlariga ega.

O’ramaning Laplas almashtirishi.

Agar    F ( t ) = F ( p ) va    G ( t ) = G ( p ) ,   Re p >  s₀ ,   u holda

( F * G )( t ) = F ( p ) G ( p ) , Re p >  s₀ (Borel formulasi).

Isbot. O’rama xossasidan

L [ ( F * G )( t ) ] ( p ) = ( ( F * G )( t ) , e ^- p ) = ( F ( x ) , G ( y ) , e"^{p ( x} + ^y ) ) =

= ( F ( x ) e - px )( G ( y ), e- py ) = F ( p ) G ( p ).

Siljish ning (originali kechikishi bilan) Laplas almashtirishi.

Agar F ( t ) = F ( p ) , Re p >  s ₀, т >  0, u holda F ( t - t ) = e ^{- p T} F ( p ) .

Ushbu xususiyatni ixtiyoriylik bilan umumlashgan funksiyalar uchun isbotlashdan oldin, biz uni J -funksiya uchun isbotlaymiz.

Misol. L [ J ( t - т ) ] ( p ) = ( 3 ( t - т ) , e ^{- pt} ) = ( x = t - т almashtirish qilamiz) = ( J ( x ) , e - ^{p ( x + t} ) ) = e- ^{p ( w}) = e ^{- p T} .

Isbot. F (t - t) = F (t - т )* 3( t ) = F (t )* 3 (t - т) ga   egamiz. Borel formulasidan va yuqoridagidan

^L [ ^F ( t - ^{t )} ] ( p ) = ^L [ ^F ( ^t ) * ³ ( t - ^{t )} ] ( p ) =

= L [ F ( t ) ] ( p ) L W ( t - T ) ] ( p ) = F ( p ) e ^{- p}' .

Foydalanilgan adabiyotlar:

• 1.    Владимиров В.С. Обобщенные функции в математической физике. M.: Наука, 1976, –280 c.

• 2.    Владимиров В.С. Уравнения математической физики. M.: Наука, 1976, – 436 c

• 3.    Qobulov, M. A. O., & Abdurakhimov, A. A. (2021). Analysis of acceleration slip regulation system used in modern cars. ACADEMICIA: An International Multidisciplinary Research Journal, 11(9), 526-531.

• 4.    Мелиев, Х. О., & Қобулов, М. (2021). СУЩНОСТЬ И НЕКОТОРЫЕ ОСОБЕННОСТИ ОБРАБОТКИ ДЕТАЛЕЙ ПОВЕРХНОСТНО ПЛАСТИЧЕСКИМ ДЕФОРМИРОВАНИЕМ. Academic research in educational sciences, 2(3).

• 5.    Qobulov, M., Jaloldinov, G., & Masodiqov, Q. (2021). EXISTING SYSTEMS OF EXPLOITATION OF MOTOR VEHICLES. Экономика и социум, (4-1), 303-308.

• 6.    Xusanjonov, A., Qobulov, M., & Abdubannopov, A. (2021). AVTOTRANSPORT VOSITALARIDAGI SHOVQIN SO'NDIRUVCHI MOSLAMALARDA ISHLATILGAN KONSTRUKSIYALAR TAHLILI. Academic research in educational sciences, 2(3).

• 7.    Xusanjonov, A., Qobulov, M., & Ismadiyorov, A. (2021). AVTOMOBIL SHOVQINIGA SABAB BO'LUVCHI MANBALARNI TADQIQ ETISH. Academic research in educational sciences, 2(3).

• 8.    Сотволдиев, У., Абдубаннопов, А., & Жалилова, Г. (2021). ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ СИСТЕМЫ РЕГУЛИРОВАНИЯ АКСЕЛЕРАЦИОННОГО СКОЛЬЖЕНИЯ. Scientific progress, 2(1), 14611466.

• 9.    Khusanjonov A., Makhammadjon Q., Gholibjon J. OPPORTUNITIES TO IMPROVE EFFICIENCY AND OTHER ENGINE PERFORMANCE AT LOW LOADS.

• 10.    Файзиев, П. Р., Исмадиёров, А., Жалолдинов, Г., & Ганиев, Л. (2021). Солнечный инновационный бытовой водонагреватель. Science and Education, 2(6), 320-324.

"Экономика и социум" №11(90) 2021