Универсальные инварианты параксиальных оптических пучков

Известно, что в случае гармонических волновых полей, распространяющихся в слабонеоднородных средах, уравнение Гельмгольца для компонент поля в параксиальном приближении Леонтовича-Фока [1] сводится к параболическому уравнению типа нестационарного уравнения Шредингера [2]. Если ось z прямоугольной системы координат (xi, ха, z} терять вдаль направления распространения волны, то исходное уравнение параболического приближения записывается в виде:

п%~ п- Ф

2По

_ 1           z

Е = 2n_Q² ф ехр(у / no(z)dz) - одна из компонент поля, п₀ = п(0, 0, z) -показатель преломления среды на оси z, k = 2ir/X = К"¹ - волновое число в пустоте, ф - медленно изменяющаяся на длине волны амплитуда.

С точностью до замены к~1 - ft и z — t уравнение (1) есть квантовомеханическое уравнение Шредингера для частицы единичной массы, движущейся в потенциальном поле V = (и2 - п2)/2п0.

Операторы канонически сопряженных переменных х. - х. и р. - -

1                       Эх.

удовлетворяют обычным соотношениям коммутации:                       1

pv Pj] - 1«1у <1, j - 1,2).

Указанная формальная аналогия [2] параболического уравнения с уравнением Шредингера позволяет использовать методы, разработанные в квантовой механике, при решении задач распространения волн в неоднородных средах.

В работе [з ] показано, что для некоторых классов гамильтонианов, в частности, для любых неоднородных многомерных квадратичных форм от операторов, коммутаторы между которыми являются с-числами, существуют сохраняющиеся во времени (вдоль оси пучка в данном случае) величины, зависящие от начального состояния системы и вида коммутационных соотношений, но совершенно не зависящие от коэффициентов соответствующих квадратичных или линейных форм. Такие величины были названы универсальными инвариантами, по аналогии с универсальными инвариантами Пуанкаре-Картана в классической механике. Чтобы получить аналогичные инварианты в задаче распространения параксиального пучка в световоде, рассмотрим систему четырех операторов:

81 = х, 62 = у, Q3 = (~iX у^-) / б4 = (*iX уу) •

В этом состоит специфика задачи, рассматриваемой в данной работе, и отличие ее от работы [3]: вместо рассмотрения систем с любым числом степеней свободы мы ограничиваемся всего двумя измерениями, но зато получаем явный вид инвариантов.

Если диэлектрическая проницаемость среды п2 квадратично или линейно зависит от поперечных координат х, у (и произвольно от координаты вдоль оси пучка z) , то в представлении Гейзенберга операторы Q^fz) линейно выражаются через Qa(0):

5a(z) = V2^^ + ёа(2)-

Введем центрированный момент второго порядка

°aB * ^ = ^

где символ <...> означает усреднение, то есть переход от операторов к числам.

Вторые моменты подчиняются соотношениям, вытекающим из (2) :

Q Q(z) = Л (z)Q (0)A_(z). а@       ад ди pv

Поскольку преобразование

[2] сохраняет коммутационные соотношения,

то имеет место тождество

A(z)EA(z) = Е,

Е =

Л = I ЛаР

0  010

0      0      01

-10  00

0-100

Отсюда следует, что detA(z) = 1.

Переписав (4) в матричном виде

Q(z) =

Qa0(z)|

= A(z)Q(0)A(z)

и сравнив это равенство с (5), получаем, что для любого параметра

U

справедливо тождество (предполагаем, что матрица Е не вырождена):

О (д) = det EQ (z) - дЕ

N (N) 2m = °2m V m=0

(N)

Величины O2m являются универсальными инвариантами, так как сохраняются по мере распространения пучка вдоль оси z и не зависят от конкретного вида коэффициентов в квадратичной зависимости диэлектрической проницаемости от координат х и у. В разложении (7) присутствуют только четные степени параметра д, поскольку матрица Q симметрична, а Е антисимметрична. N - число поперечных координат, от которых зависит амплитуда (оно может быть равно 1 или 2).

Коэффициенты D2m в двумерном случае при любой квадратичной зависимости диэлектрической проницаемости от координат имеют вид [4] :

D3 = -2(55~) (ур ) - (ур")2 - (xpJ2 + (Р2 ) (У2) + (ф (х5) +   (8)

+ 2(ху)(Рхру),

Do = (ХРХ)2(У^)2 + (^у)2(55х)2 - 2(55) (рхру) (55^) (^) -

• - 2 (5ф_х) (ур^) (5^) (^) + 2(55) (р² ) (^)(^) - (у²)(^)(^)²+ _(д) ⁺ 2(^) (557) (р р ) (у²) + 2 (557) (^) (55) (55-) - (^h^h^pD-

• -    ² (ху ) (р р ) (5р-) (ур~ ) + 2 (х* ) (ур~) (ур- ) (р Р ) - (ЗсП(р7 )(5р7)² ' А у     у     Л               Л     у А у              а     у

• -    (X²) (Ру) (^)² + (х²) (у²) (ф (^) - (р^)²(^)(^=) -

• -    (ху)²(р²)(р=) + (ху)²(р_хр_у)².

Представляет интерес важный частный случай аксиально-симметричной среды, когда п2 зависит только от х2+у2 (волоконный световод). Тогда, если матрица Q(z) в плоскости z=0 была инвариантна относительно преоб- разования одновременного поворота на угол Ф в плоскости (х,у) и в плоскости (рх,ру), то она остается инвариантной относительно этого преобразования по мере распространения пучка вдоль оси z. В этом случае ин-(N)

варианты D2m будут иметь вид (с точностью до постоянного множителя): ^з^’ = (хР^)2 ~ (^)2 + (х2)($,(Ю)

d0‘2) = [(хРх)2 + ^у>2 ‘ <х2)(р=)]2.(11)

В одномерном случае (N=l) (планарный световод) универсальный инвариант имеет вид:

со = ^ (р2) - (хрх) .(12)

В параксиальном приближении не только уравнение Гельмгольца, но и полное волновое уравнение можно представить в виде, аналогичном уравнению Шредингера:

Э_ф _ х² [1 Э²ф Э²ф _ 3²ф 3 z 2п_{о с}² 3 t² Э х² ” 3 у²

+ ^Ф.

Следовательно, при любой (достаточно плавной) зависимости показателя преломления п от продольной координаты z существуют универсальные инварианты, включающие в себя временные моменты типа

(t²) = Г ф* (x,y,t) t^(x,y,t)dxdydt, (р^) =

• 5 2                            А            Э

= -х2 / ф* " - — ф (x,y,t)dxdydt, (pt =iX yy ), то есть ппипнпямшиа пучки, ограниченные не только в пространстве, но и во времени:

D^1) = (р) (^) + (5с2) (р^) - (tpt)2 " (хрх)2 - 2 (xt) (pxpt) +

—  __ (14)

+ 2(xpt)(tpx),

Dq^1> = (x²)(t²)(p²)(p²) + (xt)²(p_xp_t)² + (xp_x)²(tp_t)² +

+ 6v_t)^a(tp_x)² - (pJ) (p^) (xt)² - (^") (t²) (^P_t)² - (x²) (p²) (tF_t)² -

__ _       _ — _            (15)

• - (t²) (p²) (5^)² - (p²) (t²) (^_x)² - (x²) (p²) (tp_x)² +

+ 2(p2)(Xpx)(tpx)(xt) +2(t2)(xpx)(pxpt)(xpt) +

+ 2

~ 2(xt)(pxpt)(tpx)(xpt), d"' = 1

0^<2' - 2(xy)(p p ) - (tp )² - (yp )² - 2(xt)

t) +

ц            x у       ъ        Y            ли

• + (^)(ф ⁺ ^^ > ⁺ ^ ⁽Pt> " ⁽^x⁾² "               ⁽¹⁶⁾

• - 2(yt)(p_yp_t) - 2(xp_y)(yp_x) + 2(xp_t)(tp_x) + 2(yp^)(tp^).

Введем гауссовую матрицу плотности аксиально-симметричного оптического пучка, распространяющегося в аксиально-симметричной среде р = N ехр (-а (х 2 + у2) -а*(х^+у^) + 2Ь (х.,х2 + у.,у2) - fx^a - f*x2y1).

Вычислив дисперсии и подставив их в универсальные инварианты, мы получаем следующие соотношения: (а-+ а*)2^2 = constf (а + а*)2 - 4Ь2               (

4b2 + f2

+ а*)2 - 4Ь

const

4b2 + f2	ь
		= const
(а + а*)2 - f2	а + а*

2 К2	d<2) _ d<2)  _  ------ 1_ const о        2         (а + а* - 2Ь)

Физический смысл этих равенств состоит в том, что сохраняется отношение радиуса корреляции к ширине пучка, а также "момент импульса" .

В заключение обсудим вопрос о сохранении введенных выше инвариантов в случае неквадратичной среды на примере одномерной задачи с эффективным потенциалом V(х) (см. уравнение (1 )) вида

V(x) = ^ х2 +

п>3

п / An X /п

При Ап = 0 имеем инвариант (12) . Если же коэффициенты Ап отличны от нуля, то легко получить уравнение

^ = 2 Ап[<хПХрх + хр> - <х2Хрхп 1 + хп—1 р> ]               (17)

п>3

Из него ясно, что, вообще говоря, величина D зависит от 2, если Ап * 0. Однако если ангармонические члены малы, то есть Ап — 0, то для нахождения зависимости D(z) в правую часть уравнения (17) можно подставить значения входящих в нее высших моментов, вычисленных в нулевом приближении (то есть в предположении Ап = 0). В таком случае функция D(z) будет колебаться около начального значения, причем размах колебаний будет иметь порядок Ап при Ап — 0. Самым замечательным является, однако, то, что для некоторых классов начальных состояний размах колебаний может быть величиной высшего порядка малости по сравнению с Ап-Например, если отличны от нуля лишь коэффициенты А3 и Ац, то такая ситуация имеет место для гауссовых начальных состояний (когда функция взаимной когерентности является экспонентой от квадратичной формы), поскольку в нулевом приближении гауссово состояние остается гауссовым с нулевыми средними первого порядка, если оно было таковым в начальный момент времени. При этом коэффициент при А3 обращается в нуль, так как для гауссова состояния моменты всех нечетных порядков равны нулю, если они нулевые в первом порядке, а коэффициент при Ам равен нулю в силу известных соотношений для гауссовых распределений:

<х“> = 3(<х2>)2, <рх3 + х3р> = 3<х2 Ххр + рх>.

Интересным является также то, что и для негауссовых состояний в случае, когда лишь A3 * 0 (в нулевом приближении), функция D(z)

также

будет

колебаться около начального

значения 0(0):

о

0(0) + ДО

АВ - С2

ЗАЭ

1 [sin Зу z

Y

CM L CL

4у 2

AN 4y²

АР

где А

ВР , к . 2^2 )  + sin

1 - cos 3yz

(1 - cos yz)

2 = 0

P = (PX2)lz=0, L

,ЗСМ Y z (-д—

CP , CN

ЗСР

В

В случае, когда даться рост D(z), а

CL 4_Y2

AN 4y2

ВР 2у2

ЗАР

AL 2Y

BL 4у³

ВМ 4y

3CN    AL ₊ 3BL

4уз   2у 4у 3

z=0' C = (xp)|z=0

(xp2)lz=0

N = (p3)Iz=0

вм

4y

М

z=0

отличен от нуля лишь коэффициент Ам, будет

именно:

D(z) = AB - С2 + -Рч- A.

AnY

ЗАк

cos 4yz 4

АЬ

ЗАт

cos 2yz 2

где п

т

наблю-

sin 4yz ,aCY

СЬ 8у2

Вк

ЗВп

Ск

Сп

аВ

3 Вт

5?=

ЗАт

sin

7 YZ

aCY Cb

2yz ,аСу

(x3P)lz=0

2 = 0

Сп Ск 2 " 2у2

СЬ Вк 2у3 " Ту

аВ

3 Вт 4у2

АЬ

Вк

4у

ВП 4y

Any _ Ak

4   " 4y

Any 2

k = (p3x)lz=0, a

2 = 0

b = (p“) I

2 = 0

Помимо вышеприведенных инвариантов, связанных с моментами второго порядка, можно построить универсальные инварианты более сложного вида, выраженные через моменты четвертого порядка [4].