Упрощенный метод оценки предельных значений дисперсии реакции линейных динамических систем на стационарное случайное воздействие

В целом ряде прикладных задач различных отраслей используется дисперсия реакции линейной динамической системы (ЛДС), описываемой импульсной характеристикой (ИХ)

2 h ( t ), на включение стационарного случайного воздействия (ССВ) с конечной дисперсией а _в и нормированной корреляционной функцией (НКФ) ρ . Искомая дисперсия определяется известным способом [1–3]:

tt aS (t) = аВ j j h(x)h(y)p(y - x)dxdy .                            (1)

Для произвольной ЛДС и произвольной экспоненциально-косинусной НКФ дисперсия (1) приобретает форму табличных интегралов. Однако для ЛДС второго порядка и выше, а также НКФ, имеющие вид сложнее простой экспоненты, табличные интегралы на основе (1) имеют настолько сложный конечный вид, что не позволяют в общем виде исследовать свойства дисперсии и, в частности, быстро оценить ее предельные значения.

Цель исследования – получение упрощенных оценок дисперсий реакции ЛДС на включение ССВ.

Метод исследования

В основе предлагаемого метода лежит способ представления (1) для экспоненциальнокосинусных НКФ с аргументом под знаком модуля [2]:

t

Рt ) = р J h ( y ) F ( y ) dy ,                       (2)

y где                                     F(y) = J h(xp(y — x)dx.                           (3)

Функционал F ( y ) представляет собой свертку функций h ( x ) и p(x ). Такая свертка совпадает по форме с реакцией ЛДС на детерминированный сигнал вида р ( x ) . Данное совпадение позволяет сравнительно просто оценить (3) сверху и затем использовать полученную оценку для оценки дисперсии (2).

В работах [3, 4] описан метод получения оценки предельных значений реакции ЛДС на ограниченное по динамическому диапазону детерминированное воздействие. Форма записи анализируемой реакции несколько отличается от F ( у ) , но данный метод полностью применим и к (3), который также следует рассматривать как площадь, ограниченную произведением функций h ( x ) и р ( y — x ) . Второй сомножитель в F ( у ) следует считать функцией р(x ), взятой с обратным знаком аргумента x и смещенной в точку y , для которой определяется значение (3). Предлагаемое представление упрощает нахождение такого вида НКФ, который максимизирует (3) для данной ИХ. В зависимости от поведения ИХ процедуру определения оценки дисперсии целесообразно рассмотреть отдельно для знакопеременных и знакопостоянных ИХ.

Результаты исследования

Рассмотрим реакцию ЛДС со знакопостоянной ИХ на воздействие ССВ со знакопостоянной НКФ. В этом случае функционал (3) приобретает максимально возможное значение при р ( y — x ) = 1, что значительно упрощает нахождение оценки предельно возможного значения дисперсии (2). Теперь, зная максимизирующий вид НКФ ССВ, дисперсию реакции определим непосредственно по (2) и окончательно получим:

^CT S max ⁽ * > = ° В g Ч * ),

t где g(*) - переходная характеристика ЛДС, g(*) = J h(x)dx.

Для ЛДС со знакопеременной ИХ реакцию следует оценивать по интервалам знакопо-стоянства ИХ. Любая пара нулей x j , x j + 1 знакопеременной ИХ задает границы интервалов ее знакопостоянства. Первый интервал знакопостоянства ограничен слева x , = 0 независимо от значения h ( x ,) .

На основе подхода, изложенного в [3, 4], можно утверждать, что для знакопеременной ИХ предельное значение (3) достигается в случае, если р ( y — x ) принимает значение Р пах ( У — x ) = 1 или р^ ( y — x ) = — 1 в пределах текущих интервалов знакопостоянства ИХ. При этом в точке x = у всегда p _max ( y — x )| _x = у = 1. На рисунке 1 пунктиром показаны максимизирующие НКФ для значений y , соответствующих различным интервалам знакопостоян-ства ИХ.

Рис. 1. Знакопеременная ИХ и максимизирующая НКФ на различных интервалах знакопостоянства

Тогда на произвольном j -ном интервале знакопостоянства ИХ функционал (3) примет значение:

M xj+1

£ J h ( x ) dx + J h ( x)dx , h ( х ) >  0,

F j ( У ) = 1

j=1 xj

M xj+1

—

£ J h ⁽ x ) dx + J h ⁽ x ) dx , h ⁽ х ) <  0,

(j=1 xj          xm+1

где M - число полных интервалов знакопостоянства ИХ на интервале от 0 до x = у .

В конце текущего интервала знакопостоянства ИХ, т.е. при x = X j + 1 , функционал (3) от максимизирующей НКФ достигнет максимально возможного значения по модулю:

M x j + 1

| F j max | = £ J h ( x )| dx .                                     (4)

^j = 1 x j

Таким образом (4), есть оценка сверху функционала (3) по модулю на произвольном j -ном интервале знакопостоянства ИХ, при этом знак Fjmax совпадает со знаком h(x): signFjmax = signh(x), xj < x < xj+j.

Теперь дисперсию (2) определяем по интервалам знакопостоянства ИХ, где вместо

F ( y ) используем соответствующие интервалам оценки F _Vmax . Тогда (2) преобразуется к виду:

су 2     ( t ) = 2.0 2

S max ^{v 7}      В

M

^{£ F} j max j = 1

V

t j + 1                                   t

J h (У )dy + FM+1max J h (У) dy tj                          tM +1

где M – число полных интервалов знакопостоянства ИХ на интервале от 0 до t ; t _j – нули ИХ, границы интервалов знакопостоянства ИХ.

Поскольку знаки оценки (4) функционала (3) и h ( x ) всегда совпадают, то (5) имеет вид монотонно нарастающей функции без локальных максимумов и минимумов. Определение оценки (5) не требует громоздких выкладок, позволяет достаточно просто и инвариантно к НКФ оценить сверху дисперсию реакции для любого ЛДС.

Заключение

Для ЛДС со знакопостоянной ИХ искомая оценка с точностью до постоянного множителя равна квадрату переходной характеристики. Для ЛДС со знакопеременной ИХ искомая оценка содержит взвешенные суммы интегралов от ИХ на интервалах знакопостоянства. Весовые коэффициенты представляют собой сумму интегралов от модулей ИХ по интервалам знакопостоянства. Полученные оценки имеют более простой вид, чем исходное выражение и дают возможность быстро оценить предельные границы диапазона дисперсии выходной реакции ЛДС для ССВ с произвольной НКФ.