Упругая энергия Франка сплюснутой нематической капли с буджумами в биполярных координатах

нн и . В работе представлено аналитическое вычисление упругой энергии Франка — Озеена для сплюснутой капли нематического жидкого кристалла с двумя точечными дефектами (буджумами) на полюсах. Для решения задачи предложена и использована модифицированная система координат, структурно близкая к биполярной, но адаптированная к геометрии капли с двумя выделенными полюсами. Показано, что в предположении тангенциального распределения директора жидкого кристалла энергия деформации в капле сводится к интегралу от квадрата дивергенции, в то время как вклад от ротора директора равен нулю. Путем вычисления интеграла получено точное выражение для упругой энергии, пропорциональное характерному размеру капли и параметру, определяющему ее сплюснутость. Результат демонстрирует эффективность использования криволинейных координат для расчета энергетики топологических дефектов в ограниченных жидкокристаллических системах.

К         с : жидкий кристалл, энергия Франка, биполярные координаты, буд- жум, топологический дефект, нематическая капля.

рн с и

Исследование проведено при поддержке ФГБОУ ВО «Бурятский государственный университет имени Доржи Банзарова», грант № 25-09-01.

Д и ир ни

Чимытов Т. А. Упругая энергия Франка сплюснутой нематической капли с буджума-ми в биполярных координатах // Вестник Бурятского государственного университета. Химия. Физика. 2025. Вып. 4. С. 20–25.

ни

Исследование упругих свойств и топологических дефектов в ограниченных объемах жидких кристаллов вызывает фундаментальный интерес как для теоретической физики конденсированного состояния, так и для прикладных задач [1; 2]. В классической теории упругости нематиков, развитой Франком и Озееном, описывается плотность свободной энергии через градиенты поля директора (r и включает вклады от дивергенции, ротора и их комбинаций [3–5]. В предыдущих исследованиях [6] был проведен детальный анализ свойств симметрии, приводящих к уравнению Франка — Озеена, и сравнение микроскопического и макроскопического подходов к его выводу.

Особый класс задач возникает при рассмотрении нематических жидкокристаллических капель, где граничные условия и геометрия объема приводят к об- разованию стабильных топологических дефектов. В данной работе рассматривается модель сплюснутой капли (линзы) с двумя точечными дефектами, так называемыми буджумами, с зарядами +1, расположенными на полюсах капли. Такая конфигурация моделирует, например, каплю в полимерно-дисперсных жидкокристаллических пленках.

Целью настоящей работы является точное аналитическое вычисление упругой энергии Франка для указанной конфигурации. Для этого используется специальная система координат — биполярная, которая адаптирована к геометрии с двумя выделенными точками (полюсами). Подобный подход позволяет получить замкнутое выражение для энергии и проанализировать ее зависимость от параметров системы.

Рассматривается объем нематического жидкого кристалла в форме сплюснутой капли с буджумами на полюсах. Распределение директора внутри капли, вообще говоря, определяется граничными условиями на ее поверхности. Например, в системе «нематическая капля в полимерной матрице» в зависимости от соотношения упругих констант Франка может реализоваться как тангенциальное, так и нормальное закрепление молекул на границе раздела. В данной работе рассматриваются тангенциальные граничные условия, характерные, в частности, для капель нематика в матрице поливинилацетата [7]. При таких условиях возможны две основные конфигурации директора: биполярная и тороидальная. Выбор между ними зависит от соотношения упругих констант Франка. Наиболее распространенной и энергетически выгодной во многих случаях является биполярная структура, которой мы и ограничимся в дальнейшем. В этой конфигурации на полюсах капли формируются точечные топологические дефекты — буджумы, а поле директора имеет меридиональный характер, ориентируясь от одного буд- жума к другому.

Для расчета упругой энергии капли целесообразно ввести специальную криволинейную систему координат (σ, τ, φ), которая по своей структуре аналогична биполярной [8; 9], но адаптирована к конкретной геометрии рассматриваемой сплюснутой капли. σ — угол в текущей точке (x, y z), образованный двумя буд-жумами, τ — логарифм отношения расстояний от точки до каждого из буджумов. Связь с декартовыми координатами следующая:

a sin a                     a sin ст     .              a sinh т

X =  :-------cos (, V =  --------Sin (, Z =  --------.

coshT-cosa           coshT-cos            coshT-cosa где a — масштабный параметр, определяющий размер системы: в нашем случае это расстояние буджумов до центра капли. Координатные поверхности τ = const соответствуют сферам, а поверхности σ = сonst — сплюснутым торам. В частности, поверхность капли задается условием о = о0, где 006(0, п). При этом буджу- мы располагаются при τ → ±∞, а параметр σ0 определяет степень сплюснутости

капли: при σ 0 → 0 капля вырождается в тонкую нить, при σ 0 → π/2 принимает сферическую форму, а при σ₀ → π становится бесконечно тонкой линзой.

Коэффициенты Ламэ в этой системе примут вид:

ha = hT =

a h coshT-cosо' ф

a sin о coshT — cos о

.#(1)

Выберем поле директора вдоль координатной линии τ, что соответствует его меридиональному направлению от одного полюса к другому в данной геометрии: п = (п_а,п_т,п ^ ) = (0,1,0)

Свободная энергия Франка в одноконстантном приближении K 11 = K 22 = K 33 = K записывается как [3; 4]:

F = -К I [(divп)² + (п • V х п)²]dV#(2)

² Jv

Вычислим оба слагаемых отдельно в биполярных координатах.

Дивергенция. Используя общее выражение для дивергенции в криволинейных координатах, получаем:

divп = , Л (r (hth^) +   (^^п-^ +  (hA^)] #⁽3)

h_ah_Th_Qldo^{v    t} Jt ^T      d.p       ^Tl

Подставляя в это выражение коэффициенты Ламэ из (1), находим:

-2a2 sinosinhT/D3 div п =------5-------77ТЧ-----

2 sinhT

-------,#(4)

а

a3 sin о /D3

где введено обозначение D = coshT — cos о.

Ротор. Аналогично вычисляем компоненты ротора:

(V х п)ст = (V х п)т = 0#(5)

(Чхп)_ф = —#(6) ^v а

Поскольку n=(0, 1, 0), то скалярное произведение директора и ротора, имеющего компоненты (5) и (6):

п • (V х п) = 0.

Таким образом, вклад от второго слагаемого в энергии Франка (2) для выбранной конфигурации директора равен нулю.

Элемент объема и интегрирование. Элемент объема в криволинейных координатах равен:

dV = h_oh_Th_m dodTdq = ——5— dodTd^#(7) ^v             D³

Область интегрирования определяется геометрией капли:

о е [о0,п],т е (-«,»),ф е [0,2п)

Подставляя выражения (4), (7) в (2), получаем:

1    ,-Л ^>  г'.

^F = 2^KJ I I

Jа0 ■'-^ ■'О

2я4sinh2т a3 sin о ---—5— dф dT do#(8) D3

а2

Интегрирование по φ дает множитель 2π. После упрощения энергия (8) принимает вид:

F = 4паК I sino/(o) do#(9) ' сто где

, ₄ f “       sinh²T

;(o) = I --------^ dT#(i0)

J _-ra (coshT — cos o)³

Вычисление интеграла (10) является ключевым шагом. Сделав подстановку u=cosh τ, получим:

_ г “ Си \  ,

I (о) = 2 I т---------T3 du

J _t (u —cosa)³

Данный табличный интеграл может быть вычислен, например, с помощью вычетов или ссылки на известные формулы [10]. В результате получаем:

n

1(0)=^—#(11)

• 2 sin о

Подставляя (11) в (9) и произведя интегрирование, получим окончательный вид для упругой энергии Франка:

F = 2n²aK(n — o₀)

О с ж ни

Полученный результат имеет наглядную геометрическую интерпретацию. Энергия линейно зависит от параметра σ₀, который является мерой "открытости" капли (углового размера области, занятой нематиком). При σ₀ → π (бесконечно тонкая линза) энергия стремится к нулю, что согласуется с исчезновением объема, подверженного деформации. При σ 0 → 0 (вытянутая капля) энергия достигает максимального значения 2πa ³ K, пропорционального характерному размеру системы a.

Важно отметить, что вся энергия деформации обусловлена первым членом в формуле Франка — квадратом дивергенции директора (splay-деформация). Вклад от кручения (twist) в данной конфигурации отсутствует, что является прямым следствием выбора радиального распределения директора = τ . Этот результат согласуется с качественными представлениями о структуре дефектов типа буджум.

Использование криволинейной системы координат оказалось чрезвычайно эффективным, так как позволило точно проинтегрировать энергию по сложной области. Данный метод может быть применен для расчета энергии и других конфигураций дефектов в неевклидовых геометриях.

ни

В работе методом аналитических вычислений в криволинейных координатах получено точное выражение для упругой энергии Франка сплюснутой нематической капли с двумя точечными дефектами на полюсах. Показано, что энергия определяется исключительно дивергенцией директора и линейно зависит от углового параметра, характеризующего геометрию капли. Полученная формула может служить основой для оценки энергетических барьеров и стабильности подобных конфигураций в экспериментальных системах, таких как нематические капли в полимерных матрицах или лиотропные фазы в микропорах.

Ли р р

• 1.    Де Жен П. Физика жидких кристаллов. Москва: Мир, 1977. 400 с. Текст: непосредственный.

• 2.    Kleman M., Lavrentovich O. D. Soft Matter Physics: An Introduction. Springer Science & Business Media, 2003. 659 р.

• 3.    Frank F. C. I. Liquid crystals. On the theory of liquid crystals. Discuss. Faraday Soc. 1958; 25: 19–28.

• 4.    Oseen C. W. The theory of liquid crystals. Trans. Faraday Soc. 1933; 29, 140: 883–889.

• 5.    Nehring J., Saupe A. On the Elastic Theory of Uniaxial Liquid Crystals J. Chem. Phys. 1971; 54, 1: 337–343.

• 6.    Чимытов Т.А. Теоретический анализ уравнения Франка-Озеена для неполярных жидких кристаллов // Вестник Бурятского государственного университета. Химия. Физика. 2024. Вып. 2. С. 13–21. Текст: непосредственный.

• 7.    Чимытов Т.А., Номоев А.В., Калашников С.В. Эффект памяти в полимерножидкокристаллических композитах // Письма в ЖТФ. 2025. Т. 51, № 13. С. 3–6. Текст: непосредственный.

• 8.    Koval'chuk A.V., Kurik M.V., Lavrentovich O.D., Sergan V.V. Structural transformations in nematic droplets located in an external magnetic field. JETP. 1988; 67, N. 5: 1065– 1073.

• 9.    Korn G.A., Korn T.M. Mathematical Handbook for Scientists and Engineers / McGraw-Hill Book Company, Inc. New York; Toronto; London, 1961.

• 10.    Moon P., Spencer D.E. Field Theory Handbook / Springer-Verlag. Berlin, 1971.