Уравнения состояния графовой модели трехмерных упругих тел в декартовой системе координат

Рассматривается численный метод расчета полей деформаций и напряжений трехмерных упругих тел, дискретной моделью которых служит ориентированный граф как идеализация гипотетических приборов, необходимых для измерения деформированного состояния тела. В соответствии с предлагаемым методом упругая среда разделяется на отдельные элементы плоскостями, параллельными координатным. Для каждого элемента, полученного при декомпозиции, строим элементарную ячейку (подграф), являющуюся его моделью. Она представляет собой комплект измерителей, установленных на элемент для определения его деформированного состояния. Уравнение элементарной ячейки получаем, пользуясь инвариантом, сохраняющимся при преобразовании элемента в ячейку. В качестве инварианта используем энергию деформации. Граф тела конструируем с помощью операции объединения элементарных ячеек. Он отражает характер декомпозиции и является дискретной моделью анализируемого сплошного тела. Структурные свойства графа задаются рядом специальных матриц, наиболее важными из которых являются матрицы инцидентности, контуров, хорд, путей. Уравнения состояния исходного тела получаем с помощью преобразования обобщенных координат элементов тела, полученного в результате декомпозиции, к системе координат, описывающих тело в целом. Преобразования осуществляются несингулярными взаимно обратными матрицами. Специфическая особенность графов, используемых в качестве дискретных моделей сплошного тела, заключается в том, что они позволяют конструировать несингулярные матрицы и исключить их обращение. Квадратные взаимно обратные матрицы преобразования созданы путем сочленения прямоугольных матриц, представляющих собой разнообразные элементы графа. Вывод определяющей системы уравнений основан на использовании вершинного и контурного законов Кирхгофа для графов, а также свойств построенных квадратных матриц преобразования. Возможности графового метода проиллюстрированы решением тестового примера.