Условие Липшица для наиболее удаленной точки в гильбертовом пространстве

1.    Введение и основные обозначения

Работа продолжает и развивает результаты работ [1,2]. Через Н обозначим гильбертово пространство над вещественным полем скаляров. Скалярное произведение векторов р,х ЕН обозначим через (р, х). Опре делим В_г (а) = {х ЕН \ ||х — а|| 6 г}. Для множества А С Н через д А, int А, cl А будем обозначать соответственно границу, внутренность и замыкание множества А. Опорной функцией множества А называется функция

s(p, А) = sup(p, а), р Е Н.

аеА

Пусть задано множество А С Н. Тогда функцию расстояния от тонки х ЕН до множества А определим по формуле qa^) = inf ||х — а|.

аеА

Для множеств А, В С Н расстоянием в метрике Хаусдорфа называется число

Һ(А,В ) =

= inf {г > 0 | А С В + В_Т (0), В С А + В_т (0)} =

= max < sup q b (а), sup qa (b) >. аеА        ьев

Определим окрестность множества А С Н радиуса 8 >  0 по формуле

Ua ( 5 ) = {х Е Н | QА(х) < 8}.

Обозначим функцию антирасстояния от точки х Е Н до множества А [1,2] через

/ а (х) = sup ||х — а|.

аеА

Антиокрестность множества А радиуса г > 0 [1,2] определим по формуле

Та ( т ) = {х Е Н | / а (х) > г}.

Будем говорить, что точка а(х) Е А наиболее удаленная точка множества А С Н от тонки х Е Н. если

||х — а(х)| = / а (х).

Множество А С % называется сильно выпуклым с радиусом R > 0, если оно представимо в виде пересечения замкнутых шаров с радиусом R.

В работе [1] были доказаны следующие предложения.

Предложение 1.1. Пусть А С R — сильно выпуклое множество с радиусом R, г > R. Тогда для любых двух точек жо,ж_х € Тд(г) выполнено неравенство

||а(жо) - а(жх)| 6 _г - r ||жо - жх|.

Предложение 1.2. Пусть А С R — выпуклое замкнутое ограниченное множество, г > 0. Пусть для каждой точки ж € Тд(г) существует единственная наиболее удаленная точка а(ж) € А и оператор антипроекции Тд(г) Э ж ^ а(ж) € А удовлетворяет условию Липшица с константой С > 0. Тогда множество А является сильно выпуклым с радиусом г.

2.    Сильная выпуклость множества с единственной антипроекцией в гильбертовом пространстве

Оказывается, что в условиях предложения 1.2 можно утверждать, что множество А является сильно выпуклым с радиусом R = (+• Это уточняет предложение 1.2 и вместе с предложением 1.1 дает неулучшаемый результат для связи константы сильной выпуклости множества А и константы Липшица для оператора метрической антипроекции.

Лемма 2.1. ( [1, лемма 1]). Пусть А С % — сильно выпуклое множество с радиусом R, pi € R, ірі || > 1, и а-і = argmax(pj, а), г = 0,1. Тогда сіЕД

|ao - ах |² 6 R(po - рх,ао - ах).

Теорема 2.1. Пусть выполнены условия предложения 1.2. Тогда множество А есть сильно выпуклое множество с радиусом (+1.

Доказательство. В силу предложения 1.2 множество А сильно выпуклое с радиусом г. Обозначим через R минимальный радиус сильной выпуклости для множества А. Легко видеть (см. [3, следствие 3.1.4, теорема 4.3.2]), что такой радиус существует.

Покажем, что любой единичный вектор p € дВх(0) С % можно представить в виде

а(ж) - ж

Р = ------ г для некоторой точки ж € дТд(г) = {г € % | Уд (г) = г}.

Зафиксируем p € дВх(0). Пусть точка а € д А таков а, что (p, а) = s(p, А). Так как множество А сильно выпукло с радиусом г, то в силу опорного принципа для сильно выпуклых множеств в гильбертовом пространстве [3, теоремы 4.1.3, 4.2.7]

А С В_т(а - гр).

Отсюда ж = а - гр. а(ж) = а.

С помощью предельного перехода легко видеть, что для любых точек жо, жх € cl Тд(г)

||а(жо) - а(жх)| 6 С |жо - жх|.

Зафиксируем жо,ж_х € дТд(г) Определим а_і = а(ж_і) и pi = ^Xi - ^ai € дВ_х(0), г = 0,1.

Имеем

Цац - ах | 6 Сг

ап - аі

Ро - Рх +------ г

По лемме 2.1 (ро - р_х,ао - а_х) 6 - -р |ао - а_х|². откуда

|ао - ах|2 6 С2г2|ро -рх|2 + С2|ао - ах|2 - 2^|ао - ах|2, т.е.

11^0 — «1 \ 6  /         — • ІІРо — Р1\

1 + ^ С ² - С²

В силу произвольности точек жо, жі € дТд(т) и свойства (2) для любых единичных векторов Ро,р1 € В, удовлетворятощих условию (— Рг,сц) = s(-pi,A), г = 0,1, справедлива формула (3). Последнее в силу [3, теорема 4.3.2] эквивалентно сильной выпуклости множества A с радиусом

Ст

1 + 2^0 ² — С ²

В силу минимальности радиуса R получаем, что

R 6

Ст

^1 + 2^ С ² — С ²

Определим R1 = ^-р R2 = р+р.

Пусть С € (0,1). Решая неравенство (4). получаем R € [R1,R₂]. Поэтому R 6 R2.

Если С = 1. то R 6 2 = (щр

При условии С >  1 получаем, что решение неравенства, (4) есть (—то, R₂] U [Ri, +то).

Однако при С >  1 выполнено условие Ri > т, в то время как R 6 т по предложению 1.2.

Значит, и в этом случае R 6 R2-                                                     □

Заметим, что пример множества A = Вд(0) С В показывает, что результаты предложения 1.1 и теоремы 2.1 точны.

3.    Метрическая антипроекция и д-антипроекция

Лемма 3.1. Пусть A, В С В — выпуклые замкнутые ограниченные подмножества, ж,у € В. Тогда

• 1)    |/.(ж) — /в(ж)| 6 h(A,В ).

• 2)    | / а ( ^ж ) ^— /Ду) ⁶ ||ж ^— у\\.

Доказательство. Обозначим h = h(A, В ).

Пункт 1) эквивалентен условию |/.(0) — /в (0)| 6 h(A — ж, В — ж) = h, т.е. можно без ограничения общности считать, что ж = 0.

Фиксируем е >  0. Пусть Ь_е € В такая точка. что |6_£| + е > /в (0). Пэтть а_е € A удовлетворяет условию Ца_е — Ь_е\ 6 h + е. Тогда

/в (0) <

• < НМ ^{+ е 6}

• ⁶    \°е\ ⁺ \°е ^— Ml ^{+ е 6}

• ^{6    /}.^{(0) + h + 2е}

  Аналогично

  
  

  /.(0) 6/в(0) + h + 2е,

т.е. |/.(0) — /в (0)| 6 h + 2е для всякого е > 0. Переходя к пределу е ^ +0. получаем пункт 1).

Пункт 2) следует из условия Липшица с константой 1 для нормы || • ||.              □

Лемма 3.2. Пусти A, В С В — выпуклые замкнутые ограниченные мномсе-ства, причем множество В — сильно выпуклое с радиусом R, h = h(A, В). Пусти R <  min {/.(ж), /в (ж)} , где ж € В. Пусть суиі.ествует наиболсс удаленная точка а(ж) € A.

Тогда

|а(ж) — Ь(ж) | 6 2

1 L ^{/ в ( ж)} _Р VRh+b2 + h. у /в (ж) — R

Доказательство. Обозначим a = a(х), b = Ь ( х). Точка Ь ( х ) существует в силу предложения 1.2. Производя параллельный перенос на вектор —х, можем без ограничения общности считать, что х = 0.

Согласно лемме 3.1 возможны 2 случая. Случай 1) R < /в(0) 6 /1(0) 6 /в(0) + Һ и случай 2) R <  /1(0) 6 /в (0) 6 /1(0) + Һ.

Случай 1). Определим z = b — R Д. В силу опорного принципа [3, теоремы 4.1.3, 4.2.7] В С Вд(г) и из условия теоремы имеем для всякого t >  Һ включение А С Вд₊Дг). Рассмотрим треугольник a0b и отрезок [a, z], a Е Вв+ь(г)\В^_в (g)(0). При этом выполнено неравенство d = |a — z| 6 R + t.

Пусть ? = Za0b. Тогда cos ? =

>

/А(0) +(/в(0) — R)² — d² >  2 /a (0)(/в(0) — R)    "

/1 (0) +(/в (0) — R)² — (R +1)² 2/ a (0) (/в(0) — R)

|a — bl² =

/1 (0) + /в(0) — 2/1(0)/в(0) cos ? 6

/в (0)

/в (0) — R

(2Rt +t²⁾ .

Переходя к пределу no t ^ Һ + 0, получаем

|a — bl 6

/в (0)

/в (0) — R

V 2Rh + Һ².

Случай 2). Множество С = А + В^(0) удовлетворяет условиям /с (0) = /1(0) + Һ, с = с(0) = a + Һ Д. При этом R < /_в (0) 6 /с (0) 6 /в (0) + Һ. Таким образом, для множеств В II С реализуется случай 1) с соответствутощими изменениями (Һ(В, С) 6 2Һ). Отсюда.

|с — bl =

= Г ^{+ Һ} w ^— д ⁶

6 Утвгвй V2R(2Һ) + (2Һ)2;

Ila — b| 6 2

г

г

— R

V RҺ + Һ² + Һ +

у-^в^{|х —} У¹

Доказательство. Положим с = Ь(х) (существует по предложению 1.2):

|a — b| 6 |a — с| + |b — с|.

По лемме 3.2

|a — с| 6

6 2 А/ , ^/в_х ^{( х ) V} VRҺ+Һ² + һ 6 у /в (х) — R

По предложению 1.1

II» - с» 6 -^ »х - у^. г — R

Отсюда получаем утверждение теоремы.                                         □

Теорема 3.1 уточняет лемму 16 [2] для случая гильбертова пространства.

Лемма 3.3. Пусть В1,В₂ СН- выпуклые замкнутые ограниченные подмножества с непустой внутренностью, С_г = Н\іпІВ^, г = 1, 2. Тогда

Һ(С1,С2) 6 ДВ1,В2).

Доказательство. Зафиксируем точку г В С1, г / С₂. Это означает, что г / intB1, г В int В2. Пусть р — расстояние от точки г до множества С₂. По теореме об отделимости найдется единичный вектор р Е Н такой, что (р, г — Ь) >  0 для всех Ь В В^. Из включения В_е(г) В В₂ следует, что г + рр Е В₂. Поэтому

Һ(Ві,В2) >  рв1 (г + рр) =

>

inf Аг + рр — Ь» > ьеві inf (р, г + рр — Ь) > р.

ЬЕВ1

Итак, sup рс₂ (г) 6 Һ(Ві,В2). Аналогично выполнено неравенство sup ра (г) 6 Һ(Ві,В2).

ZEC1                                                                     ZGC2

Следовательно. Һ(С1 , С₂) 6 Һ(В1,В₂).                                                     □

Пусть е > 0. Обозначим

о(е,ж) = A\mtBJ_A(_ж)-_E(x')

и назовем множество а(е, х) Е-антипроекцией точки х на множество А.

Теорема 3.2. Пусть А1,А₂ С Н — сильно выпуклые множества с радиусом П_г >  0, хі,х2 В Н, Гг = jA (хг) > Пг, Ег Е (0, гг — П^, г = 1, 2. Тогда

Һ(а₁(Е₁,х₁),а₂(Е₂,х₂)) 6 16max

{ Ri,}

Е1  Е2

×

X (2»Х1 — Х2» + 2Һ(А1, А₂) + |Е1 — Е2|).

Доказательство. Рассмотрим множества Сг = Н\іп1В_Гі-Сі(хг), г = 1,2. Это слабо выпуклые множества в гильбертовом пространстве [4] с константой слабой выпуклости Гг — Ег > Пг. г = 1, 2. Далее по тексту г равно 1 пли 2.

Обозначим а_г = а_г(х_г). При этом В_Еі (а_г) С С_г и а_г(Е_г,х_г) = А_г О С_г.

По теореме 3.2.1 [4] имеем

Һ (А1 ОС2,А2 ПС2) 6 16max ( f¹, f² } (Һ(А і ,А 2 ) + Һ(С1,С2)).           (10)

с 1 с 2

Используя леммы 3.3 и 3.1, получаем

Һ(С1,С2) 6

6 Һ (В_Т1-С1 (хі),В_Г2-£2 (х2)) 6

6 |Г1 — Е1 — Г2 + Е2| + »хі —х2» 6

6 |гі — Г2| + |Е1 — Е2| + »хі —х2» =

= |/Л1 ^(х1) ^— Ja 2 ^(х2)| ⁺ |^Е1 ^{— Е}2| ⁺ »^х1 ^{— х}2 » ⁶

6 »хі — х2» + Һ(А1, А2) +

^{+ | е} 1 ^{— Е}2| ⁺ »^х1 ^{— х}2 » =

= 2»хі — х2» + Һ(А1, А2) + |Е1 — Е2|.

Подставляя результат в формулу (10), получаем (9).                                  □

4.    Наиболее удаленные точки многогранника

Рассмотрим выпуклое компактное множество А в вещественном n-мерном евклидовом пространстве Rⁿ. Для приложений важен следующй вопрос: какие точки множества А являются наиболее удаленными точками, для каких точек пространства и какое антирасстояние на этих точках реализуется?

Лемма 4.1. Пусть А С R'' выпуклый комп акт и для точки х Е дТд(г) существует единственная наиболее удаленная точка а(х) Е А. Это эквивалентно тому, что для всякой точки z Е А\{а(х)} выполнено неравенство

||а(х) — z^ (р, а(х) — z),                                (11)

где р = й(Г^ е дВД0).

Доказательство. По условию г = ||х — а(х)|. Условие ||х — а(х) | = /д(х) > ||х — z||, Vz Е А\{а(х)} эквивалентно условию

|| а(х) — гр — z| < г, Vz Е А.

Возводя последнее неравенство в квадрат, получаем (11).                             □

Напомним, что нормальным конусом ко множеству А С R” в точке а Е cl А называется множество N (А, а) = {р Е R” | (р, а — z) > 0, Vz Е А}.

Полярой множества А СП называется множество А° = {р Е П | в(р, А) 6 1}. Конической оболочкой выпуклого множества А СП называется пересечение всех выпуклых конусов с вершиной в нуле, содержащих А.

Теорема 4.1. Пусть А С R" выпуклый компакт, 3 Е (0,1), р Е д Вт(0) и выполнено включение Вр (р) С N (А, а). Тогда точка а является единственной антипроекуией для

,       /а (а)

где г >  ^J 23 ■

точек а — гр.

Замечание 4.1. Одним из наиболее важных классов выпуклых компактов в R” явля ется класс выпуклых многогранников. Легко видеть, что наиболее удаленной точкой мно гогранника может выступать только его вершина. Каждая вершина многогранника может выступать в качестве точки а в теореме 4.1 с соответствующим нормальным вектором р Е int N (А, а) и значением 3- Поэтому предыдущая теорема позволяет оценить функцию антирасстояния до вершины многогранника.

Доказательство. Рассмотрим поляру Т = (cone (Вр (р)))°.

Поскольку cone (Вр (р)) С N (А, а), то Т D N °(А, а) = cl соне (А — а) [3. лемма 1.12.7.

предложение 1.4.6]. Таким образом, А — а С Т.

Пусть р — угол меледу прямой {Ар | А Е R} и образующе!1 конуса cone (Вр(р)). sinp = 3- Конус Т определяется по формуле

Т = {z Е Rn | (q, z) 6 0,  Vq Е со пе (Вр (р))}, поэтому Т является конусом вращения (как поляра к конусу вращения), его осью симметрии является прямая {Ар | А Е R}, а угол между осью симметрии и образующей есть

I ^{— р}-

Выберем точку z Е А С Т + а. Угол между р и а — z не больше. чем ^ — р. поэтому, с учетом леммы 4.1, получаем, что условие

11а — Д|2

2г

< (р, а — z)

вытекает из условия

^|а —^ < ^{|а — z| cos} (I ^— р) ,

т.е.

ІД—ДІ

2г

< sin р = 3.

Последнее условие следует из неравенства

^ <д

2г

Таким образом, для всякого г >  ^ 2^{— точка} о есть единственная наиболее удаленная точка множества А от точки о — гр.                                               □

Отметим, что простейшие примеры показывают, что оценка теоремы 4.1 для числа г в общем случае неулучшаема.

Работа поддержана грантом РФФИ 10-01-00139-а. Автор признателен Г. Е. Иванову за многочисленные полезные замечания.