Устойчивость линейного разностного уравнения и оценки его фундаментального решения

Пермский государственный технический университет

УСТОЙЧИВОСТЬ ЛИНЕЙНОГО РАЗНОСТНОГО УРАВНЕНИЯ И ОЦЕНКИ ЕГО ФУНДАМЕНТАЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

При наличии естественного ограничения на параметры линейного неавтономного уравнения с несколькими запаздываниями установлена связь устойчивости этого уравнения по правой части и по начальной функции с оценками его фундаментального решения.

Пусть

₀ = {0} U , ₊ = {t е : t >  0}, A N = {( n , m ) е 2 : n >  m }, A _R = {( t , s ) e . : t >  5 }.

Через lp, 1 < p < to , обозначим пространство функций f: 0 ^ , удовлетворяющих z\ 1/

TO                                                         TO условию ^ | f (n)|p

ограниченных функций f : ₀^ с нормой || f ||„= sup | f_n |. Аналогично, через L_p, ne ₀

1 < p< to , обозначим пространство функций g: . ^ , суммируемых со степенью p,

( TO с нормой || g ||p = J | g(t)|

V 0

\1/p

| p

; через L_TO - пространство ограниченных функций

g : . ^ с нормой || g L = sup | g(t)|. tе +

Объект исследования и постановка задачи

Рассмотрим разностное уравнение

N

x(n +1) - x(n) + ^ ak (n)x(n — hk (n)) = f (n), n > m ,              (1)

k=0

где n, m e ₀, ak, f : ₀^ R; hk : ₀^ ₀. Функцию x считаем доопределенной при значениях аргумента, меньших m , некоторой вещественной начальной функцией.

Решением уравнения (1) будем называть функцию x_m = x_m (n) целочисленного аргумента n > m, удовлетворяющую равенству (1). Очевидно, что уравнение (1) с заданными начальной функцией и начальным условием x_m (m) = ^_m (m) однозначно разрешимо.

Если при каждом m е ₀ задать начальную функцию ^_m, то таким образом будет определено однопараметрическое семейство {x_m } решений уравнения (1).

Положим в уравнении (1) f (n) = 0 и зададим для каждого значения m начальные функции следующим образом: ^_m (i) = 0, i< m ; ^_m (m) = 1. Семейство решений

уравнения (1) с такими начальными условиями можно рассматривать и как функцию двух переменных n и m , заданную в области ∆_N . Обозначим ее X(n, m) и назовем фундаментальным решением уравнения (1).

С помощью фундаментального решения любое решение уравнения (1) можно представить в виде [1]

n-1           (       N                   A xm (n) = X (n, m^m (m) + E X(n, i + 1) f (i) - E ak (i^m (i - hk (i)) i=m            \       k=0                    /

где ξ^*_m(j)=ξ_m(j) при j<m и ξ^*_m(j)=0 при j≥m.

При изучении уравнения (1) на неограниченном множестве важную роль играют понятия устойчивости решений. Эти понятия в большинстве работ, посвященных разностным уравнениям, вводятся по образцам аналогичных определений для обыкновенных дифференциальных уравнений (см. определения 2–6 данной статьи).

С другой стороны, формула (2) выявляет особую роль фундаментального решения, которое удобно сделать основным объектом изучения: оно не зависит ни от начальных условий, ни от правой части, но при этом определяет свойства любого решения. Поэтому и для понятий устойчивости желательно найти переформулировки в терминах свойств фундаментального решения.

Решению этих вопросов и посвящена данная работа.

N

Обозначим a (n) = E | ak (n) |, h (n) = max hk (n) и определим следующее важное k=0 k                0≤k≤N k свойство исследуемого уравнения.

Определение 1. Будем говорить, что для уравнения (1) выполнено V-условие, если n sup E a (i) < ” .

^neо i=n - h (n)

Заметим, что аналоги этого определения в разных вариантах возникали и раньше. Для обыкновенных дифференциальных уравнений – условие интегральной ограниченности коэффициента [2], для функционально-дифференциальных уравнений – так называемое « δ -условие» и ограниченность вариации [3]. В работе [4], посвященной устойчивости разностных уравнений, предполагается ограниченность коэффициентов и запаздываний. Очевидно, что V-условие является менее ограничительным, так как включает, например, классы уравнений с неограниченным запаздыванием.

n                                                       µ(m)

Пусть V = sup E a (i), Ц(m) = sup i. Заметим, что E a(i) - V Для всех ne о i=n-h(n)                    i-h(i)-m                             i=m m e 0, а sup h(n) = sup( p(m) - m).

пе о        me о

Лемма 1. Пусть выполнено

1) lim X(n, m) = 0 при любом m∈ n→∞

V-условие и одно из следующих двух условий: 0; 2) sup | X(n, m) |= ∞. Тогда µ(m) < ∞ для (n,m)∈∆N любого m e 0.

Доказательство. Допустим, что лемма неверна, тогда существует m* е ₀, такое, что ц(m*) = sup i = го. Отсюда с учетом /-условия имеем i^—hk⁽i )< m* го           ц( m*)                   n

£ a (i) = £ a (i) < sup £ a (i) < го, i=m*          i=m*            n i=n—h ( n)

го то есть ряд ^ a(n) сходится. По теореме 4 из работы [5] сходимость этого ряда n=0

обеспечивает следующее свойство фундаментального решения: для любого е > 0 существует l > 0 такое, что при всех m и n, удовлетворяющих неравенству n > m > l, справедлива оценка | X(n, m) —1|<е . Эта оценка не совместима ни с условием 1), ни с условием 2). ▲

Лемма 2. Пусть выполнено 1-условие и найдутся такие M, у>0, что при всех (n, m) е AN фундаментальное решение уравнения (1) будет подчинено оценке

| X(n, m) |< M exp(—y(n — m)).

Тогда функции a и h ограничены на множестве₀

Доказательство. Ограниченность функции a следует из 1-условия. Докажем ограниченность функции h .

ln2M_

Выберем l е   такое, что l >-----. В силу неравенства (3) при любом m е ₀

Y имеем | X(m +1, m) |< 2, следовательно, | X(m, m) — X(m +1, m) |> 2.

С другой стороны, из определения фундаментального решения имеем m+1 Nm

| X(m, m) — X(m +1, m) |< ^ ^ | ak (i) || X(i — hk (i), m) | < M ^ a(i), i=m k=1

m+1         1                                 m+[2 MlV ]+1

следовательно,   ^ a(i) >---. Таким образом,      ^   a(i) > V,   а значит, i=m      2M sup h(n) = sup( ц(m) — m) < го . ▲ ne о m

Устойчивость по начальной функции

В этом разделе мы приведем некоторые известные определения устойчивости уравнения (1) по начальной функции и докажем теоремы о связи устойчивости по начальной функции с оценками фундаментального решения. Во всех этих теоремах 1-условие оказывается существенным.

В силу линейности уравнения (1) во всех определениях этого раздела, не нарушая общности, можно считать, что f (n) = 0 . При f (n) = 0 из представления (2) имеем

ц( m)

I xm (n) 1^1 X(n, m)H ^m (m)l + Z । X(n, i + 1)Е । ak (i) II ^m (i - hk (i)) l-i=mk

(               ц( m)

- supl ^ m (i)l I X (n, m )l + Z a (i)l X (n, i + 1)l , i-m         v              i=mу следовательно,

(^

l xm (n )l- Sup1 ^m (i)l l X(n, m)l +V sUP l X(n, i + 1)l i - m          v                 m - i -Ц( m)

Определение 2. Уравнение (1) называется устойчивым по Ляпунову, если при каждом фиксированном m e 0 для любого £ > 0 существует 8_m > 0 такое, что из неравенства sup l £_m (i) l- 8_m следует неравенство sup l x_m (n) l- £.

i - m n > m

Теорема 1. Пусть выполнено V-условие. Тогда уравнение (1) устойчиво по

Ляпунову, если и только если sup l X(n, m) l< ^ при всех m e 0.

n>m

Доказательство. Необходимость очевидна, докажем достаточность.

Итак, при каждом фиксированном m e 0 имеем supl X (n, m )l= M_m<^.

n>m

Рассмотрим две возможности.

Пусть sup l X(n, m)l=~. В этом случае в силу леммы 1 имеем ц(m) <^ для (n, m )eA N всех m e 0. Возьмем 8 =-------------------. С учетом оценки (4) при sup l ^ (i) l- 8

0              Mm + V max Mi+1                          i - m m m - i -ц( m)

получаем supl xm (n )l- supl ^ m (i )l И X (n, m )l +V max l X (n, i +1) l I-81 Mm + V max Mi+1 I = £.

_n > _m            i - _m         V                m - i-ц( m)              у V         m - i-ц( m)      у

£

Пусть теперь sup l X(n, m) l= M< ^. Возьмем 8 =-------- и потребуем, чтобы

(n, m )eA _N                                    ^{M (1 + V})

sup l ^_m (i) l- 8. Из (4) получаем i-m

^Sup^|xm (ⁿ) ^{l- SU}p^| ^m⁽i^)l n > m           i - m

l X (n, m )l +V sup v                 m - i-ц( m)

^

lX(n,i + 1)l -8M[1 + V] = £.▲

У

Определение 3. Уравнение (1) называется равномерно устойчивым, если для любого £ > 0 существует 8 > 0, такое, что для любого m e 0 из неравенства sup l ^_m (i) l- 8 следует неравенство sup l x_m (n) l- £. i - m                                      n > m

Теорема 2. Пусть выполнено V-условие. Тогда уравнение (1) равномерно устойчиво, если и только если его фундаментальное решение подчинено оценке sup | X(n, m) |< ∞.                                 (5)

(n,m)∈∆_N

Доказательство. Необходимость очевидна, а достаточность сразу вытекает из того, что в силу оценки (4) имеем sup | x_m(n) |≤ sup | ξ_m(i) | (V +1) sup | X(n, m) | .▲ n≥m            i≤m                 (n,m)∈∆_N

Определение 4. Уравнение (1) называется асимптотически устойчивым, если при каждом фиксированном m е 0 выполнено условие lim x_m (n) = 0. n→∞

Теорема 3. Пусть выполнено V-условие. Тогда уравнение (1) асимптотически устойчиво, если и только если lim X(n, m) = 0 при всех m е 0. n→∞

Доказательство. Необходимость очевидна, докажем достаточность.

Если при каждом фиксированном m имеем lim X(n, m) = 0 , то в силу леммы 1 n→∞

µ(m) < ∞ . Отсюда с учетом оценки (4) получаем lim |xm(n)|= sup| ^m(i)| limI | X(n,m)| +V max |X(n,i +1)| I = 0.^

n ^”          i< _m        n ^~ ^              m< i<ц( m)            у

Определение 5. Уравнение (1) называется равномерно асимптотически устойчивым, если для любого £ > 0 существует l е , такое, что для любых (n, m) ∈ ∆_N из неравенства n-m ≥ l следует неравенство | x_m(n) |≤ ε .

Теорема 4. Пусть выполнено V-условие. Тогда уравнение (1) равномерно асимптотически устойчиво если и только если для любого ε > 0 существует l > 0, такое, что при любых (n, m) ∈ ∆_N из неравенства n-m ≥ l следует неравенство | X(n, m) |< ε.

Определение 6. Уравнение (1) называется равномерно экспоненциально устойчивым, если найдутся M,γ > 0 , такие, что при любых (n, m) ∈ ∆_N выполнено неравенство

|x_m(n)|≤Msup|ξ_m(i)|exp(-γ(n-m)).

i≤m

Теорема 5. Пусть выполнено V-условие. Тогда уравнение (1) равномерно экспоненциально устойчиво, если и только если существуют такие M, γ > 0, что для фундаментального решения уравнения (1) выполнена оценка (3).

Доказательство. Необходимость очевидна, докажем достаточность.

В силу леммы 2 sup h(n) = sup(µ(m) -m) < ∞ . С учетом оценки (4) получаем n∈

m

I xm⁽ⁿ) |< sup I ^m⁽i) I VMI ^exp( Y(n - m)) + max exp(-y(n^-i^-1)) I < i< m              V                    ^m< i<Ц^{( m})                    /

< sup | £_m (i) | M (exp(-y(n - m)) + V max exp(-y(n - i -1))) < i< _m             \                      m< i< m+L                    /

< sup | £m (i) | M (V +1) exp(L +1) exp(-y(n - m)). ▲ i

Вспомогательное функционально-дифференциальное уравнение

На основе функций ak, rk и f введем функции непрерывного аргумента ₊ ^ по правилам:

qk(t) = ak([t]), Гк(t) = hk([t]) +1-[t], te +, и поставим в соответствие уравнению (1) функционально-дифференциальное уравнение

N

у⁽t)⁺Z qk⁽t)y⁽t^-rk⁽t))=g⁽t)’ t^е+,                       ⁽⁶⁾

к=0

где g: + ^   - любая локально суммируемая функция. При отрицательных значениях аргумента доопределим функцию у любой локально суммируемой функцией.

В силу определения функций qk и r_k уравнение (6) с заданными начальными условиями однозначно разрешимо [6] и его решение представимо в виде

у(t) = Y(t,0)y(0) + Jy(t, 5)g(5)ds , 0

где Y(t, s) - функция Коши [6] уравнения (6).

Следующая лемма устанавливает соответствие между фундаментальным решением уравнения (1) и функцией Коши уравнения (6).

Лемма 3. Для любых (n, m) е AN, ae [0,1] и 3е (0,1] справедливы равенства:

Y (n + a,0) = aX (n +1,0) + (1 -a) X (n ,0),

Y (n + a, m + P) = aX (n +1, m +1) + (1 -a) X (n, m +1).

Доказательство. Вначале докажем индукцией по n , что для любых (n, m) е AN и в е (0,1] справедливо равенство

Y (n, m + 3) = Y (n, m +1) = X (n, m +1).

При n = m +1 имеем

Y(m +1, m + p) = Y(m + p, m+p) - J ]Tq_k (s)Y(s - r_k (s), m+p)ds = m+3 k=⁰

= Y(m +1,m +1) - J Nak([5])Y(5 -hk([5]) -5 + [5],m + p)ds = m+в k=0

m+1 n

= Y(m +1, m +1) - J ^ a_k (m)Y(m - h_k (m), m + в)d5 = Y(m +1, m +1) = X(m +1, m +1).

m+в ^k=⁰

Допустим, что Y(i, m + в) = Y(i, m +1) = X(i, m +1) для всех m +1 < i< n. Тогда

Y(n +1,m + p) = Y(n,m + p)- J ^^qk(5)Y(5-rk(5),m + p)d5 = n k=0

n+1 n

= Y(n, m +1) - J £ ak ([5])Y(5 - hk ([5]) - 5 + [5], m + p)d5 = n k=0

n+1 n

= Y(n, m +1) - J ^ ak (n)Y(n - hk (n), m + в)d5 = n k=0

N                           n+1

= Y(n, m +1) - ^ a_k (n)Y(n - h_k (n), m +1) J d5.

k=0                             n

Теперь, с одной стороны, имеем n+1 n

Y(n +1, m + в) = Y(n, m +1) - J ^ q_k (5)Y(5 - r_k (5), m +1)d5 = Y(n +1, m +1);

n k=0

с другой стороны, учитывая представление (2), получаем

N

Y(n +1, m + в) = X(n, m +1) - ^ a_k (n)X(n - h_k (n), m +1) = X(n +1, m +1).

k=0

Равенство (9) доказано. Далее, n+a n

Y(n + a, m + в) = Y(n, m + в) - J ^ q_k (5)Y(5 - r_k (5), m + в)d5 = n ^k=⁰ n+a n

= Y(n, m + в) - J ^ ak (n)Y(n - hk (n), m + в)d5 = n k=0 n+1 n

= Y(n,m + в)-a J ^ak(n)Y(n-hk(n),m + в)d5 = n k=0

n+1 n

= Y(n,m + в)-a J ^qk(5)Y(5-hk(5),m + в)d5 = n k=0

= Y (n, m + в) + a(Y (n +1, m + в) - Y (n, m + в)).

Отсюда при m = 0 и в = 0 получаем первое из равенств (8). При m > 0 и 0 < в < 1, используя (9), получаем второе из равенств (8). ▲

Приведем несколько простых следствий леммы 3.

Следствие 1. Фундаментальное решение уравнения (1) подчинено оценке (5) тогда и только тогда, когда функция Коши уравнения (6) подчинена оценке sup | Y(t, s) |< ∞ . (10) (t,s)∈∆R

Следствие 2. Пусть уравнение (1) равномерно асимптотически устойчиво. Тогда для любого ε > 0 существует l > 0, такое, что из неравенства t - s ≥ l следует неравенство | Y(t, s) |< ε.

Следствие 3. Фундаментальное решение уравнения (1) для некоторых M, γ > 0 подчинено оценке (3) тогда и только тогда, когда найдутся такие N,α > 0, что при любых (t,s) ∈ ∆_R функция Коши уравнения (6) подчинена оценке

|Y(t,s) |≤ N exp(-α(t - s)). (11)

Устойчивость по правой части

Устойчивости по правой части отводится особое место в нашей статье. Такое ее обособление не случайно. Уже при исследовании обыкновенных дифференциальных уравнений была обнаружена связь между устойчивостью по правой части (которая понимается как непрерывная зависимость от внешних возмущений), задачей о накоплении возмущений и свойством экспоненциальной устойчивости уравнения [2, 7, 8]. Эти идеи получили мощное развитие в работах, посвященных устойчивости функционально-дифференциальных уравнений (см. монографию [3] и библиографию к ней).

Такая связь обусловлена прежде всего наличием интегрального представления (7), в котором определяющим является второе слагаемое – линейный интегральный оператор Вольтерра, действующий в пространствах суммируемых функций. Этот оператор обладает замечательным свойством: если он действует в указанных пространствах, то он ограничен и, следовательно, непрерывен. Далее, поскольку ядро интегрального оператора также объект с рядом особых свойств, то действие оператора оказывается эквивалентным наличию экспоненциальной (или равномерной) оценки на ядро, то есть, в классических терминах, равномерной экспоненциальной (соответственно, равномерной) устойчивости исходного уравнения. Эти утверждения часто называют теоремами Боля–Перрона [3].

Приведенная цепочка эквивалентностей, безусловно, является очень ценной: углубляя наши представления о природе устойчивости, она также увеличивает арсенал методов, с помощью которых можно получать конкретные признаки устойчивости.

В этом разделе, пользуясь уже установленной связью между уравнениями (1) и (6), мы получим для разностного уравнения аналоги теорем Боля–Перрона.

Устойчивость по правой части означает, что малому изменению правой части соответствует малое изменение решения. В силу представления решения (2) очевидно, что, не нарушая общности, можно рассматривать устойчивость по правой части при нулевой начальной функции (включая и начальные условия). Нет необходимости также в подвижной начальной точке: понятно, что достаточно изучить ситуацию с фиксированной начальной точкой m = 0. В результате этих упрощений уравнение (1) перейдет в уравнение

N x (n +1) - x (n) + Е ak (n) x (n - hk (n)) = f (n), n e 0,             (12)

k=0

где функция x доопределяется нулем при отрицательных значениях аргумента и x (0) = 0. Решение этого уравнения будем обозначать x(n).

Пусть S – линейное нормированное пространство функций целочисленного аргумента, определенных на ₀.

Определение 7. Будем говорить, что уравнение (12) устойчиво по правой части из S, если для любого £>0 существует 8>0, такое, что из неравенства || f ||S<8 следует неравенство sup | x(n) |< £ .

ne 0

n-1

Введем оператор K по следующему закону: (Kf)(n) = Е X(n, i +1) f (i).

i=0

С учетом этого обозначения решение уравнения (12) можно записать в виде x = Kf. Устойчивость по правой части, очевидно, означает непрерывность оператора K, действующего из пространства S в пространство l^, а с учетом линейности K -его ограниченность. Если же ограничить выбор правых частей уравнения (12) пространствами l_p , то удается доказать более сильное утверждение.

Лемма 4. Уравнение (12) устойчиво по правой части из lp (1 < p<^) тогда и только тогда, когда K(l_p) с l_го.

Доказательство. С учетом сделанных выше замечаний лемма будет доказана, если из включения K(lp) с lго будет следовать ограниченность оператора K. Рассмотрим семейство функционалов Kn : lp ^ , задаваемое формулой n-1

Knf = Е X (n, i +1) f (i), n e .

n=0

Очевидно, что при любом n e   функционал Kn определен на банаховом пространстве lp и ограничен. Из условий леммы следует, что sup | Knf | < ~ при любом ne f e lp. Таким образом, выполнены условия теоремы Банаха-Штейнхгауза, из которой следует, что L = sup || Kn || < ~ . Значит, ne

|| Kf||_= sup|( Kf) (n )|= sup|Knf |< sup||Kn||||f ||p = L||f||p, ne                 ne             ne что и требовалось доказать. ▲

Чтобы установить эквивалентность устойчивости по правой части и экспоненциальной устойчивости, снова воспользуемся переходом к уравнению (6).

t

Следуя [6], введем оператор (Cg)(t) = j Y(t,5)g(5)ds , который в теории о функционально-дифференциальных уравнений принято называть оператором Коши уравнения (6).

Лемма 5. Пусть 1 < p< то . Оператор K действует из l_p в l_тотогда и только тогда, когда оператор C действует из L_p в L_to .

n+1

Доказательство. Если имеет место равенство f (n) = j g(s)ds, то для любых

n n е Nо, a < 0 < 1 имеем

(Cg)(n + a) = a( Kf)(n +1) + (1 - a)( Kf)(n) + a²f (n).            (13)

Действительно, используя (8), получаем цепочку равенств:

n+a

(Cg)(n + a) = j Y(n + a, s)g (s)ds = о n-1 i+1

= E j (aX(n +1,n +1) + (1 -а)X(n,n +1))g(s)ds + i=0 i n+a

+ j (aX(n +1,n +1) + (1 -a)X(n,n +1))g(s)ds =

n n-1                                                      i+1

= E(aX(n +1,i +1) + (1 -a)X(n,i +1)) j g(s)ds + i=0                                                            i n+a

+ (aX(n +1,n +1) + (1 -a)X(n,n +1)) j g(s)ds =

n n-1

= E (aX (n +1, i +1) + (1 -a) X (n, i +1)) f (i) + a2 f (n), i=0

доказывающих равенство (13).

Пусть оператор K действует из l_p в l_то. Возьмем произвольную функцию g е L_p n+1

и положим f (n) = j g (s)ds. Имеем

n то                   to i+1

E ।^{f (}i )i^p=E j u^(s)^ds i=0                i=0 i

to

< E

i=0

(i+1           )p j1 g(s)1 ds

V i

;

_toi+1                     to

<E j¹g^(s)^{1 p ds}< j¹g^(s)^{1 p ds}< ^to , i=0 i                      0

следовательно, f е l_p c l_тои, таким образом, Kf е l_то.Отсюда в силу равенства (13) получаем Cg е L_to .

Пусть теперь оператор C действует из Lp в L„. Возьмем произвольную n+1

функцию f е lp и положим g(t) = f ([t]). Очевидно, что j g(5)ds = f (n). Далее, имеем n то                      то                          то j | g(s) |p ds = j | f ([s]) |p ds = £ | f (i) |p

0                   0                      i=0

Теперь, положив в равенстве (13) а = 0, получаем Kf е l_то. ▲

Для удобства чтения приведем здесь без доказательства ряд утверждений из теории устойчивости функционально-дифференциальных уравнений.

Теорема 6 [3]. Оператор C действует из пространства L1 в пространство L_то тогда и только тогда, когда для функции Коши уравнения (6) выполнено условие (10).

Теорема 7 [3]. Пусть при любом k = 0,1, к, N функции q_k и r_k ограничены. Тогда эквивалентны следующие утверждения.

• 1.    При некотором фиксированном p е (1, то] оператор C действует из пространства L_p в пространство L_то.

• 2.    При любом p е (1, то] оператор C действует из пространства L_p в пространство L_то.

• 3.    Для функции Коши уравнения (6) справедлива оценка (11).

• 4.    Для любого Е>0 существует l > 0, такое, что при любых (t, s) еАR + из неравенства t - s > l следует неравенство | Y(t, s)|<Е.

На основе этих теорем с учетом лемм 4 и 5 легко получить аналогичные результаты для разностных уравнений.

Теорема 8. Оператор K действует из пространства 11 в пространство l_то тогда и только тогда, когда для фундаментального решения выполнено условие (5).

Доказательство. Последовательно применив лемму 5, теорему 6 и следствие 1, получаем требуемое утверждение. ▲

Теорема 9. Пусть при любом k = 0,1,к,N функции a_k и h_k ограничены. Тогда следующие утверждения эквивалентны.

• 1.    При некотором фиксированном p е (1, то] оператор K действует из пространства l_p в пространство l_TO.

• 2.    При любом p е (1, то] оператор K действует из пространства l_p в пространство l_то.

• 3.    Для фундаментального решения уравнения (1) справедлива оценка (3).

• 4.    Для любого Е>0 существует l > 0, такое, что при любых (n, m) еА N0 из неравенства n - m > l следует неравенство | X(n, m) |< Е.

Доказательство. По условию теоремы функции a_k и h_k ограничены, следовательно, ограничены функции q_k и r_k . Последовательно применив лемму 5, теорему 7 и вновь лемму 5, получим 1 ⇔ 2 . Далее, последовательно применив лемму 5, теорему 7 и следствие 3, получим 1 ⇔ 3 . Наконец, последовательно применив теорему 4, следствие 2, теорему 7 и следствие 3, получим 4 ⇒ 3 . Импликация 3 ⇒ 4 очевидна. ▲